上海市宝山区2024-2025学年中考考前最后一卷数学试卷含解析

这是一份上海市宝山区2024-2025学年中考考前最后一卷数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )
A．6B．8
C．10D．12
2．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．15°C．10°D．20°
3．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形D．四条边都相等的四边形是菱形
4．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连结AE，若∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）
A．44°B．53°C．72°D．54°
5．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（ ）
A．20%B．11%C．10%D．9.5%
6．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是( )
A．B．C．D．
7．如图，数轴上的三点所表示的数分别为，其中，如果|那么该数轴的原点的位置应该在（ ）
A．点的左边B．点与点之间C．点与点之间D．点的右边
8．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是2B．众数是17C．平均数是2D．方差是2
10．下列运算正确的是 （ ）
A．2+a=3B． =
C．D．=
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，则点P2019的坐标是_____．
12．某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是_____．
13．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有_____个．
15．若分式a2-9a+3的值为0，则a的值是 ．
16．已知二次函数f(x)=x2-3x+1，那么f(2)=_________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
18．（8分）观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 =" 3" - 4 = -1
② 2 × 4 - 32 =" 8" - 9 = -1
③3 × 5 - 42 =" 15" - 16 = -1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
19．（8分）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP=AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．
20．（8分）如图，矩形的两边、的长分别为3、8，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点.
若点坐标为，求的值及图象经过、两点的一次函数的表达式；若，求反比例函数的表达式.
21．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF
（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
22．（10分）某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10%，总支出比去年节约20%，按计划今年总收入将比总支出多100万元．今年的总收入和总支出计划各是多少万元？
23．（12分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式；设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？
24．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE=DF．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=2．
∵AD∥BC，DG=CG，
∴=1，
∴AG=GE
∴AE=2AG=1．
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
2、B
【解析】
分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．
3、C
【解析】
根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，对选项进行判断即可
【详解】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；
C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误；
D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确．
故选C
此题综合考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定法则才是解题关键
4、D
【解析】
根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.
【详解】
根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，
根据∠E=36°可得∠B=54°，
根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=54°.
故选D
本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.
5、C
【解析】
设二，三月份平均每月降价的百分率为，则二月份为，三月份为，然后再依据第三个月售价为1，列出方程求解即可.
【详解】
解：设二，三月份平均每月降价的百分率为．
根据题意，得=1．
解得，（不合题意，舍去）．
答：二，三月份平均每月降价的百分率为10%
本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a，每次降价的百分率为a，则第一次降价后为a（1-x）；第二次降价后后为a（1-x）2,即：原数x（1-降价的百分率）2=后两次数.
6、B
【解析】
△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【详解】
解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y＝×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是B；
故选B．
本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
7、C
【解析】
根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
【详解】
∵|a|＞|c|＞|b|，
∴点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小，
又∵AB=BC，
∴原点O的位置是在点B、C之间且靠近点B的地方．
故选：C．
此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
8、C
【解析】
分析：[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
详解：121
∴对121只需进行3次操作后变为1.
故选C．
点睛：本题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解.
9、A
【解析】
试题解析：察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2，
故选A．
考点：1.方差；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
10、D
【解析】
根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
A、2与a 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、 =，不符合题意；
C、原式=，不符合题意；
D、=，符合题意，
故选D．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、（673，0）
【解析】
由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
【详解】
解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0）
则点P2019的坐标是 （673，0）．
故答案为 （673，0）．
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上.
12、
【解析】
通过找到临界值解决问题．
【详解】
由题意知，令3x-1=x，
x=，此时无输出值
当x＞时，数值越来越大，会有输出值；
当x＜时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值
故x≤，
故答案为x≤．
本题考查不等式的性质，解题的关键是理解题意，学会找到临界值解决问题．
13、1．
【解析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：0＜a＜1，
则a+=a+=a+（1﹣a）=1．
故答案为1．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．
14、1
【解析】
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为0.3，然后根据概率公式计算这个口袋中黑球的数量，继而得出答案．
【详解】
因为共摸了200次球，发现有60次摸到黑球，
所以估计摸到黑球的概率为0.3，
所以估计这个口袋中黑球的数量为20×0.3=6（个），
则红球大约有20-6=1个，
故答案为：1．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
15、1．
【解析】
试题分析：根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
试题解析：∵分式a2-9a+3的值为0，
∴a2-9=0a+3≠0，
解得a=1．
考点：分式的值为零的条件．
16、-1
【解析】
根据二次函数的性质将x=2代入二次函数解析式中即可.
【详解】
f(x)=x2-3x+1
f(2)= 22-32+1=-1.
故答案为-1.
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）ab﹣4x1（1）
【解析】
（1）边长为x的正方形面积为x1，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．
（1）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．
【详解】
解：（1）ab﹣4x1．
（1）依题意有：，将a=6，b=4，代入上式，得x1=2．
解得x1=，x1=（舍去）．
∴正方形的边长为．
18、⑴4×6-52=24-25=-1；
⑵答案不唯一.如n(n+2)-(n+1)2=-1；
⑶n(n+2)-(n+1)2 =n2+2n-(n2+2n+1)
=n2+2n-n2-2n-1
=-1.
【解析】
（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；
（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；
（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．
19、（1）详见解析；（2）；（3）
【解析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，由平行线的性质得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代换得到∠COP=∠BOP，由切线的性质得到∠OBP=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到CD•OP=OC2，根据已知条件得到，由三角函数的定义即可得到结论；
（3）连接BC，根据勾股定理得到BC==12，当M与A重合时，得到d+f=12，当M与B重合时，得到d+f=9，于是得到结论．
【详解】
（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AC∥OP，
∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠OBP=90°，
在△POC与△POB中，
，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）过O作OD⊥AC于D，
∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=AC，
∵∠DCO=∠COP，
∴△ODC∽△PCO，
∴，
∴CD•OP=OC2，
∵OP=AC，
∴AC=OP，
∴CD=OP，
∴OP•OP=OC2
∴，
∴sin∠CPO=；
（3）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵AC=9，AB=1，
∴BC==12，
当CM⊥AB时，
d=AM，f=BM，
∴d+f=AM+BM=1，
当M与B重合时，
d=9，f=0，
∴d+f=9，
∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤1．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
20、（1），；（2）.
【解析】
分析：（1）由已知求出A、E的坐标，即可得出m的值和一次函数函数的解析式；
（2）由，得到，由，得到．设点坐标为，则点坐标为，代入反比例函数解析式即可得到结论．
详解：（1）∵为的中点，
∴．
∵反比例函数图象过点，
∴．
设图象经过、两点的一次函数表达式为：，
∴，
解得，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点坐标为，则点坐标为．
∵两点在图象上，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
点睛：本题考查了矩形的性质以及反比例函数一次函数的解析式．解题的关键是求出点A、E、F的坐标．
21、（1）证明见解析；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；
【解析】
分析（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
详解：（1）证明：∵EF∥AB
∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E
∵AE=AF
∴∠EFA =∠E
∴∠FAB=∠CAB
∵AC=AF，AB=AB
∴△ABC≌△ABF
∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF是⊙A的切线.
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.
理由：∵EF∥AB
∴∠E=∠CAB=60°
∵AE=AF
∴△AEF是等边三角形
∴AE=EF，
∵AE=AD
∴EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE=EF
∴平行四边形ADFE为菱形.
点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．
22、今年的总收入为220万元，总支出为1万元．
【解析】
试题分析：设去年总收入为x万元，总支出为y万元，根据利润=收入-支出即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
试题解析：
设去年的总收入为x万元，总支出为y万元．
根据题意，得，
解这个方程组，得，
∴（1+10%）x=220，（1-20%）y=1．
答：今年的总收入为220万元，总支出为1万元．
23、 (1)y＝－2x＋200 (2)W＝－2x2＋280x－8 000(3)售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元．
【解析】
（1）用待定系数法求一次函数的表达式；
（2）利用利润的定义，求与之间的函数表达式；
（3）利用二次函数的性质求极值.
【详解】
解：(1)设，由题意，得，解得，∴所求函数表达式为.
(2).
(3)，其中，∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.
考点： 二次函数的实际应用.
24、答案见解析
【解析】
由于AB=AC，那么∠B=∠C，而DE⊥AC，DF⊥AB可知∠BFD=∠CED=90°，又D是BC中点，可知BD=CD，利用AAS可证△BFD≌△CED，从而有DE=DF．
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