湖南省长沙市周南梅溪湖中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省长沙市周南梅溪湖中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间:120 分钟 满分: 120 分
出卷人：
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。
1.在下列“绿色食品”“响应环保”“可回收物”“节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是()
2.现有两根木棒分别是 30cm 和 70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为()
A.40cm B.70cm C.100cm D.130cm
3.下面计算正确的是()
A.a3⋅a3=2 B.2a2+a2=3a4 C.a9÷a3=a3 D.(−3a2)3=−27a6
4.若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出 x 的值为()
A.30 B.27 C.35 D.40
5.如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是()
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
6. 如图,点 E,点 F 在直线 AC 上, AE=CF, AD=CB,下列条件中不能判断△ADF≌△CBE 的是( )
A. AD∥BC B. BE∥ DF C. BE=DF D.∠A=∠C
7.已 知m+n=4,m2−n2=−8,则 m-n 的值为( )
A. - 4 B. - 2 C.2 D.4
8.如图, 在 Rt△ABC 中,∠B =90°, 以点 A 为圆心, 适当长为半径画弧, 分别交 AB、AC 于点 D, E, 再分别以点 D、E 为
1
圆心， 大 于
2DE 为半径画弧, 两弧交于点 F,作射线 AF 交边 BC 于点 G,若 BG =1,AC=4,则△ACG 的面积是( )
3 5
A.1 B .
2 C.2 D .
2
9. 若(a−5)2+∣b−9∣=0,则以 a、b 为边长等腰三角形的周长为()
A.19 B.22 C.23 D.19 或 23
10.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点 O,过点 O作 EF∥BC交 AB于 E,交 AC于 F,过点 O作 OD⊥AC
于 D，下列五个结论：其中正确的有()
1
(1)EF = BE +CF; (2)∠BOC=90° +
2∠A;(3)点 O 到△ABC 各边的距离都相等; (4)设 OD =m, AE+AF =n, 则 S△AEF = mn;
(5)S△EOB =SFOC.
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
第 1 页，共 4 页
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11.分解因式 ：a3−a=_.
12.在平面直角坐标系中，点 A(5，3)关于 y 轴对称的点的坐标为 .
13. 如 果x2−6x+m是一个完全平方式，则 m= .
14.已 知am+n=6,an=2(m、n 是正整数), 则 aᵐ= .
15.如图, 在三角形 ABC 中, AB =AC, AD 平分∠BAC, 点 E 是线段 BC 延长线上一点, 连接 AE, 点 C 在 AE 的垂直平分
线上, 若 DE=15cm, 则△ABC 的周长等于 cm.
16.如图, 在△ABC 中, ∠ABC=90°, AB=BC, 点 B 坐标为(-1,0), 点 C 坐标为(1,4), 则点 A 的坐标为 .
三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 16 分)整式的运算
(1)(3ab3)2 (2)(12x4−6x3)÷3x2
(3) (y-3x)(3x+y) ;(4)186.72−2×186.7×86.7+86.72(简便计算)
1
18.(本小题 6 分)先化简，再求值 ：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y),其 中x= ,y=−1.
3
19.(本小题 6 分)
如图, 在平面直角坐标系中, △ABC 各顶点的坐标分别为 A(4,0), B(-1,4), C(-3,1).
(1)在图中作△A'B'C', 使△A'B'C'和△ABC 关于 x 轴对称;
(2)求△ABC 的面积.
第 2 页，共 4 页
20.(本小题8分)如图在△ABC中 ,∠ACB=90∘,AC=BC,，直线MN经过点C，且 .AD⟂MN于点 D ,BE⟂MN于点 N，
求证：
(1)△ADC≅△CEB;
(2) DE=AD+BE.
21.(本小题 8 分)通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题.
例如: 若 a+b=3, ab=1, 求a2+b2的值.
解: ∵a+b=3, ab=1
∴(a+b)2=9,2ab=2
∴a2+b2+2ab=9
∴a2+b2=7.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1) 若a2+b2=4,ab=6,求 a+b 的值.
(2)如图,已知 Rt△ABC,∠BAC=90°,分别以 AB、AC 为直角边 向△ ABC两侧作等腰直角 .△ ABE和等腰直 角△ACD,其
中∠BAE=∠CAD=90°. 若△ABC 的面积为 9, △ABE 和△ ACD的面积之和为 14，求线段 CE 的长.
22.(本小题 8 分)如图， 在△ ABC中，AB=AC,AD 是△ ABC的中线, AC 的垂直平分线 EF, 分别交 AC、AB、AD 于
点 E、F、O, 连接 CO、BO.
(1) 若 OB=1,求 OA 的长；
(2) 若∠ABC=70∘, 求∠OCD的度数.
第 3 页，共 4 页
23.(本小题 10 分)
[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式
或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题
.
例如，把二次三项 式x2−2x+3进行配方.
解 ：x2−2x+3=x2−2x+1+2=(x2−2x+1)+2=(x−1)2+2.
我们定义：一个整数能表示 成a2+b2(a，b 是整数)的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数
”例如，5是“雅美数”.理由：因为 5=2²+1².再如 ,M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x，y是整数)，所以 M也是“雅
美数”.
(1) [问题解决]4, 6, 7, 8 四个数中的“雅美数”是 .
(2)若二次三项 式x2−6x+13(x 是整数)是“雅美数”,可配方成(x-m)²+n(m,n 为常数),则 mn 的值为 .
3
(3)[问题探究]已 知S=x2+4y2+8x−12y+k(x, y 是整数，k 是常数 且x≠−4,y≠ ),要使 S 为“雅美数”，试求出
2
符合条件的 k 值.
(4)[问题拓展]已知实数 M，N 是“雅美数”，求证：M·N 是“雅美数”.
24.(本小题 10 分)
(1)如图 1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的
边也相等.如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢?猜想： 在△ ABC中，
如果 AB>AC,则∠C∠B (填写“>”“BC), BP 平分∠ABC 交 AC 于点 D, 连接 AP,CP. 判断 AB-BC 与 PC-PA 的大小关
系，并证明；
DE 5 BD
(3)如图 3, 在△ABC 中, ∠A=60°, △ABC 的角平分线 BF, CE 交于点 D, 若 = , 则 =_.
CD 7 CD
第 4 页，共 4 页
周南梅溪湖中学 2025-2026 学年八年级上学期第一次月考数学试题
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A D B B C D B
二、填空题
11. a(a+1)(a−1)
12. (−5,3)
13. 9 14. 3 15. 30
16. (−3,4)
三、解答题
17. （1）解：(3ab3)2 =9a2b6
（2）解：(12x4−6x3)÷3x2 =4x2−2x
（3）解：(y−3x)(3x + y)= y2−9x2
（4）解：186.72−2×186.7×86.7+ 86.72 =(186.7−86.7)2 = 1002 =10000
18. 解：(2x +3y)2−(2x + y)(2x−y)
=4x2+12xy+9y2−(4x2−y2)
=4x2+12xy+9y2−4x2+ y2
=12xy+10y2
19. （1）作图略
20. （1）证明：因为∠ACB =90∘，AD ⊥ MN，BE ⊥ MN
所以∠ADC =∠CEB =90∘，∠ACD +∠BCE =90∘，∠BCE +∠CBE =90∘
所以∠ACD =∠CBE
又因为AC = BC，所以≌ △ ADC≌△ CEB（AAS）
（2）证明：由（1）知≌ △ ADC≌△ CEB，所以AD = CE，DC = BE
所以DE = DC + CE = AD + BE
21. （1）解：因为a2 + b2 =4，ab =6
所以(a + b)2 = a2 +2ab + b2 =4+12=16，所以a + b =±4
1
（2）解：设AB = x，AC = y，则 xy =9，xy =18
2
当x = 1，y =−1时，12× 1
3 3
×(−1)+10×(−1)2 =−4+10=6
1
2
（2）解：利用割补法，S△ABC =5×4−
×5×1−1
2
×2×3−1
2
×4×3=20−2.5−3−6=8.5
CE2=(x+y)2+(y−x)2= x2+2xy+ y2+ x2−2xy+ y2=2(x2+ y2)=56
所以CE =2 14
22. （1）解：因为AB = AC，AD是中线，所以AD垂直平分BC，OB = OC
又因为EF垂直平分AC，所以OA = OC，所以OA = OB =1
（2）解：因为AB = AC，∠ABC =70∘，所以∠ACB =70∘，∠BAC =40∘
AD平分∠BAC，所以∠OAC =20∘
OA = OC，所以∠OCA =20∘，所以∠OCD =70∘−20∘ =50∘
23. （1）4，8
（2）15
（3）解：S = x2 +4y2 +8x−12y + k
=(x2+8x+16)+(4y2−12y+9)+k−25
=(x+4)2+(2y−3)2+(k−25)
所以k−25=0，k =25
（4）证明：设M = a2 + b2，N = c2 + d2（a,b,c,d为整数）
则M ⋅ N =(a2 + b2)(c2 + d2)= a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
=(ac + bd)2 +(ad−bc)2，所以M ⋅ N是“雅美数”
24. （1） > ，证明略
（2）AB−BC > PC−PA，证明略
3
（3）
21
2x2 +
1
2y2 =14，x2 + y2 =28