重庆市万州二中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（PDF版附答案）

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1．C
【详解】由题过点和点的直线的斜率为，
设过点和点的直线的倾斜角为，则，且，
所以.
故选：C.
2．C
【详解】由，易知，则，显然、、不成立.
故选：C
3．A
【详解】如图所示，设点为点关于平面的对称点，设点，
根据对称性质可得，，即点．
故选：A．
4．A
【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，
使得，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；
由于，则，，共面，故B错误；
由于，则，，共面，故C错误；
由于，则，，共面，故D错误；
故选：A.
5．A
【详解】由题意得，，
所以点到直线的距离.
故选：A.
6．C
【详解】长方体中平面，平面，所以，
则，又，
所以，
故选：C.
7．A
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得，，
则直线方程为，
且的重心为，即，
设，关于直线的对称点为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，
根据光线反射原理知四点共线，且，，
所以直线的方程为，即，
又直线过，
所以，解得或（舍去），
所以，，,
所以，
所以的周长为.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标.
8．C
【详解】因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
且平面，可得，
又因为N在侧面上（包含边界），设，且，
可得
，
又因为，可得，且.
对于选项A：若，则，可得点即为点，
显然平面，故A错误；
对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点），
由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误；
过作，垂足为，可得，，

因为平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
可得，
对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时，
可得，故C正确；
对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时，
可得，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点睛：1. 设，且，根据空间向量基本定理分析可得，方便建立关系；
2.分析可得平面，则，将的大小转化为的大小.
9．ACD
【详解】.向量与向量共线，若与共线，则，A错误；
B．在平行六面体中显然成立，B正确；
C.当时，，此时，C错误；
D. 若，则则共面.错误
故选：ACD
10．BCD
【详解】对于A：不存在a使得和两定点连线垂直.，故A错误.
对于B：由，得，解得3，经检验，当时，与不重合，故B正确；
对于C：由，得，解得，故C正确；
对于D：当时，直线的斜率，当时，的倾斜角，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【详解】由题意，
在正方体中，棱长为4，
动点在正方体表面上（不包括边界），
连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接，
建立空间直角坐标系如下图所示，
，
∴，
∴∥，
∵面，面，
∴∥面，
∴当点在处时，面，
∴存在点，使得∥面，故A正确；
B项，在面中，，
设面的法向量为，
即，解得，
当时，，
若面，则，，
∵动点在正方体表面上，
∴，此时，与重合，
∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误；
C项，因为，与的夹角为，
所以与所成的角为，
则
由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即），
在中，，，，
∴，
∴点的轨迹长度为：，C正确；
D项，为面的中心，作点关于平面的对称点，
连接，当最小时，，
∴，，
∴，D正确.
故选：ACD.
12．16
【详解】，因为，所以，
所以.
故答案为：
13．
【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示．

连接，易知，所以．
因为 平面平面，所以平面，
同理可得平面，
又平面MPQ，故平面平面，
故点在线段PQ上，且不与P，Q重合．
以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．
令正方体棱长为2，设，则，，
所以．
当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为．
故答案为：.
14．
方法一：
设∠OAB=θ，(θ∈0,π2)
OA=2+4tanθ，OB=4+2tanθ，AB=4sinθ+2csθ
∴C△OAB=6+4tanθ+2tanθ+4sinθ+2csθ
=6+2sinθ+1csθ+4csθ+1sinθ
=6+21+tanθ21-tanθ2+4tanθ2
令tanθ2=t∈0,1
∴C△OAB=6+21+t1-t+4t
=4+41-t+4t
=4+41-t+3t1-t+t
=4+4+4t1-t+41-tt+4
≥12+24t1-t⋅41-tt=20
当且仅当4t1-t=41-tt⇒t=12=tanθ2，
即tanθ=2tanθ21-tan2θ2=43时等号成立
k=-tanθ=-43
方法二：
设直线xa+yb=1，a>0，b>0
则2a+4b=1
则C△AOB=a+b+a2+b2
=a+b+a2+b2⋅352+452
≥a+b+35a+45b
=85a+95b
=85a+95b2a+4b
=165+32a5b+18b5a+365
≥525+232a5b⋅18b5a
=525+485
= 20
当且仅当35a=45b32a5b=18b5a2a+4b=1时，等号成立.
解得a=5b=203 此时k=-ba=-43
15．(1)
(2)或
【详解】（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或.
16．(1)
(2)
【详解】（1）.
（2）由题意：，，，
，
所以.
17．(1)；
(2)或．
【详解】（1）如图，由点在直线上，设，又，
则的中点在直线上，
所以，解得，所以．
设点关于直线对称的点为，
则有，解得，即．
显然在直线上，则直线的斜率，
则直线的方程为，整理得．
（2）点到直线的距离．
因为点满足，所以点到直线的距离相等，
所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离．
设，则，解得或8，
所以直线的方程为或．

18．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）（1）法一、在正方形中，
由条件易知，所以，
则，
故，即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，∴，
∵，平面，∴平面；
法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的法向量，
则，令，则，
所以是平面的一个法向量，
易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
所以，
由（1）知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，所以，
令，则，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为；
（3）因为，所以，
又是平面的一个法向量，
则D到平面的距离为.
所以点D到平面EBF的距离为.
19．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）取AC的中点，连接BM，DM.
因为为AC的中点，所以，
又因为平面，所以平面.
又因为平面，所以.
（2）（i）连接EM，因为，所以，由（1）知平面，
则四点共面.
结合题意知，可得，
在四边形EBMD中，，根据对称性，可知EM垂直平分.
因为，所以在平面内存在点F，G，使得，
则，平面，即得平面
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，直线AC到平面的距离为到平面的距离为，
则.
因为，所以
解得，
故AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和为.
（ii）设平面的法向量为，而，
则，即，取.
设平面AEB与平面的夹角为，取平面的一个法向量为，
则，
故平面AEB与平面夹角的余弦值为题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
A
A
C
A
C
ACD
BCD
题号
11









答案
ACD