2025-2026学年湖北省云学联盟高二上学期10月考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖北省云学联盟高二上学期10月考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足i2027⋅z=1+2i，则复数z在复平面对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知两单位向量e1，e2的夹角为π3，若OP=3e1+2e2，则|OP|=( )
A. 19B. 17C. 10D. 7
3.已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m⊥l，n⊥l，则m//n
B. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
D. 若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β
4.如图，三棱锥O−ABC中，OM=13OA，BN=CN，点G为MN的中点，记OA=a，OB=b，OC=c，则OG=( )
A. 14a+14b+16cB. 16a+16b+14c
C. 16a+14b+14cD. 14a+16b+16c
5.某圆锥的底面半径与高之比为3:4，其内切球与圆锥的体积之比为( )
A. 38B. 932C. 1564D. 21128
6.在空间直角坐标系中，经过点P0(x0,y0,z0)，且以u=(a,b,c)(abc≠0)为法向量的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.若平面α的方程化简为x+2y−z=3，直线l的方向向量为(1,−1,1)，则直线l与平面α的所成角的正弦值为( )
A. 33B. 63C. 73D. 23
7.某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17.若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为( )
A. 6.5B. 7.5C. 8.5D. 9.5
8.已知△ABC满足2CA⋅CB+5BA⋅BC=3AB⋅AC，则csA的最小值为( )
A. 13B. 25C. 105D. 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A，B为随机事件，P(A)=0.3，P(B)=0.2，则下列结论正确的有( )
A. 若A，B为互斥事件，则P(A+B)=0.5
B. 若A，B为互斥事件，则P(A+B)=0.5
C. 若A，B相互独立，则P(AB)=0.24
D. 若A，B相互独立，则P(A+B)=0.44
10.下列说法正确的是( )
A. 直线l1:x+y+1=0，l2:2x+2y+3=0的距离为 24
B. 直线l过点P(2,5)，且在x轴、y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y−7=0
C. “直线x+ay−1=0与(a+3)x−2ay+1=0垂直”是“a=32”的必要不充分条件
D. 直线x+ay−7=0与(a+3)x−2y−14=0互相平行，则a的值是−1或−2
11.如图，在正方体中ABCD−A1B1C1D1，AB=1，M为棱AB上的动点，下面说法正确的是( )
A. D1M与平面B1AC所成角的正弦值的范围为[ 33,1]
B. 三棱锥M−DCB1的体积为16
C. 若平面α//平面B1AC，则平面α截正方体的面积可能为3 34
D. 当M是AB的中点时，三棱锥M−ACB1外接球的表面积为19π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2)，平面α的法向量为n=(2,t−1,4)，若直线l垂直平面α，则t= ．
13.将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，m=(a,−2,1)，n=(1,b,4)，则事件“m与n夹角为锐角”发生的概率为 ．
14.如图，六面体SABCP由两个三棱锥S−ABC和P−ABC拼接而成，其中SA=SB=SC=2，∠ASC=∠ASB=π3，BC=PA=2 2，PB=PC=2 3，F是BS的中点，则异面直线PF与AC所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，BC边上的高AH所在的直线方程为y=12x+1，∠BAC的平分线AM所在的直线方程为y=x，若点B的坐标为(−2,1)．
(1)求点A和点C的坐标;
(2)求△ABM的面积与△ACM的面积之比．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，动点M，N分别在线段PB和AC上运动(不含端点)，且PM=AN．
(1)证明：MN/​/平面PAD．
(2)当PM=13PB时，求点P到平面DMN的距离．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，AC= 7，D是BC的中点，E是AC上靠近A的三等分点，AD与BE相交于点P．
(1)求AD的长;
(2)求∠DPE的余弦值．
18.(本小题17分)
为了了解某校高二年级学生的体育成绩(满分100分)选取40名学生参加考核，核成绩的频率分布直方图如图所示：
(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的上四分位数;
(2)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率;(3)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A，B，C，D，E共五个等级，若两科笔试成绩均为A，则直接参加国庆营;若一科成绩为A，另一科成绩不低于C，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得A，B，C，D，E五个等级的概率分别是13，12，34，23，34;乙在每科笔试中取得A，B，C，D，E五个等级的概率分别是12，13，13，23，34，甲、乙面试通过的概率都为12，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．
19.(本小题17分)
如图 ①，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，且AB=4，以AB为边向外作△ABC，使得△ABC为等边三角形，M是AC的中点．
(1)求OC的最大值;
(2)当点A运动到(2,0)时，将△ABC沿AB折叠至△ABD，如图 ②．
①当OD=2 2时，求平面OAB与平面ABD夹角的余弦值;
②当OD为何值时，直线OM与平面ABD的夹角正弦值为34?
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.D
7.B
8.C
9.ACD
10.AC
11.BCD
12.3
13.58
14. 1530
15.解：(1)解方程组y=12x+1y=x得顶点A(2,2)，
B(−2,1)关于直线y=x的对称点为N(1,−2)在AC上，
故直线AC的斜率为kAC=4，
所以边AC所在直线的方程为.y−2=4(x−2)，即y=4x−6 ①，
又BC边上的高所在直线的方程为y=12x+1，
故直线BC的斜率为kBC=−2，
所以直线BC的方程为y−1=−2(x+2)，即y=−2x−3． ②
由y=4x−6y=−2x−3，解得x=12y=−4，即点C的坐标为(12,−4)．
(2)AM是∠BAC的平分线，则∠BAM=∠CAM，
由两点间的距离公式得|AB|= (2+2)2+(2−1)2= 17，
|AC|= (2−12)2+(2+4)2=3 172．
∴SΔABMSΔACM=12×AB×AM×sin⁡∠BAM12×AC×AM×sin⁡∠CAM=ABAC= 173 172=23，
16.解：(1)由PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD得PA⊥AB，PA⊥AD．
又四边形ABCD为正方形，且PA=AB=2则AB⊥AD，∠PBA=∠BPA=∠BAC=π4．
故以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为动点M，N分别在线段PB和AC上运动(不含端点)，且PM=AN．
不妨设PM=AN= 2a(0