安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解二次不等式确定集合B，与集合A求并集即可.
【详解】解不等式，可得.
，
又,
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
详解】若，则，即，得不出，如，
所以“”不是“”的充分条件；
若，则，可得，即，
所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要而不充分条件，
故选：A．
3. 已知是奇函数，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的定义列式求解.
【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，
即，则.
故选：B
4. 若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（ ）
A. 增函数且有最大值B. 增函数且有最小值
C. 减函数且有最大值D. 减函数且有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.
【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5，
所以，
又为奇函数，
所以函数在区间上是增函数，且有最大值.
故选：A
5. 已知事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的乘法公式及条件概率公式计算即可.
【详解】因为 ， ，
所以，
因为 ，所以 ．
故选：D.
6. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对立事件的概率公式结合独立事件概率公式计算求解.
【详解】记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件，，，则，，，
则，，，
则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为
.
故选:C.
7. 已知函数若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作函数的图象，当时，结合图象确定的范围，当时，化简不等式求的范围，由此可得结论.
【详解】 由图象（如图所示）知，
①当时，只有时才能满足.
②当时，.
故由，得.
当时，不等式为成立；
当时，不等式等价为.
，，
综上可知，.
故选：D.
8. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】令，则原不等式等价于，应用柯西不等式得，再两次应用基本不等式求的最小值，注意最小值的取值条件.
【详解】令，即，则，
当且仅当时等号成立，
又，
当且仅当且，即时等号成立，
综上，，即，
当时等号成立.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令，应用柯西不等式求得，再利用基本不等式求的最值即可.
二、多选题（本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.）
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 若p：，，则：，
B. 若不等式的解集为，则
C. “”是“”充分不必要条件
D. 若，，且，则的最小值为9
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误，根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误，求出的解后可判断C的正误，根据“1”的代换结合基本不等式可判断选项D的正误.
【详解】对于A，由题知,“”的否定是 “”，故选项A正确；
对于B，若不等式的解集为,
则的两根为且,
根据韦达定理有: ，解得，所以，故选项B错误；
对于C，解为或，
故能推出，但推不出，
故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
当且仅当,即时等式成立，故的最小值为9，D正确.
故选：ACD
10. 已知的图象如图所示．若，则关于方程根的情况说法正确的是（ ）
A. 有三个实数根B. 当时，恰有一个实数根
C. 当时，恰有一个实数根D. 当时，恰有一个实数根
【答案】AB
【解析】
【详解】由题意，函数的图象可由的图象向上平移个单位长度得到，如图所示．由图象易知方程有三个实数根．当时，恰好有一个实数根；当时，没有实数根；当时，恰好有两个实数根；当时，没有实数根．所以只有A，B正确．
11. 已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由因式分解即可判断CD；利用基本不等式可判断AB.
【详解】因为，所以，
又在两点处的切线相互平行，所以，
整理得，因为，所以，C对D错；
又，且，所以，A错B对.
故选：BC
三、填空题（本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分）
12. 已知函数，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】解法1：首先将函数解析式进行化简，化简成正切形式，然后将代入求值即可；解法2：首先求出满足的的一个值，然后将其直接代入解析式中求函数值即可.
【详解】解法1：
当时，有．
解法2：令，得.
故答案为：.
13. 已知函数在同一个坐标系的图象如图，则能使不等式成立的的取值范围是__________.

【答案】或
【解析】
【分析】利用幂函数与指对函数的图象性质，数形结合即可得解.
【详解】由题图可知，当或时，符合不等式.
故答案为：或.
14. 已知，，，，则_____.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，结合对称性求得答案.
【详解】依题意，分别可视为函数与和图象交点的横坐标，
函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，
因此两个交点也关于直线对称，则，
由，得，所以.
故答案为：1
四、解答题（本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15 设函数，.
（1）求方程的实数解；
（2）若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）转化为关于的一元二次方程进行求解.
（2）分离参数，构造函数，求导得到的最小值即可求解.
【小问1详解】
由，代入方程得：，
即，解得，即.
【小问2详解】
不等式即，
原不等式可化为对都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
所以，即，解得：.
16. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先得到函数的解析式，然后根据不动点的概念列出方程求解方程的解即可.
（2）首先根据不动点的概念列出方程，然后令判别式大于0，可得到关于的不等式，然后构造关于的新函数，令其最小值大于0，即可求得的取值范围.
（3）根据韦达定理可得到关于的等式，然后化简用的表达式将表示出来，然后根据基本不等式的性质可求出的范围.
【小问1详解】
因为，所以.
设函数的不动点为，则.
化简得，解得，所以的不动点为-1.
【小问2详解】
令，则有两个相异的解.
所以，即：对于任意恒成立.
令，则，
解得.
【小问3详解】
因为为的两个不动点，且，
所以.
因为由（2）知，，所以，
所以.
由（2）得到，根据基本不等式的性质可得，
当且仅当时，即时等号成立，
所以.
又，所以.
所以实数的取值范围为.
17. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：
并计算得：
（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明；
（2）求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）；
（3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.
(参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：)
【答案】（1）答案见解析
（2）；
（3）答案见解析
【解析】
【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可；
(2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程；
(3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价.
【小问1详解】
由表可知：
所以= ,
因为与的相关系数接近1,
所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.
【小问2详解】
由题可知： =
，
所以
【小问3详解】
由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时，
预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近，
因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值；
造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，
或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，
比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等.
18. 某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.
（1）设员工在游戏过程中累计得分的概率为.
①求；
②求证数列为等比数列.
（2）得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元）
【答案】（1）①；②证明见解析；
（2）1499元.
【解析】
【分析】（1）①根据事件发生概率，依次分类进行求解即可；
②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为，所以，结合数列递推关系，即可证明是公比为的等比数列.
（2）由（1），运用累加法可求得，进而可求得员工获得二等奖和一等奖的概率，设一等奖的奖金为元，进而可得，解不等式即可.
【小问1详解】
①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为；
累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为；累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为；
②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为.
所以，
则，又
故为首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，
将所有等式相加得，
所以，
所以，
设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元，
由题意知元，
解得，即一等奖的奖金最多不超过1499元.
19. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
【答案】（1）在上单调递减，在单调递增；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；（2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明.
【小问1详解】
当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
会员序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
锻炼时长（小时）
3
4
2
5
6
4
5
3
4
4
40
体重减少量（千克）
1.0
1.5
1.0
2.0
2.5
1.8
2.0
1.0
1.6
2.0
16.4