湖北省武汉市新洲区阳逻街2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份湖北省武汉市新洲区阳逻街2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次根式有意义的条件是( )
A. B. C. D.
2.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明是直角三角形的是( )
A. B.
C. a：b：：2：3D.
5.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直且相等
6.如图，平行四边形ABCD中，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MO，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km，则P，O两点间距离为( )
A. B. C. 1kmD. 2km
8.如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为( )
A. B. C. 4D. 2
9.如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是( )
A. 线段EF的长逐渐增大
B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不变
D. 线段EF的长先增大后减小
10.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是( )
①；
②≌；
③FB平分；
④EA平分；
⑤四边形BEFG是菱形．
A. ③⑤
B. ①②④
C. ①②③④
D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：的结果为______.
12.若最简二次根式与是同类二次根式，则______.
13.如图，在中，，，，BD平分，则AD的长是______.
14.四边形ABCD为矩形，以AB为边作等边三角形ABE，连接CE，若，则CE的长为______.
15.如图，在边长为8的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点若，则这个菱形的面积为______.
16.如图，四边形ABCD中，，于点E，若，，则CD的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：
；
18.本小题8分
已知，，求下列代数式的值：
；
19.本小题8分
已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，求证：
20.本小题8分
在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
求原来的路线AC的长．
21.本小题8分
在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别是，，，，仅用无刻度的直尺在给定的网格中作图并回答：
四边形OABC周长是______；
连接格点D和点C，使，则格点D的坐标是______；并在 BC边上画出点H使
在线段AB上画点E，使保留画图过程的痕迹
22.本小题10分
如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使，连接CE，
求证：四边形DOCE是矩形；
若，，求菱形ABCD的面积.
23.本小题10分
用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD，P是线段DC上的动点点P不与点D和点C重合，在射线BP上取一点M，连接DM，CM，使
操作探究一
如图1，调整菱形ABCD，使，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使，连接CN，则______，______.
操作探究二
如图2，调整菱形ABCD，使，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使，连接CN，探索MC与MN的数量关系，并说明理由.
拓展迁移
在菱形ABCD中，，若点P在直线CD上，点M在射线BP上，且当时，请直接写出MD的长.
24.本小题12分
如图1，在中，，，，点A在x轴上，以OB为一边，在外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于
①求点B的坐标；
如图将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长；
如图1，连接BE，在线段BE上有一动点M，连接CM，OM，直接写出的最小值为______；
若去掉题卡中这个条件，点F为外一点，连接OF，BF，CF，若，，则当线段CF的长度最小时，______， CF的最小值是______.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据二次根式有意义，得：，
解得：
故选
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、与1不能合并，故不符合题意；
B、原式，故不符合题意；
C、原式，故符合题意；
D、原式，故不符合题意．
故选：
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：，
，
是直角三角形，故A选项不符合题意；
，
，
，
是直角三角形，故B选项不符合题意；
设，，，则，不能构成三角形，故C选项符合题意；
设，则，，
，
，
解得：，
最大的角为，
是直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，逐项判断即可求解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．
B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
故选：
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
又，
故选：
根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接OP，
，
，
是MN中点，
，
，O两点间距离为
故选：
由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到
本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
8.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，
垂直平分OB，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接CR，
在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，
的长度是定值，
，F分别是RP，PC的中点，
，
的长度是定值．
故选：
如图，连接CR，先说明明CR的长度是定值，再证明，可得EF的长度是定值，从而可得答案．
本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设GF和AC的交点为点P，如图：
、F分别是OC、OD的中点，
，且，
四边形ABCD为平行四边形，
，且，
，
点G为AB的中点，
，
在和中，
，
≌，即②正确，
，，
，
，点O为平行四边形对角线交点，
，
为OC中点，
，
，
，G为AB中点，
为AE中点，即，且，
在和中，，
≌，
，
，即①正确，
，，
四边形BGFE为平行四边形，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
平分，即④正确．
，，
四边形BEFG是平行四边形，
没有条件得出四边形BEFG是菱形，⑤③不正确；
故选：
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
11.【答案】3
【解析】解：原式
故答案为：
直接根据二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查了二次根式乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是关键．
12.【答案】1
【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故答案为：
利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：由勾股定理得，，
平分，，，
，
，
，
，
，
故答案为：
根据勾股定理求出AC的长，再根据三角形ABC的面积等于三角形ABD的面积+三角形BCD的面积得出等式求出CD的长即可．
本题考查了勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，根据等面积法求解是解题的关键．
14.【答案】或7
【解析】解：当E在矩形ABCD的内部时，'过E作于H，
四边形ABCD为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
当当E在矩形ABCD的外部时，过作于G，
四边形ABCD为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
综上所述，CE的长为或7，
故答案为：或7，
当E在矩形ABCD的内部时，过E作于H，当E在矩形ABCD的外部时，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据勾股定理得到结论．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形和等边三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接AC交BD于O，如图，
四边形ABCD为菱形，
，，，，，
为AD边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
菱形ABCD的面积，
故答案为：
连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，，，，，再利用得到，证明得到，则，所以，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积、b是两条对角线的长度
16.【答案】
【解析】解：过D点分别作交BC的延长线于点G，作于点F，
，
，
四边形BGDF为矩形，，
，，
，
于点E，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在RtBGD中，，
解得，
故答案为：
过D点分别作交BC的延长线于点G，作于点F，先证明四边形BGDF为矩形，根据矩形的性质可得，，利用AAS证明≌及≌可证得为等腰直角三角形，即可得，再由勾股定理求解GD的长，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰直角三角形，证明为等腰直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：
；

【解析】先化简再计算即可；
把括号里的每一项都除以，再化简即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：，，
，
，
；

【解析】直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
结合平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
19.【答案】证明：，
，
、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，
，，
，
在和中，
，
≌，

【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：是，
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形，即，
是从村庄C到河边的最近路；
设千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：
，
解这个方程，得，
答：原来的路线AC的长为千米．
【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
21.【答案】
【解析】解：，，，，
，
四边形OABC周长；
故答案为：20；
如图，线段CD，点H，即为所求，；
故答案为：；
如图，点E即为所求．
根据，，，，即可求出四边形OABC周长；
根据网格即可完成作图；
根据网格即可完成作图．
本题考查作图-旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】证明：点F是CD的中点，
，
，
四边形DOCE是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，
，即，
四边形DOCE是矩形；
解：四边形DOCE是矩形，，
，
四边形ABCD是菱形，
，，，，
，
，
，，
，，
四边形ABCD的面积为
【解析】先证明四边形DOCE为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论；
根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线AC，BD的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．
23.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案为：，；
，理由如下：
四边形ABCD是菱形，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
如图2，作交BP于E，则，，
在中，，，
，
，
；
当时，点M和点N重合，
如图3，当点P在线段CD的延长线时，过点M作于点F，
设，
，，
为等腰直角三角形，
，
四边形ABCD是菱形，，，，
，，
由菱形的对称性及可得，
在中，，，
，
，
，
，
；
如图4，当点P在DC的延长线上时，过点M作交DC的延长线于点F，
设，同①可得：，，
，
，
，
综上所述，MD的长度为或
证明≌得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
证明≌得到，，从而得到，作交BP于E，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到；
当时，点M和点N重合，再分两种情况：当点P在线段CD的延长线时，过点M作于点F；当点P在DC的延长线上时，过点M作交DC的延长线于点F；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
24.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，
点B的坐标为；
如图，设，
是等边三角形，
，
，
由折叠得，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
则，，，，
是等边三角形，
，
，
当O、M、、在同一条直线上时，为最小值，
是OB的中点，，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
点E是OC的中点，
，
，
、B、三点在同一条直线上，
，
，
故答案为：；
如图，以BF为边在内部作等边三角形BFG，连接OG，
则，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当线段CF的长度最小时，OG最小，
，
的最小值为4，此时点G落在线段OF上，，
的最小值为4；
故答案为：，
利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案；
将绕点B顺时针旋转得到，连接，可得，当O、M、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得；
以BF为边在内部作等边三角形BFG，连接OG，可证得≌，得出，当线段CF的长度最小时，OG最小，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键．