湖北省武汉市武昌区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

这是一份湖北省武汉市武昌区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷，共22页。
A．x≠0B．x＜0C．x＞2D．x≠2
2．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）点（1，3）关于x轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣3）D．（3，1）
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5
C．a4÷a2＝a2D．（3a3）2＝6a6
5．（3分）如图，AD⊥BC，∠ABD＝∠BAD，∠C＝65°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
6．（3分）长为10cm，7cm，5cm，3cm的四根木条，从中选取三根组成三角形，不同的选法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
7．（3分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2+xy+x＝x（x+y）
B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
C．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）
D．2a（b+c）﹣（b+c）＝（b+c）（2a﹣1）
8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝5，点D在边AB上，AD＝3.6，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则CF的长是（ ）
A．2.2B．2C．1.8D．1.6
9．（3分）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
10．（3分）如图，∠MBN是锐角，点A在BM上，AB＝5，点C在BN上，点A到直线BN的距离为3，当AC＝m时，△ABC的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4B．3≤m＜5C．m＝3或m≥5D．m＝3或m＞5
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定位置．
11．（3分）数0.003用科学记数法表示为 ．
12．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
13．（3分）化简：＝ ．
14．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕ED交AB于D，交BC于E，若AE＝AC，则∠B的度数为 ．
15．（3分）已知a＞0，b＞0，（5a+10b+7）（5a+10b﹣7）＝176，则a2+2ab+6b的值是 ．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝50°，AD平分∠BAC交BC于点D，作EA⊥AD交直线BC于点E．若AB+AC＝BE，则∠BAC的度数为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）（1）计算：2x•x2﹣x5÷x2；
（2）分解因式：x3﹣4x2+4x．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
19．（8分）如图，点E，F在线段BC上，∠A＝∠D，∠B＝∠C，BF＝CE，求证：AE＝DF．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
（1）在图1中，作△ABC的高线CD；
（2）在图2中，①在AB上画一点E，使CE平分△ABC的面积；
②点M是边AC上任意一点，在①的条件下，在BC上画一点N，使∠ENB＝∠MNC；
（3）在图3中，在AC上画一点F，使∠AFB＝∠ABC．
22．（10分）如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点P，连接BP．
（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若AC＝5，△APC的面积是10，△ABC的面积是15，求△ABC的周长．
23．（10分）如果整式A能写成整式B的平方，即A＝B2，则整式A是完全平方式，例如x2+2xy+y2＝（x+y）2，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，则我们将x2+2xy+y2和x2﹣2xy+y2称为完全平方式．
在数学学习中，我们经常将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为一个完全平方式来解决问题，例如：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1．
（1）代数式①a2﹣2a+1，②a2+4，③4ab+4a2+b2，④（a+b）2+1﹣2（a+b）中，是完全平方式的是 （填序号）；
（2）若a，b，c是△ABC的三边长，比较4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2与0的大小关系，并说明理由；
（3）若，则的最小值为 ．
24．（12分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，则∠A＝ ；
（2）如图2，在△ABC中，∠B＝30°，点D在BC上，∠BAD＝45°，AB＝CD，求∠C的度数；
（3）如图3，在四边形ABDC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝∠ACD＝80°，AC＝CD，求∠ADB的度数．
2024-2025学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）要使分式有意义，则字母x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x＜0C．x＞2D．x≠2
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0．
【解答】解：要使分式有意义，
则x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
2．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、C、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字；
B选项中的汉字能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）点（1，3）关于x轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣3）D．（3，1）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
【解答】解：点（1，3）关于x轴对称点横坐标不变，纵坐标变成相反数，则坐标是（1，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）2＝a5
C．a4÷a2＝a2D．（3a3）2＝6a6
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
C、a4÷a2＝a2，故此选项符合题意；
D、（3a3）2＝9a6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，AD⊥BC，∠ABD＝∠BAD，∠C＝65°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】先求出∠ABD的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∵∠C＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠C＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
6．（3分）长为10cm，7cm，5cm，3cm的四根木条，从中选取三根组成三角形，不同的选法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：选长度是10cm，7cm，5cm的木条，5+7＞10，能组成三角形；
选长度是10cm，7cm，3cm的木条，3+7＝10，不能组成三角形；
选长度是10cm，5cm，3cm的木条，5+3＜10，不能组成三角形；
选长度是5cm，7cm，3cm的木条，5+3＞7，能组成三角形．
∴从中选取三根组成三角形，不同的选法有2种．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
7．（3分）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2+xy+x＝x（x+y）
B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
C．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）
D．2a（b+c）﹣（b+c）＝（b+c）（2a﹣1）
【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可．
【解答】解：A、x2+xy+x＝x（x+y+1），原结果错误，故此选项不符合题意；
B、x2﹣2x+4在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），原结果错误，故此选项不符合题意；
D、2a（b+c）﹣（b+c）＝（b+c）（2a﹣1），结果正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝5，点D在边AB上，AD＝3.6，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则CF的长是（ ）
A．2.2B．2C．1.8D．1.6
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC＝5，∠A＝∠C＝60°，再根据垂直定义可得∠DEA＝90°，从而可得∠ADE＝30°，然后在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AE＝1.8，从而可得CE＝3.2，最后根据垂直定义可得∠EFC＝90°，从而可得∠FEC＝30°，再在Rt△EFC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CF＝1.6，即可解答．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝5，∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝3.6，
∴AE＝AD＝1.8，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣1.8＝3.2，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠FEC＝90°﹣∠C＝30°，
∴CF＝CE＝1.6，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等边三角形以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．（3分）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
【分析】结合单价＝总价÷数量，数量＝总价÷单价，即可得出答案．
【解答】解：设采购x个篮球，可得方程为×0.7＝；
设标价都为每个y元，可得方程为＝；
故选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出等量关系列出方程．
10．（3分）如图，∠MBN是锐角，点A在BM上，AB＝5，点C在BN上，点A到直线BN的距离为3，当AC＝m时，△ABC的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4B．3≤m＜5C．m＝3或m≥5D．m＝3或m＞5
【分析】当AC⊥BN时，m＝3，△ABC的形状、大小唯一确定；当3＜m＜5时，△ABC有两个；当m≥5时，△ABC的形状、大小唯一确定，于是得到m的取值范围．
【解答】解：当AC⊥BN时，m＝3，由HL判定△ABC的形状、大小唯一确定；
当3＜m＜5时，C的位置有两个，△ABC有两个；
当m≥5时，△ABC的形状、大小唯一确定；
∴m的取值范围是m＝3或m≥5．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，点到直线的距离，关键是要分三种情况讨论．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定位置．
11．（3分）数0.003用科学记数法表示为 3×10﹣3 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.003＝3×10﹣3．
故答案为：3×10﹣3．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 4 ．
【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°＝360°，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．
13．（3分）化简：＝ 1 ．
【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．
【解答】解：原式＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的加减法法则，解题时牢记定义是关键．
14．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕ED交AB于D，交BC于E，若AE＝AC，则∠B的度数为 35° ．
【分析】利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠AEC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．
【解答】解：由折叠的性质知：∠BED＝∠AED＝∠BEA，∠BDE＝∠ADE＝90°，
∵AE＝AC，∠C＝70°，
∴∠AEC＝∠C＝70°，
∴∠BED＝（180°﹣∠AEC）＝55°，
∴∠B＝90°﹣55°＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
15．（3分）已知a＞0，b＞0，（5a+10b+7）（5a+10b﹣7）＝176，则a2+2ab+6b的值是 9 ．
【分析】先利用平方差公式计算，再结合已知条件得出a+2b＝3，再将要求的代数式变形为a（a+2b）+6b，代入计算即可．
【解答】解：∵（5a+10b+7）（5a+10b﹣7）＝176，
∴（5a+10b）2﹣49＝176，
∴（5a+10b）2＝225，
∵a＞0，b＞0，
∴5a+10b＝15，
∴a+2b＝3，
∴a2+2ab+6b＝a（a+2b）+6b＝3a+6b＝3（a+2b）＝3×3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了平方差公式，代数式求值，正确计算是解题的关键．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝50°，AD平分∠BAC交BC于点D，作EA⊥AD交直线BC于点E．若AB+AC＝BE，则∠BAC的度数为 105°或15° ．
【分析】由题可知需要分类讨论，当点E在点B左侧时，当点E在点C右侧时，根据AB+AC＝BE可利用截长补短思路作辅助线，延长BA到点K，使AK＝AC，连接EK，证△EAK≌△EAC（SAS），即可得解．
【解答】解：①如图，当点E在点B左侧时，
延长BA到点K，使AK＝AC，连接EK，
∵AB+AC＝BE，
∴AB+AK＝BK＝BE，
∴∠BEK＝∠K＝∠ABC＝25°，
设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAE＝90°﹣α，
∴∠KAE＝90°+α，
∵∠EAC＝∠EAD+∠CAD＝90°+α，
∴∠EAK＝∠EAC，
∴△EAK≌△EAC（SAS），
∴∠ACB＝∠K＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝105°；
②如图，当点E在点C右侧时，
延长BA到点K，使AK＝AC，连接EK，
∵AB+AC＝BE，
∴AB+AK＝BK＝BE，
∴∠BEK＝∠K＝＝65°，
设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠CAE＝90°﹣α，∠BAE＝90°+α，
∴∠KAE＝90°﹣α＝∠CAE，
∴△EAK≌△EAC（SAS），
∴∠ACE＝∠K＝65°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝15°；
综上，∠BAC的度数为105°或15°．
故答案为：105°或15°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）（1）计算：2x•x2﹣x5÷x2；
（2）分解因式：x3﹣4x2+4x．
【分析】（1）先根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）2x•x2﹣x5÷x2
＝2x3﹣x3
＝x3；
（2）x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，提公因式法与公式法的综合运用，正确计算是解题的关键．
18．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣2），
得：5（x﹣2）＝7x，
解得：x＝﹣5，
经检验：x＝﹣5是原分式方程的根，
所以分式方程的解为x＝﹣5；
（2）两边都乘以3（x+1），
得：3x＝2x+3x+3，
解得：x＝﹣1.5，
经检验：x＝﹣1.5是原分式方程的根，
所以分式方程的解为x＝﹣1.5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（8分）如图，点E，F在线段BC上，∠A＝∠D，∠B＝∠C，BF＝CE，求证：AE＝DF．
【分析】先根据BF＝CE得BE＝CF，进而可依据“AAS”判定△ABE和△DCF全等，然后再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝x+1，
当x＝3时，原式＝3+1＝4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
（1）在图1中，作△ABC的高线CD；
（2）在图2中，①在AB上画一点E，使CE平分△ABC的面积；
②点M是边AC上任意一点，在①的条件下，在BC上画一点N，使∠ENB＝∠MNC；
（3）在图3中，在AC上画一点F，使∠AFB＝∠ABC．
【分析】（1）取格点J，连接CJ，延长CJ交AB于点D，线段CD即为所求；
（2）①取AB的中点E，连接CE即可；
②作线段AB关于BC的对称线段BA′，取BA′的中点E′，连接ME′交BC于点N，连接EN即可；
（3）取格点K，构造等腰直角三角形ABK，取格点M，N，连接MN交AK于点J，连接BJ，延长BJ交AC于点F，点F即为所求，
【解答】解：（1）如图1中，线段CD即为所求；
（2）①如图2中，线段CE即为所求；
②如图2中，点N即为所求；
（3）如图3中，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
22．（10分）如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点P，连接BP．
（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若AC＝5，△APC的面积是10，△ABC的面积是15，求△ABC的周长．
【分析】（1）过点P作PF⊥BD于F，PG⊥AC于G，PH⊥BE于H，根据角平分线的性质得到PF＝PG，PH＝PG，得到PF＝PH，再根据角平分线的判定证明；
（2）根据三角形面积公式求出PG，再根据三角形面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，过点P作PF⊥BD于F，PG⊥AC于G，PH⊥BE于H，
∵AP平分∠DAC，PF⊥BD，PG⊥AC，
∴PF＝PG，
∵CP平分∠ACE，PH⊥BE，PG⊥AC，
∴PH＝PG，
∴PF＝PH，
∵PF⊥BD，PH⊥BE，
∴BP平分∠ABC；
（2）∵AC＝5，△APC的面积是10，
∴×5×PG＝10，
∴PG＝4，
∴PF＝PH＝PG＝4，
∵△ABC的面积是15，△APC的面积是10，
∴×AB×PF+×BC×PH＝25，
∴AB+BC＝12.5，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12.5+5＝17.5．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
23．（10分）如果整式A能写成整式B的平方，即A＝B2，则整式A是完全平方式，例如x2+2xy+y2＝（x+y）2，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，则我们将x2+2xy+y2和x2﹣2xy+y2称为完全平方式．
在数学学习中，我们经常将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为一个完全平方式来解决问题，例如：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1．
（1）代数式①a2﹣2a+1，②a2+4，③4ab+4a2+b2，④（a+b）2+1﹣2（a+b）中，是完全平方式的是 ①③④ （填序号）；
（2）若a，b，c是△ABC的三边长，比较4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2与0的大小关系，并说明理由；
（3）若，则的最小值为 ﹣ ．
【分析】（1）根据完全平方公式求解；
（2）先把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系求解；
（3）先把代数式变形，再配方求解．
【解答】解：（1）∵①a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
③4ab+4a2+b2＝（2a+b）2，
④（a+b）2+1﹣2（a+b）＝（a+b﹣1）2，
故答案为：①③④；
（2）4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2＞0；
理由：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b+c+a＞0，b+c﹣a＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0
∴4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2
＝（2bc+b2+c2﹣a2）（2cb﹣b2﹣c2+a2）
＝[（b+c）2﹣a2][a2﹣（b﹣c）2]
＝（b+c+a）（b+c﹣a）（a+b﹣c）（a﹣b+c）＞0；
（3）∵，
∴＝a2++b2+
＝（a+b）2﹣2ab+
＝（a+b）2+﹣4（a+b）
＝（a+b﹣2）2﹣≥﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式、三角形的三边关系和非负数的性质是解题的关键．
24．（12分）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，则∠A＝ 36° ；
（2）如图2，在△ABC中，∠B＝30°，点D在BC上，∠BAD＝45°，AB＝CD，求∠C的度数；
（3）如图3，在四边形ABDC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝∠ACD＝80°，AC＝CD，求∠ADB的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，易得∠ABC＝∠C＝∠BDC；根据三角形外角的性质，易得∠BDC＝2∠A；设∠A＝x，列方程即可解答；
（2）如图2，在BC上取一点E，使BE＝AB，证明△ADB≌△AEC（SAS），即可解答；
（3）先根据三角形的内角和定理得：∠ACB＝60°，由等腰三角形的性质得∠ADC＝∠CAD＝＝50°，如图3，延长CA至点G，使CG＝BC，连接BG，作∠BCF＝∠ABC＝40°，交AB于F，交AD于点P，连接FG，设AD与BC交于点E，证明△CFG≌△CDB（SAS）和△CFG≌△BFG（SSS），即可解答．
【解答】解：（1）设∠A＝x，
∵AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠C，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x，
∴∠C＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°；
故答案为：36°；
（2）如图2，在BC上取一点E，使BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵AB＝CD，
∴BE＝CD，
∴BE﹣DE＝CD﹣DE，
即BD＝CE，
∵∠B＝30°，∠BAD＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝75°，∠ADE＝30°+45°＝75°，
∴∠ADE＝∠BEA＝75°，
∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠C＝∠B＝30°；
（3）∵∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵∠ACD＝80°，
∴∠BCD＝80°﹣60°＝20°，
∵AC＝CD，
∴∠ADC＝∠CAD＝＝50°，
如图3，延长CA至点G，使CG＝BC，连接BG，作∠BCF＝∠ABC＝40°，交AB于F，交AD于点P，连接FG，设AD与BC交于点E，
∴∠AFC＝40°+40°＝80°＝∠BAC，∠ACF＝60°﹣40°＝20°＝∠BCD，
∴AC＝CF，
∵AC＝CD，
∴CF＝CD，
∵∠ACB＝60°，CB＝CG，
∴△BCG是等边三角形，
∴BG＝CG＝BC，∠BGC＝60°，
在△CFG和△CDB中，
，
∴△CFG≌△CDB（SAS），
∴∠CGF＝∠CBD，
在△CFG和△BFG中，
，
∴△CFG≌△BFG（SSS），
∴∠CGF＝∠BGF＝×60°＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∵∠BED＝∠BCD+∠ADC＝20°+50°＝70°，
∴∠ADB＝180°﹣30°﹣70°＝80°．
【点评】本题是三角形的综合题，考查的是等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，三角形内角和为180°，三角形全等的性质和判定等知识点，正确作辅助线构建等边三角形和全等三角形是解本题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
C
B
D
D
A
C