江苏省南京师范大学附属中学新城初级中学2024-2025学年七年级下学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省南京师范大学附属中学新城初级中学2024-2025学年七年级下学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
2. 关于的二元一次方程的一个解是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程得出，再求出方程解即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
3. 若，则下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：，
，
选项A不符合题意；
，
，
选项B不符合题意；
，
，
，
选项C符合题意；
，
，
选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式，再根据在数轴上表示不等式解集的方法判断即可．
【详解】解：解不等式得：，
在数轴上表示为：

故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集，在表示解集时“＞，≥”向右画；“＜，≤”向左画，“≥，≤”要用实心圆点表示；“＜，＞”要用空心圆点表示．
5. 已知，，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小．
【详解】解∶∵，，
∴
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键．
6. 如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（ ）
A. 16B. 19C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 若，则的值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可求解
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：6
8. 若，则代数式的值为_________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用多项式乘多项式法则进行计算，求出的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握多项式乘多项式法则，正确进行计算，是解题的关键．
9. 若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】同乘以得到，两边都加上3即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：
【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
10. 若 ， ，则 __________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式变形求值，根据代入求值即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
故答案为：．
11. 已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，先利用平方差公式分解因式，再逐步代入计算即可.
详解】解：∵，
∴
；
故答案为：
12. 由方程组可得______．（用只含x的代数式表示）
【答案】##
【解析】
【分析】方程组消去，用表示出即可．
【详解】解：，
将代入中得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解二元一次方程，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13. 若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】可求不等式组的解集为，从而可求整数解为、、，即可求解．
详解】解：由题意得
，
不等式组有整数解，
，
有个整数解，
整数解为、、，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了由一元一次不等式组的整数解个数求参数取值范围，掌握求法是解题的关键．
14. 若，则_________．
【答案】54675
【解析】
【分析】根据常用的求和公式，找到数的变化规律，根据求解即可．
【详解】解：
，
．
故答案为：54675．
【点睛】本题考查了数变化规律，求和公式，积的乘方的逆用，解题的关键是找到数的变化规律．
15. 如图，由旋转得到，点与点是一对对应点．连接，若，则的度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，设，由旋转的性质得，得，可得出，由三角形内角和定理可得出结论．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 一片草地，27只羊吃，6天可以吃完；23只羊吃，9天可以吃完．若是21只羊吃，___天可以吃完？
【答案】12
【解析】
【分析】可以设草地原有划草为a，草一天长b，一只羊一天吃x，根据“27只羊吃，6天可以吃完；23只羊吃，9天可以吃完”可得到两个关于abx的方程，解可得ab与x的关系．再设21只羊吃可以吃y天，列出方程，把关于ab的代数式代入即可得解．
【详解】设草地原有划草为a，草一天长b，一只羊一天吃x，根据题意得：
，
解得：b=15x，a=72x，
当有21只羊吃时，设可以吃y天，则
a+yb=21x×y，把b=15x，a=72x代入得：y=12（天）．
答：21只羊吃，12天可以吃完．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，把握羊吃草的同时草也在生长是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共68分．）
17. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解方程组是关键；
（1）根据加减消元法求解即可；
（2）先去分母化简，再根据加减消元法求解即可
【小问1详解】
解：，
由得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴ ；
【小问2详解】
解：，
由①得：，
由得：，解得：，
把代入②得：，解得：
∴
18. 解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式的解题步骤是解题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：；
【小问2详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：
19. 先化简，再求值：，其中，，．
【答案】，
【解析】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式，求解得化简结果，然后代值求解即可．
【详解】解：
当，时，
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式，代数式求值等知识，正确的运算求解是解题的关键．
20. 已知方程组的解、的值之和等于2，求的值．
【答案】k=4
【解析】
【分析】由原方程组中两个方程相减可得 与结合成新方程组，求解的值，再求解即可.
【详解】解： 方程组，
①②得：③，
又由题意得：④，
由③和④组成新的方程组，
解得：，
．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，结合已知条件熟练的构建新的二元一次方程组是解本题的关键.
21. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）画出向右平移4个单位后的图形；
（2）画出的中线；
（3）在图中存在满足与面积相等的格点Q（与点A不重合）共有 个．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）3
【解析】
【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据平移的定义先分别作出点A、B、C向右平移4个单位后得到的点，再顺次连接即可得到所求图形；
（2）根据中线的概念先作出边上的中点D，再连接即可得到所求；
（3）利用网格，根据平行线间距离相等，作的平行线，找到格点，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：取的中点，连接，如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：根据平行线间的距离处处相等，过点作的平行线，如图，不与点重合的格点共有3个．
22. 某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，其中苹果和梨的批发价与零售价格如下表：
（1）若该经营户批发苹果和梨共500kg，用去了1900元．求该经营户批发苹果和梨各多少kg？
（2）若该经营户批发苹果和梨共400kg，假设苹果和梨可以全部售完，该经营户要想利润不少于675元，则至少批发苹果多少kg？（损耗和其他成本忽略不计）
【答案】（1）该经营户批发苹果300kg，梨200kg
（2）该经营户至少批发苹果150kg
【解析】
【分析】（1）设批发苹果xkg，梨ykg．根据题意列出二元一次方程组，解方程组求解即可．
（2）设批发苹果mkg，则批发梨．根据题列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
设批发苹果xkg，梨ykg．
根据题意，列方程组：
解得．
答：该经营户批发苹果300kg，梨200kg．
【小问2详解】
设批发苹果mkg，则批发梨．
根据题意，得
解得
答：该经营户至少批发苹果150kg．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
23. 阅读下列材料：
若，则，得；
若，则，，得；
……
解决下列问题：
（1）若，证明：；
（2）若，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据材料中的求解过程进行运算求解即可；
（2）根据材料中的求解过程进行运算求解即可；
【小问1详解】
证明：由题意得，
即，
则，
得．
【小问2详解】
证明：由题意得，
化成，
即，
则，，
得．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式．解题的关键在于理解题意．
24. 某工厂准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子.
（1）若该工厂准备用不超过2400元的资金去购买，两种型号板材，制作竖式、横式箱子共10个，已知型板材每张20元，型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少只？
（2）若该工程新购得65张规格为型正方形板材，将其全部切割测好难过型或型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10只，且材料恰好用完，则能制作竖式箱子______只.
【答案】（1）最多制作竖式箱子5个；（2）45、34、23、12.
【解析】
【分析】（1）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得最多可以制作竖式箱子多少个；
（2）根据题意可以列出相应的二元一次方程，再根据a为整数和a≥10，即可解答本题．
【详解】解：（1）由题意可得，
1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，
设竖式箱子x个，则横式箱子（10-x）个，
（20+4×60）x+（2×20+3×60）（10-x）≤2400，
解得，x≤5，
∴x的最大值是5，
答：最多可以制作竖式箱子5个；
（2）如图
C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有65×3=195列，
∵材料恰好用完，
∴最后A型的数量一定是3的倍数，
设竖式a个，横式b个，
∵1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型，
∴（1+4×3）a+（2+3×3）b=195×3，
∴13a+11b=585，
∵和都是整数，且，
解得：、、、，
经验证，四种情况下型板数量均为3的倍数，
故答案为45、34、23、12.
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．
25. 如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．
（1）将图1中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，求的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点E，求的度数；
（3）将图1中的三角尺绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与边平行；在第______秒时，直线恰好与直线垂直．（直接写出结果）
【答案】（1）
（2）150° （3）5或17；11或23
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，代入数据计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出，利用内错角相等两直线平行求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）①分在上方时，，设与相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列式求出，即可得解；在的下方时，，设直线与相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得°，然后利用三角形的内角和定理求出，再求出旋转角即可；②分在的右边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再求出旋转角即可，在的左边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，计算即可得解．
【小问1详解】
解：在中，，
∴
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
平分，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图1，在上方时，设与相交于，
，
，
在中，，
，
，
旋转角为，
秒；
在的下方时，设直线与相交于，
，
，
在中，，
旋转角为，
秒；
综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行；
如图2，在的右边时，设与相交于，
，
，
，
旋转角为，
秒，
在的左边时，设与相交于，
，
，
，
旋转角为，
秒，
综上所述，第11或23秒时，直线恰好与直线垂直．
故答案为：5或17；11或23．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
品种
苹果
梨
批发价（元/kg）
4
3.5
零售价（元/kg）
6
5