湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 下列实数中，比2大的数是（ ）
2. 的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（ ）
3. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
4. 下列运算正确的是（ ）
5. 如图，直线，交于，，则的度数是（ ）
6. 如图，内接于，连结，，若，则的度数为（ ）
7. 对于函数，下列结论正确的是（ ）
8. 长沙市某中学开展“经典诵读”比赛活动，九年级某班7名同学在此次比赛中的得分单位：分分别是91，91，91，92，98，99，99，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
9. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ）
10. 如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为4，则的值为（ ）
二、填空题
11. 使有意义的x的取值范围是_________．
12. 分式方程＝1的解是______．
13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则___．
14. 某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为_________．

15. 如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______．
16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当5局裁判，乙、丙分别打了8局、13局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了___________局．
三、解答题
17. 计算：；
18. 先化简，再求值：计算，其中．
19. 天心阁景区位于长沙市中心东南角，自古享有“潇湘古阁，秦汉名城”的赞誉，是三千年古城长沙最具代表性的文化旅游景点，也是长沙城标志性的历史建筑．景区内有古城墙、天心古阁等建筑，在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量天心阁主阁及城墙的高度，如图，他们选取的测量点与城墙底部在同一水平线上，为城墙的高，已知，在处测得平台的仰角，顶部的仰角为．
(1)求城墙的高；
(2)求主阁的高度．（参考数据：，结果保留整数）
20. 人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：（编程基础）、（图像识别）、（语音交互）、（数据分析）、（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次随机抽取调查的总人数为_______，并补全图①中的条形统计图；
(2)图②中项目对应的圆心角的度数为_______；
(3)若该校初三年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数．
21. 如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元．
(1)求，两种头盔的单价各是多少元；
(2)若该商店计划用不超过元购进，两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售1个种头盔可获利元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．
23. 已知：如图，为的一条弦，延长的直径至点，连，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求半径的长．
24. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．

(1)已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ；
①；②；③；④
(2)如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；
(3)如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．
25. 我们知道，若矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，在艺术上和生活中也被广泛应用．

(1)将矩形的短边长度设为，长边长度设为，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）
①若，则该矩形是黄金矩形；（ ）
②若该矩形是黄金矩形，且，则该矩形的面积是；（ ）
③若该矩形是黄金矩形，外接圆半径为，则一定是．（ ）
(2)如图1，将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线折叠，得到折痕；②折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；③过点折叠纸片，使点分别落在边上，展开得到折痕，折痕与折痕交于点．如果矩形是一个黄金矩形，其中．
①求证：；
②求的余弦值．
(3)如图2，在中，高为，，，矩形的一边在边上，分别在上，交于点，且矩形是黄金矩形．该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题
整体难度：较易
考试范围：数与式、图形的变化、图形的性质、函数、统计与概率、方程与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
A．5
B．1
C．0
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，
D．y的值随x值的增大而增大
A．91，91
B．91，91.5
C．91，92
D．99，92
A．
B．
C．
D．
A．26
B．16
C．12
D．8
题型
数量
单选题
10
填空题
6
解答题
9
难度
题数
容易
9
较易
8
适中
7
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
实数的大小比较
2
0.94
用科学记数法表示绝对值大于1的数
3
0.85
轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
4
0.85
同底数幂相乘；合并同类项；幂的乘方运算；同底数幂的除法运算
5
0.94
两直线平行同位角相等
6
0.94
圆周角定理
7
0.94
根据一次函数解析式判断其经过的象限；判断一次函数的增减性
8
0.85
求中位数；求众数
9
0.94
列举法求概率
10
0.65
根据图形面积求比例系数（解析式）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
二、填空题
11
0.65
二次根式有意义的条件
12
0.85
解分式方程（化为一元一次）
13
0.94
一元二次方程的根与系数的关系
14
0.94
求圆锥侧面积
15
0.85
根据菱形的性质与判定求线段长；根据菱形的性质与判定求面积
16
0.85
逻辑推理与论证
三、解答题
17
0.85
实数的混合运算；特殊角三角函数值的混合运算
18
0.94
分式化简求值
19
0.65
仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
20
0.65
由样本所占百分比估计总体的数量；画条形统计图；求扇形统计图的圆心角；条形统计图和扇形统计图信息关联
21
0.85
全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质
22
0.65
销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；最大利润问题(一次函数的实际应用)；用一元一次不等式解决实际问题
23
0.65
证明某直线是圆的切线；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角
24
0.65
y=ax²+k的图象和性质；用勾股定理解三角形；切线的应用；坐标与图形综合
25
0.4
相似三角形的判定与性质综合；黄金分割；图形问题(实际问题与二次函数)；解直角三角形的相关计算
序号
知识点
对应题号
1
数与式
1,2,4,11,17,18
2
图形的变化
3,17,19,23,25
3
图形的性质
5,6,10,14,15,16,21,23,24
4
函数
7,10,22,24,25
5
统计与概率
8,9,20
6
方程与不等式
12,13,22