黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
直线 x  1 的倾斜角是（）
π
A. 0B.
4
π
C. D. 不存在
2
已知一组样本数据为1、3 、5 、8、10 、12 ，则这组数据的第 75 百分位数是（）
A. 11B. 10C. 9D. 8
两条平行直线l1 : 3x  4 y  2  0 与l2 : 6x  8 y  9  0 间的距离为（）
7
A 1B. 5
C.7D. 1
2
10
方程 x2  y2  2x  my  5  0 表示圆，则m 的取值范围是（）
(, 4)  (4, )
C ( , 2 3) ∪ ( 2 3, )
(, 2) ∪ (2, )
D. (, 2 5) ∪ (2 5, )
甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是0.6 、0.5 ，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为（）
A. 0.3B. 0.2C. 0.7D. 0.8
当点 P 1, 0 到直线l : y  ax  a  1 (a  R) 的距离取最大值时， a 的值为（）
 1
2
2
2D. 1
2
班上有 5 名数学爱好者，其中 3 人选修了《数学史》.若从这 5 人中随机选出 2 人，则恰好 2 人都选修了
《数学史》的概率是（）
3312
A.B.
105
C. D.
53
已知圆C : x2  y2  4x  4 y  6  0 ，定点 A1,1 ， P 为 x 轴上一动点， B 为圆C 上一动点，则 PA  PB
2
2
的最小值为（）
2
A.
B. 2
C. 3
D. 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
某班 50 个同学的数学成绩构成一组数据，这组数据的每个数依次减去它们的平均数，得到另一组新数据，则（ ）
新数据与原数据的平均数相同B. 新数据与原数据的方差相同
C. 新数据与原数据的中位数相同D. 新数据与原数据的极差相同
一个袋子中有大小相同，标号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件 A=“第一次摸出球的标号小于 3”，事件 B=“第二次摸出球的标号小于 3”，事件 C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则（ ）
A P( A)  P(B)
P( A ∪ B)  5
6
B. P( AB)  1
4
P( AC)  1
6
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 、 B 为圆O : x2  y2  9 上两动点，点 P 1,1 ，且 PA  PB ， C
为 AB 中点，则下列说法正确的是（）
点 P 在圆O 内
OC  AB
点C 的轨迹方程为2x2  2 y2  2x  2 y  9  0
2
AB 的最大值为4 
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
一组样本数据为 2、3、1、1、0、2、1、 0 ，则这组数据的众数为.
从某网络平台推荐的影视作品中抽取 200 部，统计其评分数据，将所得 200 个评分数据分为 6 组：[65, 70) ， [70, 75) ， 75,80 ， 80,85， 85, 90 ，[90, 95] ，并整理得到如下的频率分布直方图：
则评分在区间[80, 90] 内的影视作品数量是部.
已知△ ABC 的顶点 A2,1 ，边 AC 上的高所在直线方程为 x  2 y  5  0 ，∠ACB 的角平分线所在
直线方程为 x  y  4  0 ，则顶点 C 的坐标为；直线 BC 的方程为
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了 200 名学生的数学成绩，将成绩分为30, 50,50, 70,70, 90,90,110,110,130,130,150，共 6 组，得到如图所示的频率分布 直方图.
求实数 a 的值.
在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在[90,150] 内的学生中抽取 13 名，问其中成绩在
[130,150] 的学生有几名？
根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分.
已知 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，直线l 过点 P(2, 5) 且与直线 AB 平行.
求直线l 的方程.
若圆 C 经过 A 、 B 两点，且圆心 C 在直线l 上，求圆 C 的标准方程．
人数性别
支持
不支持
男生
400
200
女生
300
100
学校体育教研组创作了一项新的课间“健身操”项目，为了解学生对该项目是否支持，对学生进行简单随机抽样调查，获得数据如下表：
假设每个学生对该项目是否支持是相互独立的.
从该校全体男生、全体女生中各随机抽取 1 人，求 2 人都支持该项目的概率.
从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持项目的概
率.
如图，在四棱锥 P  ABCD 中， BC / / AD ， PA  AD ，平面 PAB  平面 ABCD ， M 为 PD 的中点，
BAD  120 ，且 PA  AB  BC  1 AD  2 .
2
求证： CM / / 平面 PAB .
求证： PA  平面 ABCD
求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.
古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值λλ 0,λ 1 的点的轨迹 是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 xOy 中，
定点 F ( 2, 0) 、 E(4 2, 0) ，动点 P 满足
 1 ，则 P 的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆C .
PF
PE
2
求圆C 的方程.
如图，过点 F 斜率为 k (k  0) 的直线l 与圆C 相交于 B ， D （点 B 在 x 轴上方），点S ， T 是不在直线l 上的两点，满足 SF 平分BSD ， TF 平分BTD .
BS
DS
求的取值范围.
将点S 、 F 、T 看作一个阿氏圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为12π ，求直线l 的方程.
龙东十校联盟高二学年度月考
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
直线 x  1 的倾斜角是（）
π
A. 0B.
4
π
C. D. 不存在
2
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解.
【详解】因为直线 x  1 与 x 轴垂直，因此直线 x  1 的倾斜角是 π ．
2
故选：C．
已知一组样本数据为1、3 、5 、8、10 、12 ，则这组数据的第 75 百分位数是（）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据样本百分位数的定义，即可求解.
【详解】由6  75%  4.5 ，可知第 75 百分位数是第 5 个数，即为 10.
故选：B.
两条平行直线l1 : 3x  4 y  2  0 与l2 : 6x  8 y  9  0 间的距离为（）
7
1B. 5
C.7D. 1
2
10
【答案】D
【解析】
【分析】利用两条平行直线的距离公式计算即可.
【详解】直线l1 的方程化为6x  8 y  4  0 ，则l1 与l2 : 6x  8 y  9  0 间的距离
4  9
62  82
d  1
2 .
故选：D.
方程 x2  y2  2x  my  5  0 表示圆，则m 的取值范围是（）
(, 4)  (4, )B. (, 2) ∪ (2, )
C. ( , 2 3) ∪ ( 2 3, )D. (, 2 5) ∪ (2 5, )
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的一般方程的定义计算判断.
【详解】因为方程 x2  y2  2x  my  5  0 表示圆，
则22  m2  4  5  0  m  4 或 m  4 .
故选：A.
甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是0.6 、0.5 ，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为（）
A. 0.3B. 0.2C. 0.7D. 0.8
【答案】D
【解析】
【分析】根据对立事件的概率求解即可.
【详解】两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，所求概率为1 (1 0.6) (1 0.5)  0.8 .
故选：D.
当点 P 1, 0 到直线l : y  ax  a  1 (a  R) 的距离取最大值时， a 的值为（）
 1
2
2
2D. 1
2
【答案】C
【解析】
【分析】直线l 的方程化为点斜式，确定直线所过的定点；当点 P 到直线l 的距离最大时，直线l 与 P 和定点的连线垂直，通过斜率关系求解 a 的值.
【详解】∵直线l : y  ax  a  1 (a  R) ，可变形为 y 1  a(x 1)(a  R) ，恒过定点Q 1,1 ，
∴当点 P 1, 0 到直线l : y  ax  a  1 (a  R) 的距离取最大值时， PQ  l .
1 01
直线 PQ 的斜率 kPQ  11   2 ，
Q直线l 的斜率为 a ，且 PQ  l ，
两直线斜率之积为1，即 a  k 1，代入 k  1 可得： a  ( 1 )  1，解得 a  2 .
PQPQ22
故选：C.
班上有 5 名数学爱好者，其中 3 人选修了《数学史》.若从这 5 人中随机选出 2 人，则恰好 2 人都选修了
《数学史》的概率是（）
3312
A.B.
105
C. D.
53
【答案】A
【解析】
【分析】先求出样本空间的样本数和恰好 2 人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解.
【详解】由题知班上有 5 名数学爱好者，其中 3 人选修了《数学史》，记选修了《数学史》的 3 人为 A1, A2 , A3 ，其余的 2 人为 B1, B2 ，
从 5 人中选取2 人有： A1 A2 , A1 A3 , A2 A3 , A1B1 , A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , B1B2 ，共有 10 种情况，
恰好 2 人都选修了《数学史》的有 A1A2 , A1A3, A2 A3 ，共 3 种情况，
3
所以从这 5 人中随机选出 2 人，则恰好 2 人都选修了《数学史》的概率为.
10
故选：A.
已知圆C : x2  y2  4x  4 y  6  0 ，定点 A1,1 ， P 为 x 轴上一动点， B 为圆C 上一动点，则 PA  PB
的最小值为（）
2
A.
B. 2
C. 3
D. 2
2
2
【答案】B
【解析】
【分析】利用数形结合，结合圆的性质以及点关于直线的对称点的性质，转化为三点共线问题，即可求解.
2
【详解】圆C : x2  y2  4x  4 y  6  0 的圆心C(2, 2) ，半径 r 
2
PA  PB  PA  PC ，当 P 、 B 、C 三点共线（ B 点在 P 、C 两点之间）时，取等号，
点 A1,1 关于 x 轴的对称点为 A1, 1 ， PA  PC  AC  3 2 ，
当 A 、 P 、C 三点共线时，取等号.
所以 PA  PB 的最小值为2.
2
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
某班 50 个同学的数学成绩构成一组数据，这组数据的每个数依次减去它们的平均数，得到另一组新数据，则（）
新数据与原数据的平均数相同B. 新数据与原数据的方差相同
C. 新数据与原数据的中位数相同D. 新数据与原数据的极差相同
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义逐一判断即可.
【详解】设 50 个同学的数学成绩构成一组数据（原）数据： x1, x2 ,L, x50 ，它们的平均数为 x （由实际意义可知 x  0 ），方差为 s2 ，
得到的新数据为： x1  x, x2  x,L, x50  x ，它们的平均数为 x  x  0 ，A 错误；新数据的方差：
 x  x  02   x  x  02 L  x  x  02 x  x 2   x  x 2 L  x  x 2
s2 
1250
1250
 s2 ，B 正确；
15050
因为 x  0 ，所以新数据与原数据的中位数相差 x ，C 错误；新数据与原数据的极差相同，D 正确.
故选：BD
一个袋子中有大小相同，标号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件 A=“第一次摸出球的标号小于 3”，事件 B=“第二次摸出球的标号小于 3”，事件 C=“两
次摸出球的标号都是偶数”，则（）
A. P( A)  P(B)
C. P( A ∪ B)  5
6
B. P( AB)  1
4
D. P( AC)  1
6
【答案】AC
【解析】
【分析】利用古典概型的概率计算方法求相应事件的概率，判断各项是否正确即可.
【详解】由题意，摸球两次的样本空间
Ω {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,1), (2, 3), (2, 4), (3,1), (3, 2), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4, 3)}
事件 A  {(1, 2), (1, 3),(1, 4), (2,1),(2, 3),(2, 4)} ， B  {(1, 2), (2,1),(3,1),(3, 2), (4,1),(4, 2)}
事件C  {(2, 4), (4, 2)}，所以 AB  {(1, 2), (2,1)}， AC  {(2, 4)}
A ∪ B  {(1, 2), (1, 3),(1, 4), (2,1),(2, 3),(2, 4), (3,1),(3, 2), (4,1),(4, 2)}，
所以 P( A)  P(B)  6  1 ， P( AB)  2  1 ， P( A ∪ B)  10  5 ， P( AC)  1 .
故选：AC
122
126
12612
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 、 B 为圆O : x2  y2  9 上两动点，点 P 1,1 ，且 PA  PB ， C
为 AB 中点，则下列说法正确的是（）
点 P 在圆O 内
OC  AB
点C 的轨迹方程为2x2  2 y2  2x  2 y  9  0
2
AB 的最大值为4 
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 由12 12  9 得到；B 由垂径定理知OC  AB ；C 先得到| OC |2  | PC |2  9 ，令C(x, y) ，则
 2 2 
x2  y2  (x 1)2  ( y 1)2  9 ，即可得；D 确定C 轨迹是以 M  1 , 1  为圆心， 2 为半径的圆，故

2
| PC | PM  2  2 2 ，所以| AB | 4 .
max
2max
【详解】A．由12 12  9 ，则点 P 在圆O 内，正确.
B．因为C 为弦 AB 的中点，由垂径定理知OC  AB ，正确.
C．由 PA  PB 得| PC || AC || BC | 且| OC |2  | AC |2 | OC |2  | PC |2  9 ，
令C(x, y) ，则 x2  y2  (x 1)2  ( y 1)2  9 ，整理得2x2  2 y2  2x  2 y  7  0 ，错误.
D．点C 的轨迹方程化为(x  1 )2  ( y  1 )2  4 ，即C 轨迹是以 M  1 , 1  为圆心， 2 为半径的圆，
2 2
22
 

1 21 2
1 2   1 2 

21 21 2
故 PM

，又(1 )
22
 (1 ) 2
 4 ，即 P 在圆C 内，
2
故| PC | PM  2  2 2 ，而 AB  2 | PC | ，所以| AB | 4 ，正确.
max2
max
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
一组样本数据为 2、3、1、1、0、2、1、 0 ，则这组数据的众数为.
【答案】1
【解析】
【分析】由众数的定义即可得.
【详解】由众数的定义知：这组数据的众数为 1.
故答案为：1.
从某网络平台推荐的影视作品中抽取 200 部，统计其评分数据，将所得 200 个评分数据分为 6 组：[65, 70) ， [70, 75) ， 75,80 ， 80,85， 85, 90 ，[90, 95] ，并整理得到如下的频率分布直方图：
则评分在区间[80, 90] 内的影视作品数量是部.
【答案】85
【解析】
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[80, 90] 内的频率，进而得到影视作品数量.
【详解】评分在区间[80, 90] 内的影视作品数量是(0.05  0.035)  5 200  85 部.
故答案为：85.
已知△ ABC 的顶点 A2,1 ，边 AC 上的高所在直线方程为 x  2 y  5  0 ，∠ACB 的角平分线所在直线方程为 x  y  4  0 ，则顶点 C 的坐标为；直线 BC 的方程为
【答案】① 3, 1
②. x  2 y 1  0
【解析】
【分析】首先设边 AC 上的高为 BH，根据垂直关系得到 kAC  2 ，利用点斜式得到lAC : 2x  y  5  0 ，再联立方程求解顶点 C 的坐标.设∠ACB 的角平分线为 CM，得到点 A2,1 关于 CM 的对称点为
D(5, 2) ，再求直线 BC 方程即可.
【详解】设边 AC 上的高为 BH，它所在直线方程为 x  2 y  5  0 ，
∴ k k 1 ，且 k 1 ，
ACBH
∴ kAC  2 ，
BH2
∵V ABC 的顶点 A2,1 ，∴直线 AC 方程： y 1  2  x  2 ，即2x  y  5  0 .
x  y  4  0
与 x  y  4  0 联立， 2x  y  5  0

所以顶点 C 的坐标为3, 1 ；
x  3

，解得：  y  1
设∠ACB 的角平分线为 CM，它所在直线方程为 x  y  4  0 ，设点 A2,1 关于 CM 的对称点为 D ，
 n 1

设点 D 的坐标为m, n ，则 m  2
m  2
 1
n 1
m  5

n  2 ，
 4  0

因为 D(5, 2) 在直线 BC 上， k
22
 2 1   1
BC5  32
所以直线 BC 的方程为 y 1   1  x  3 ，即 x  2 y 1  0 .
2
故答案为： 3, 1 ， x  2 y 1  0
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了 200 名学生的数学成绩，将成绩分为30, 50,50, 70,70, 90,90,110,110,130,130,150，共 6 组，得到如图所示的频率分布 直方图.
求实数 a 的值.
在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在[90,150] 内的学生中抽取 13 名，问其中成绩在
[130,150] 的学生有几名？
根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分.
【答案】（1） 0.0125
（2）2（3）98
【解析】
【分析】（1）根据频率和为 1 求 a 的值.
根据分层抽样的方法求解.
利用频率分布直方图估计平均数即可.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图知：
0.0025  0.005 2  0.01 a  0.015 20  1，解得a  0.0125 .
【小问 2 详解】
0.005
采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：
0.005  0.015  0.0125
13  2 ，
即成绩在[130,150] 的学生有 2 名.
【小问 3 详解】
由频率分布直方图知：
平均数为： 40  0.05  60  0.1  80  0.2  100  0.3  120  0.25  140  0.1  98 .
已知 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，直线l 过点 P(2, 5) 且与直线 AB 平行.
求直线l 的方程.
若圆 C 经过 A 、 B 两点，且圆心 C 在直线l 上，求圆 C 的标准方程．
【答案】（1） 3x  y 11  0
（2） ( x  3)2  ( y  2)2  25
【解析】
【分析】（1）根据直线l 和直线 AB 平行，可求直线l 的斜率，进而可得所求直线方程；
（2）根据圆的几何性质可得圆心的坐标，再求圆的半径，从而得圆的标准方程.
【小问 1 详解】
∵直线 AB 的斜率为 kAB
 2 1  3 ，且直线l //AB ，
2 1
∴直线l 的斜率为3 ，且过 P(2, 5) ，
所以直线l 的方程为 y  5 （ 3） x  2 ，即3x  y 11  0 .
故直线l 的方程为3x  y 11  0 .
【小问 2 详解】
 22 
设线段 AB 的中点为 D，由 A(1,1) ， B(2, 2) ，可得 D  3 ,  1  ，

又因kAB  3，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率 k  
1
kAB
 1 .
3
因此线段 AB 的垂直平分线方程为 y  1  1  x  3  ，即 x  3y  3  0 ．
23 2 

因圆心 C 既在线段 AB 的垂直平分线上，又在直线l 上，

x  3y  3  0
所以解方程组
3x  y 11  0
x  3

，解得 y  2 ，
(1 3)2  (1 2)2
所以圆心C(3, 2) ，圆的半径 r | AC |
 5 ．
故所求圆的标准方程是( x  3)2  ( y  2)2  25 ．
人数性别
支持
不支持
男生
400
200
女生
300
100
学校体育教研组创作了一项新的课间“健身操”项目，为了解学生对该项目是否支持，对学生进行简单随机抽样调查，获得数据如下表：
假设每个学生对该项目是否支持是相互独立的.
从该校全体男生、全体女生中各随机抽取 1 人，求 2 人都支持该项目的概率.
从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持项目的概率.
1
【答案】（ ） 1
2
4
（2）
9
【解析】
【分析】（1）先利用古典概型分别求出男生和女生支持项目的概率，再根据相互独立事件的概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件的概率公式求解即可.
【小问 1 详解】
记“该校男生支持项目”为事件 A，“该校女生支持项目”为事件 B，
则： P  A 400 2 ， P  B 

300 3 ，
400  2003
∵A 与 B 相互独立，
300 1004
∴ P  AB  P  A P  B  2  3  1 ；
342
【小问 2 详解】
设“抽取的 2 个男生和 1 个女生中，支持项目的恰有 2 人”为事件 C，
则   3
 2 2
P C

 1  2  1  3  1  2  3  4 ，
43343349
4
这 3 人中恰有 2 人支持项目的概率为 .
9
如图，在四棱锥 P  ABCD 中， BC / / AD ， PA  AD ，平面 PAB  平面 ABCD ， M 为 PD 的中点，
BAD  120 ，且 PA  AB  BC  1 AD  2 .
2
求证： CM / / 平面 PAB .
求证： PA  平面 ABCD .
求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3） 2 7
7
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形 BCMN 为平行四边形， CM / / BN ，得到线面平行；
作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，故CE  PA ，又 PA  AD ，证明出结论；
取 BC 的中点 F ，连接 AF ，得到 AF , AD, AP 两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式求出平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.
【小问 1 详解】
取 PA 中点 N ，连接 MN , BN ，
因为 M 为 PD 的中点，所以 MN / / AD 且 MN  1 AD ，
2
又 BC / / AD ， BC  1 AD ，
2
∴ MN / / BC 且 MN  BC ，
∴四边形 BCMN 为平行四边形，∴ CM / / BN ，
又 BN  平面 PAB ， CM  平面 PAB ，∴ CM / / 平面 PAB ；
【小问 2 详解】
在四棱锥 P  ABCD 中，连接 AC ，由 BC / / AD ， BAD  120 ，得ABC  60 ，而 AB  BC ，则V ABC 为等边三角形，取 AB 中点 E ，连接CE ，则CE ⊥AB ，
由平面 PAB  平面 ABCD ，平面 PAB  平面 ABCD  AB ， CE  平面 ABCD ，
得CE  平面 PAB ，而 PA  平面 PAB ，则CE  PA ，又 PA  AD ， CE 与 AD 相交， CE, AD  平面 ABCD ，所以 PA  平面 ABCD ；
【小问 3 详解】
取 BC 的中点 F ，连接 AF ，
V ABC 为等边三角形，故 AF ⊥BC ， AF  AD ， AF 3, BF  CF  1 ，
由 PA  平面 ABCD ， AF  平面 ABCD ，得 PA  AF ，即 AF , AD, AP 两两垂直，
以 A 为原点，直线 AF , AD, AP 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由 PA  AB  BC  1 AD  2 ，
2
得 A(0, 0, 0), F ( 3, 0, 0), B( 3, 1, 0), P(0, 0, 2), C( 3,1, 0) ，
PB  ( 3, 1, 2), BC  (0, 2, 0), AF  ( 3, 0, 0) ，
显然 AF 为平面 PAD 的一个法向量，
–––→  →  0

 PB m
设平面 PBC 的一个法向量为 m  (x, y, z) ，则–––→ →
BC  m  0
3
解得 y  0 ，令 x  2 得 z ，故 m  (2, 0, 3) ，设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为θ，
 3x  y  2z  0
，
2 y  0
–→ –––→
| m  AF |
2 3
7  3
2 7
则csθ| csm, AF  | –→ –––→ ，
| m || AF |7
所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值是 2 7 .
7
古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值λλ 0,λ 1 的点的轨迹 是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 xOy 中，
定点 F ( 2, 0) 、 E(4 2, 0) ，动点 P 满足
 1 ，则 P 的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆C .
PF
PE
2
求圆C 的方程.
如图，过点 F 斜率为 k (k  0) 的直线l 与圆C 相交于 B ， D （点 B 在 x 轴上方），点S ， T 是不在直线l 上的两点，满足 SF 平分BSD ， TF 平分BTD .
BS
DS
求的取值范围.
将点S 、 F 、T 看作一个阿氏圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为12π ，求直线l 的方程.
【答案】（1） x2  y2  8
15
30
（2）（ⅰ）  1 ,1 ；（ⅱ） y x 
 3
33
【解析】
(x 2)2  y2
【分析】（1）设动点 P(x, y) ，根据条件建立方程2

，化简即可求
(x  4 2)2  y2
解；
BS
DS
（2）（i）根据题设条件得
，令
 λ(λ 0) ，进而有 BF  λ.FD ，设 D(x0 , y0 ) ，利用
BF
DF
BF
DF
5 2x
0
点在圆上，得λ 3 ，再结合 x 2 2, 2 ，即可求解；（ii）根据条件得到 S,T , F 在以 B, D
0
为定点的阿氏圆上，再结合题设条件求得 D 的坐标，即可求解.
【小问 1 详解】
设动点 P(x, y) ，因为 F ( 2, 0) 、 E(4 2, 0) ，又
 1 ，
PF
PE
2
(x 2)2  y2
得2

，化简整理得： x2  y2  8，
(x  4 2)2  y2
所以圆C 的方程为 x2  y2  8.
【小问 2 详解】
SB
SD
1 SB  SF sin BSF
由 SVSBF
SVSDF
 2 ，
1
2
SD  SF sin DSF
SVSBF
又
SVSDF

BF
DF
，所以
，令
 λ(λ 0) ，则 BF  λ.FD ，
BS
DS
BF
DF
BF
DF
设 D(x , y ) ，则有 x2  y2  8 ，又直线l 的斜率k  0 ，则 x 2 2, 2 ，
0000
–––→–––→
xB 
0
2(λ1) λx022
又由 BF  λ.FD  λx0 
2, y0  ，得
 yB  λy0
，代入 x  y
 8，
得到
2 1 λ λx
2  λ2 y2  8  0 ，即λ15λ 3 
2λx
  0 ，
5 2x0
0 00
∵λ 0 ，则5λ 3 
2λx0
 0 ，所以λ3，
又 x0 2 2, 2 ，则3  5 
BS
DS
1
2x0
 9 ，所以λ 3 (1 ,1) ，
5 2x
03
故的取值范围(,1) .
3
由（ⅰ）有
，由阿氏圆定义知 S,T , F 在以 B, D 为定点的阿氏圆上，
SB
SD
TB
TD
BF
DF
BF
DF
NB
ND
BF
DF
设此阿氏圆圆心为C1 ，半径为 r ，与直线l 的另一个交点为 N ，
则有
，即
r 
2r 
BF
2r 
DF
，整理得到
1
1  1 ，
BFDF
3
又 S πr 2  12π ，解得 r  2
，∴ 11
1，
圆C1
x 2 y
0

2
2
0
又 DF 
11
2 3

λDF
DF
11
1
| BF || DF |
x 2 8  x
0

2
2
0
10  2 2x0

DF
10  2 2x0
 1 1 1
，
2 3
 5 
2x0 1 1
BF
DF
∴
 λ3
，
5 2x0
设t 
0 ，则
1t 2
2t
(
3

2 3
1) 1，整理得到t 2 

6
t  3  0 ，
2
解得t 
5 2x0
由
6 或

6 （舍去），
2
6 ，解得 x  
2 ， y
 
 30 ，
8  x 2
0
0202
2  x0
∴ k 
 y0
 15 ，则直线l 的方程为 y  30  15  x  2  ，即 y  15 x  30 .
323 2 33
