安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷，共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3
试卷分值：150 分考试时间：120 分钟
已知空间直角坐标系中 ABC 三个顶点坐标分别为 A(1,2,1), B(1,4,2), C(1,3,1) ，AD 是ABC 边 BC
上的高，则 AD 的长为（ ）
一、单选题（本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
直线 y =− 1 的倾斜角为（ ）
3 14
2
2 14
3
3 3
2
π
2
0C． π
4
D．  π
2
如图，已知 ABCD ， ABEF 均为正方形，二面角C  AB  F 的大小为60。，则异面直线 AC 与 BF 所成角的余弦值为（ ）．
空间向量a  (2, 0, 2) 在b  (0,1,1) 上的投影向量为（ ）
A． 1
4
B． 1
2
C． 5
2
D． 5
4
 11 

1 1 
二、多选题（本题共 3 小题,每小题 6 分，共 18 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的
2
2
A．  2 , 0, 2 
B． 
, 0,
22
C． 0, ,
2 2
D．0,1,1
得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）

–→ –→
–→ ––→


设向量e1, e2 , e3 不共面，已知 AB  e1  e2  e3 ， BC  e1  e2  e3 , CD  4e1  8e2  4e3 , 若 A, C, D 三点共线，则
已知v1, v2 分别为直线l1, l2 的方向向量（ l1 ,l2 不重合）， n1, n2 分别为平面， 的法向量（， 不重合），
则下列说法中，正确的是（ ）
 （ ）
A．1B．2C．3D．4
两条直线l : x  y  1和l : x  y  1 在同一直角坐标系中的图象可以是（ ）
–→–→
v1 //v2  l1 //l2
–→ ––→
C． n1 //n2  //
–→–→
v1  n1  l1 
–→––→
D． n1  n2  
1 ab
2 ba
已知直线l : kx  y 1 3k  0(k R) 过定点Q ，则下列说法正确的是（ ）
直线l 过定点Q(3,1)
B．C．D．
若直线l 不经过第四象限，则k 的取值范围为[0, )
若直线l 在 x 轴上的截距为－3，则k  1
6
→ → →
–––→ –––→
若直线l 分别交 x，y 轴正半轴于 A，B，则当 AQ  QB 取得最小值时，直线l 的方程为 x  y  4  0
若a,b , c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． →→→→B． →  →→→
已知正方体 ABCD  A1 B1C1 D1的棱长为 4，动点 P 在正方体底面 A1B1C1D1 上（包含边界），则下列说法正确
a  2b, a  2c, b  c
a c, b , 3a  b  3c
的是（ ）
C． → → →D． →→ →→
2a, c, bc
a  b ,b  c , a  2b  c
不存在点 P ，使得CP ∥面 A1BD
对于平面内直线方程的一般式为 Ax  By  C  0 ，我们可以这样理解：若直线 l 过定点 P0  x0 , y0  ，向量
→   A, B  为直线 l 的法向量，设直线 l 上任意一点 P  x, y ，则 →  P P  0 ，得直线 l 的方程为
存在点 P ，使得 AP⊥面 A1BD
nn0
若 AP =
，则点 P 的轨迹长度为π
8 3
2 3
33
A x  x0   B y  y0  0 ，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面α过定点Q0 1, 0, 1 ，向
量m  2，1 ，3为平面α的法向量，则平面α的方程为（）
若 M 为面C1CDD1 的中心，则 AP＋PM 的最小值为2
14
a
三、填空题（本题共 3 小题,每小题 5 分，共 15 分.）
2x  y  3z 1  0
2x  y  3z 1  0
已知直线 l 的一个方向向量为 →  2, 3 ，若 l 过点 A4, 3 ，则直线 l 的方程为．
2x  y  3z 1  0
2x  y  3z 1  0
→  2, 3x, 4→ 
→  1, 0, 0
→→→
x 
已知向量a
 ， b
0,1, 2 ， c
 ，若a ， b ， c 共面，则．
ABCD  A B C D
––––→ ––––→3

18．（本小题满分 17 分）
已知正方体1 1 1 1的棱长为 1，点 M 在正方体内（包含表面）运动，若CM AC1   2 ，则动
点 M 的轨迹所形成区域的面积为
四、解答题（本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分 13 分）
已知直线 x  2 y 1  0 和直线 x  y  4  0 的交点为 P .
求 P 点坐标.
求过点 P 且与 A(2,3) 和 B(4,5) 距离相等的直线方程.
16．（本小题满分 15 分）
如图，在平行六面体 ABCD  A1 B1C1 D1中，E，F 分别为棱 A1D1，CD 的中点，
记 BC  →→ ，满足
a，BA  b，BB1  c
如图， PD  平面 ABCD,AD  CD,AB//CD,PQ//CD ，
AD  CD  DP  2PQ  2 AB  2 ，点 E, F , M 分别为 AP, CD, BQ 的中点.
求证： EF // 平面CPM ；
求平面 ABQP 与平面CPM 夹角的大小；
若 N 为线段CQ 上的点，且直线 DN 与平面QPM 所成的角为 π ，求 N 到平
6
面CPM 的距离.
19．（本小题满分 17 分）
如图,将△EAB,△ECB,△ECD,△EAD 四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形 ABCDE,其中 EA=EC，EB=ED，
AB=BC=CD=DA.连接 AC,BD,过点 E 作平面,满足 AC //,BD //.
B BC  B BA  π ，CBA  π ，AB  BC  2 ， BB  3 ．
1132
求 BD1 的长度；
1(1)证明:AC⊥BD.
若 EA = 2，EB =AB=1，且 AC=BD.
(2)求 AC 与 EF 夹角的余弦值．
17．（本小题满分 15 分）
已知直线l1 : x  ay  a  0 和直线l2 : ax  2a  3 y  a  2  0 .
(1)若l1  l2 ，求实数a 的值；(2)若l1 ∥l2 ，求实数a 的值.
求 AC 到平面的距离与 BD 到平面的距离的平方和;
求平面 AEB 与平面夹角的余弦值.
9．ACD10．ACD11．BCD
1．B2．D3．C4. A 5．C6．D7．A 8．A
一、单选题二、多选题
参考答案
所以
a  3 .15
分
三、填空题
3x  2 y 18  0
2
14． 3
8
3
四、解答题
15.（1） (3,1)5 分
（2） y  1或4x  y 13  08 分
a，1 c ,
16．（1）因 BC  → BA  b，BB  →
→ →π→ →→ →π→→→
则 a, b 
,  b, c  a, c 
23
， a  b
 2, c
 3 ，
→ →→ →→ →π
于是a  b  0, b  c  a  c  2  3cs
3
 3.
又 BD  BA  BC  BB  →  b → ，
11ac
则
––––→2
→→→→→→
→ →→ →→ →
BD1
 (a  b  c )2  a2  b2  c2 2( a  b  b  c
a c) 4 4 9 2(3 3) 29
，
29
故| BD1 |7 分
–––→––––→––––→–––→
1 –––→–––→
1 –––→
1 →1 →→
（2）因为 EF  ED1  D1D  DF  2 BC  BB1  2 BA  2 a  2 b  c ，则
–––→
2
1 →1 →→ 2
1 →2
1 →2
→21 → →→ →→ →
| EF |  ( a  b  c)  a  b  c
2244
11
故| EF |，
 a  b  b  c  a  c  1  1  9  11 ， 2
→→→
又 AC  BC  BA  a  b 则| AC |2  (a  b)2  a2  b 2  2a  b  8 ，故
| AC | 2 2 ，
则
–––→ –––→
→→1 →
1 →→
1 →2
1 →2
→ →→ →→ →
AC EF  (a  b) ( a 
22
，
b  c)
a  b
22
 a b b c a c
2 2 3 3
18．（1）连接 EM ，因为 AB / /CD，PQ / /CD ，所以 AB / /PQ ，又因为
AB  PQ ，所以 PABQ 为平行四边形.
由点 E 和 M 分别为 AP 和 BQ 的中点，可得 EM / / AB 且 EM  AB ，
因为 AB / /CD，CD  2AB，F 为CD 的中点，所以CF / / AB 且CF  AB ，可得 EM / /CF 且 EM  CF ，即四边形 EFCM 为平行四边形，
所以 EF / /MC ，又 EF  平面 MPC ， CM  平面 MPC ，所以 EF / / 平面
MPC4 分
（2）因为 PD  平面 ABCD ， AD  CD ，可以建立以 D 为原点，分别以
DA，DC，DP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得 D 0, 0, 0, A2, 0, 0, B 2,1, 0, C 0, 2, 0 ，
P 0, 0, 2, Q 0,1, 2, M 1,1,1 .
PM  1,1, 1, PQ  0,1, 0, CM  1, 1,1, PC  0, 2, 2 ，设n1   x, y, z  为平面 PMQ 的法向量，
–→ ––––→
则 –→ –––→

n1  PM  0
 n  PQ  0
，即
x  y  z  0
1

y  0
，不妨设 z  1，可得n = 1, 0,1 ，
1
设n2  x1 , y1 , z1 为平面 MPC 的法向量，
n  PC  0
则 2
––→ –––→

 2 y1  2z1  0
z  1

n2 CM  0
––→ ––––→，即

 111
x  y  z  0
，不妨设，可得 2
1
n = 0,1,1 ，.
cs n1 n2
–→ ––→
,
 –→ ––→ 
n  n
12
n1  n2
1
2
，
所以，平面 ABQP 与平面CPM 夹角为
3
.10 分
（3）设QN  QC0≤≤1 ，即QN  QC  0,, 2 ，则
N 0,1, 2  2 .
从而 DN  0,1, 2  2.
由（2）知平面 PMQ 的法向量为n1  1, 0,1 ，
–––→ –→
由题意，
sin π  cs DN , n
1
–––→ –→
2  2
6
，即
1 
2
12  2  22 
2
，
整理得32  10 3  0 ，解得 1 或 3 ，
3
因为0 ≤ ≤1 所以
1
3
，所以
QN  QC  NC QC 0,1, 2
–––→–––→
1
–––→
2
–––→
2
3
3
3

 .
则 N 到平面CPM 的距离为
–––→ ––→
d  ––→ 
NC·n2
2
12
n2
32
3
.
.17 分
20．(1)当 A，B，C，D 四点共面时，四边形 ABCD 为菱形，所以 AC┴BD.……
22
则
AC, EF   0 ，
cs–––→ –––→––A–→C  E–F––→4
11
DN  n1
–––→ –→
DN

n1
| AC |  | EF |2 2 11
故 AC 与 EF 夹角的余弦值为 22 ．15 分
11
17.（1）若l  l ，则1 a  a  2a  3  0 ，解得 a  0 或 2；6
12
分
（2）若l1 ∥l2 ，则a2  2a  3 ，解得a  3 或 1.
a  3 时， l1 : x  3y  3  0,l2 : 3x  9 y  5  0 ，满足l1 ∥l2 ，
a  1 时， l1 : x  y 1  0,l2 : x  y 1  0 ，此时l1 与l2 重合，
…(17 分)
2
故平面 AEB 与平面α夹角的余弦值为3− 5.
 3  5
2
3  5
2
3 5
2
12

h2  h2  r 2
r
csm, n 
n=(0,0,1),(15 分)
则
∙ = 0
设平面 AEB 与平面α的夹角为θ,取平面α的一个法向量为
(ii)设平面 AEB 的法向量为 m=(x,y,z)， 则 ∙ ? = 0 取 = (h1, h2, − r)
故 AC 到平面α的距离与 BD 到平面α的距离的平方和为
5(13 分)
.(10 分)
2 + ℎ2 = 1
2
22 + (ℎ1 − ℎ2)2 = 1
1
2 + ℎ2 = 2
设 AC=BD=2r,直线 AC 到平面α的距离为 h1,BD 到平面α的距离为 h₂ ,
则
A(r,0,h1,),B(0,r,h2)………………………………………………………………
……(8 分)
因为 EA = 2, EB=AB=1,所以
(1 分)
取 AC 的中点 M,连接 BM,DM.
因为 AB=BC,CD=AD,M 为 AC 的中点,所以
BM┴AC,DM┴AC，(2 分)
又因为 BM∩DM=M,所以 AC┴平面 BDM(3 分)
又因为 BD⸦ 平面 BDM,所以
AC┴BD(4 分)
(2)(i)连接 EM,因为 EA=EC,所以 EM┴AC,由(1)知 AC⊥平面 MBD,则 E,B,D,M 四点共面.
易证△ABC≌△ADC,可得 MB=MD,在四边形 EBMD 中,EB=ED,MB=MD,
根据对称性,可知 EM 垂直平分 BD.
因为 AC//α,BD//α,所以在平面α内存在点 F,G,使得 EF// AC,EG// BD,则 EM⊥EF,EM⊥EG,即 EM⊥平面 α(6
分)
如图,以 E 为坐标原点,EF,EG,EM 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系，(7 分)