2024-2025学年深圳市光明实验学校九年级上学期期中数学试卷及答案

这是一份2024-2025学年深圳市光明实验学校九年级上学期期中数学试卷及答案，共28页。

A．B．C．D．
2．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．8B．12C．0.4D．0.6
3．（3分）如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）米．
A．B．C．200cs20°D．200sin20°
4．（3分）将抛物线y＝x2+2先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+1B．y＝（x﹣3）2+3
C．y＝（x+3）2+3D．y＝（x﹣3）2+1
5．（3分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）一次函数y＝ax+a与二次函数y＝ax2+ax+1的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x．对于下列结论：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm（a﹣2b）（其中m）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，边ED和CD分别与AB交于点F和点G，连接CF．若△ABD的面积为7，且，则FD的值为（ ）
A．B．3C．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
9．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象与y轴的交点坐标是 ．
10．（3分）若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ．
11．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 ．
12．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将△ABO沿直线AB翻折得到△ABC．若点C在反比例函数的图象上，则k＝ ．
13．（3分）如图四边形，则AC＝ ．
三．解答题（共61分）
14．（9分）计算：
（1）2cs230°﹣tan60°cs45°；
（2）．
15．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若cs∠EBF，BF＝5，连接CD，求CD的长．
16．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4），B（﹣1，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）若点P是二次函数的图象上一点，线段PA交x轴于点C，O为原点，△PCO的面积是△ACO的面积的5倍，则点P的坐标为 ．
17．（8分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
18．（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求β的大小及tanα的值；
（2）求CP的长及sin∠APC的值．
19．（10分）【项目式学习】
项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究．
素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：v＝v0+at，其中v是最终速度，v0是初始速度，a是加速度（或减速度），t是时间．
素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为d千米，时间也相同，均为t秒．
素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：s是路程，v0是初始速度，a是加速度（或减速度），t是时间．
任务—：理解与计算
（1）如果高铁列车的最高速度v＝360千米/小时，加速度a＝0.5米/秒2，则从静止加速到最高速度所需的时间t＝ 秒．
（2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程d＝ 千米．
任务二：应用与推理
（3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程x千米中，除去两端的加减速路程d，列车以最高速度行驶的距离为x﹣2d，请直接写出列车全程行驶的时间T的表达式．（单位：小时）
任务三：设计与分析
（4）假设距某站台2千米有一辆高铁正以180千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度a＝﹣0.5米/秒2，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法．
20．（10分）【问题提出】
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和对角线AC上，∠EDF＝45°，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E，F分别在边AB和对角线AC上，∠EDF＝∠BAC，AE＝1，求CF的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在边AB和对角线AC上，，CF＝1，DE，CB的延长线交于点G，请直接写出DG的长．
2024-2025学年广东省深圳市光明实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据视图的意义，从左边看所得到的图形即可．
【解答】解：该直口杯的左视图为：
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图．
2．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．8B．12C．0.4D．0.6
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为20×0.6＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
3．（3分）如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）米．
A．B．C．200cs20°D．200sin20°
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【解答】解：∵，
∴AB＝AC•sin∠C＝200sin20°，
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．（3分）将抛物线y＝x2+2先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+1B．y＝（x﹣3）2+3
C．y＝（x+3）2+3D．y＝（x﹣3）2+1
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为y＝（x﹣3）2+2﹣1，即y＝（x﹣3）2+1，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（3分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值．
【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（3分）一次函数y＝ax+a与二次函数y＝ax2+ax+1的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象过点（﹣1，0），排除D选项；根据二次函数的对称轴为x，排除选项A；根据二次函数的开口方向和一次函数的图象的走向，排除选项B，从而得到结果．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+a，
∴当x＝﹣1时，y＝0，
即一次函数y＝ax+a图象过点（﹣1，0），
∴选项D不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+ax+1，
∴对称轴为：x，
∴故选项A不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+ax+1的图象开口向上，
∴a＞0，
∴当a＞0时，一次函数y＝ax+a图象呈上升趋势，
∴故选项B不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质的应用，熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x．对于下列结论：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm（a﹣2b）（其中m）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点（1，0），利用待定系数法得到b＝a，c＝﹣2a，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据am2+bm＝am2+am＝a（m）2.（a﹣2b）（a﹣2a）a，a＜0，m，可以得到a（m）2＜0，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
把（﹣2，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
，
解得，
∴2a+c＝0，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m）2.（a﹣2b）（a﹣2a）a，
∴am2+bm（a﹣2b）＝a（m）2，
又∵a＜0，m，
∴a（m）2＜0，
即am2+bm（a﹣2b）（其中m），故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x，且抛物线开口朝下，
∴当x时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＜y2，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键．
8．（3分）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，边ED和CD分别与AB交于点F和点G，连接CF．若△ABD的面积为7，且，则FD的值为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DEC＝∠ACB＝90°，设EF＝x，CE＝3x，得到BC＝CE＝3x，根据相似三角形的性质得到AEx，求得AC＝DEx+3xx，根据勾股定理得到ABx，根据全等三角形的性质得到∠CAB＝∠CDE，∠AFE＝∠DFG，根据三角形的面积公式得到CGx，根据相似三角形的性质得到DGx，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵，
∴设EF＝x，CE＝3x，
∴BC＝CE＝3x，
∵∠DEC+∠ACB＝180°，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴AEx，
∴AC＝DEx+3xx，
∴DF＝DE﹣EFx，
∴ABx，
∵△ABC≌△DCE，
∴∠CAB＝∠CDE，∠AFE＝∠DFG，
∴∠DGF＝∠AED＝90°，
∵S△ACB•BCAB•CG，
∴x•3xx•CG，
∴CGx，
∵DF∥BC，
∴△DFG∽△CBG，
∴，
∴，
∴DGx，
∵△ABD的面积为7，
∴AB•DGx•x＝7，
∴x（负值舍去），
∴FDx．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
9．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象与y轴的交点坐标是 （0，2） ．
【分析】令x＝0，求出y的值，即可求出与y轴的交点坐标．
【解答】解：x＝0时，y＝2，
所以，图象与y轴交点的坐标是（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．
10．（3分）若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 m ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0，
解得m，
即m的取值范围为m．
故答案为：m．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
11．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 12 ．
【分析】根据AB∥CD，得出△AOB和△DOC相似，从而得出，由此得出CD的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴，
∵AB＝6，
∴，
∴DC＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将△ABO沿直线AB翻折得到△ABC．若点C在反比例函数的图象上，则k＝ ．
【分析】连接OC，交AB于E，作CD⊥x轴于D，先求得OA＝1，OB＝2，进而求得AB，由翻折变换的性质得出OC⊥AB，OE＝CE，根据三角形面积求得OE，进而求得OC，然后通过证得△AOE∽△COD，求得OD，利用勾股定理求得CD，即可求得点D的坐标，代入即可求得k的值．
【解答】解：连接OC，交AB于E，作CD⊥x轴于D，
由题意可知，OC⊥AB，OE＝CE，
∵一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∴AB，
∵OA•OBAB•OE，
∴OE，
∴OC，
∵∠AOE＝∠COD，∠AEO＝∠CDO＝90°，
∴△AOE∽△COD，
∴，即，
∴OD，
∴CD，
∴C（，），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，求得D点的坐标是解题的关键．
13．（3分）如图四边形，则AC＝ ．
【分析】过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC＝x，易得，根据勾股定理得出，再得出，根据，得出，代入求解即可．
【解答】解：如图，过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，
设AC＝x，
∵在Rt△CDE中，CD＝2，∠ACD＝30°，DE⊥AC，
∴，，
∴则，
在Rt△AED中，由勾股定理得：，
∵AB＝BC，BH⊥AC，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得：，
解得：，，
当时，AC＜DC，与图形不符舍去．
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得、是解题的关键．
三．解答题（共61分）
14．（9分）计算：
（1）2cs230°﹣tan60°cs45°；
（2）．
【分析】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；
（2）先去绝对值，计算特殊角三角函数值，然后根据实数的混合计算法则求解即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式

．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，实数的混合计算，去绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键．
15．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若cs∠EBF，BF＝5，连接CD，求CD的长．
【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥BC于点G，得矩形AFGC，根据cs∠EBF，BF＝5，可得BG＝3，FG＝AC＝4，根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长．
【解答】（1）证明：∵点D为AB边中点，
∴AD＝BD，
∵DF＝ED，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）解：如图，连接CD，过点F作FG⊥BC于点G，得矩形AFGC，
∵cs∠EBF，BF＝5，
∴BG＝3，
∴FG＝AC＝4，
∵四边形AEBF是菱形，
∴CG＝AF＝BF＝5，
∴BC＝CG+BG＝5+3＝8，
∴AB4，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CDAB＝2．
∴CD的长为2．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4），B（﹣1，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）若点P是二次函数的图象上一点，线段PA交x轴于点C，O为原点，△PCO的面积是△ACO的面积的5倍，则点P的坐标为 （﹣4，20）或（6，20） ．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）先确定抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（3）设P（t，t2﹣2t﹣4），利用三角形面积公式可得到P点到x轴的距离等于A点到x轴的5倍，则t2﹣2t﹣4＝20，然后解方程可确定P点坐标．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（﹣1，﹣1）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣4；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣5）；
如图，
（3）设P（t，t2﹣2t﹣4），
∵△PCO的面积是△ACO的面积的5倍，
∴P点到x轴的距离等于A点到x轴的5倍，
∴t2﹣2t﹣4＝20，
解得t1＝﹣4，t2＝6，
∴P点坐标为（﹣4，20）或（6，20）．
故答案为：（﹣4，20）或（6，20）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法个求二次函数解析式．
17．（8分）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
【分析】（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣3x）m，根据矩形的面积＝252列出方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设AB的长为x m，菜园面积为y m2，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣3x）m，
根据题意得：x（60﹣3x）＝252，
解得x＝6或x＝14，
当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去；
当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，满足题意，
∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m；
（2）设AB的长为x m，菜园面积为y m2，
由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，
∵﹣3＜0，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵x≤8，
∴当x＝8时，y最大，最大值为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式．
18．（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求β的大小及tanα的值；
（2）求CP的长及sin∠APC的值．
【分析】（1）根据题意先求解 CE＝PE＝1m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，过C作CH⊥AP于H，结合 ，设CH＝x m，则AH＝4x m，再建立方程求解x，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），
∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°．
∴CE＝PE．
∴β＝∠PCE＝45°；．
（2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，
∴．
如图，过C作 CH⊥AP于H，
∵，设CH＝x m，则AH＝4x m，
∴x2+（4x）2＝AC2＝9．
∴，．
∴．
∴．
【点评】本题主要考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键．
19．（10分）【项目式学习】
项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究．
素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：v＝v0+at，其中v是最终速度，v0是初始速度，a是加速度（或减速度），t是时间．
素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为d千米，时间也相同，均为t秒．
素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：s是路程，v0是初始速度，a是加速度（或减速度），t是时间．
任务—：理解与计算
（1）如果高铁列车的最高速度v＝360千米/小时，加速度a＝0.5米/秒2，则从静止加速到最高速度所需的时间t＝ 200 秒．
（2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程d＝ 10 千米．
任务二：应用与推理
（3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程x千米中，除去两端的加减速路程d，列车以最高速度行驶的距离为x﹣2d，请直接写出列车全程行驶的时间T的表达式．（单位：小时）
任务三：设计与分析
（4）假设距某站台2千米有一辆高铁正以180千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度a＝﹣0.5米/秒2，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法．
【分析】（1）根据素材一得，将数据代入计算即可；
（2）根据素材三和素材二，将数据代入求出s，即可得到d；
（3）根据“速度＝路程÷时间”建立函数关系式即可；
（4）求出安全停车的路程，再与2千米比较即可．
【解答】解：（1）根据题中所给的信息可得：v＝v0+at，
变形可得：，
∵v0＝0，v＝360千米/小时＝100米/秒，a＝0.5米/秒2，
∴（秒），
故答案为：200；
（2）由（1）知：v0＝0，t＝200，a＝0.5，
∴（米），
∵10000米＝10千米，
∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程d＝10千米，
故答案为：10；
（3）∵加速和减速时间都是t秒且加减速路程都是d千米，
∴加速和减速的总时间为2t＝400秒小时，
∴匀速行驶的时间为小时，匀速行驶的路程为（x﹣20）千米，速度为360千米/小时，
∴，
∴，
∴列车全程行驶的时间T的表达式为；
（4）∵v＝0，v0＝180千米/小时＝50米/秒，a＝﹣0.5米/秒2，
∴（秒），
∴（米）＝2.5（千米），
∵2.5千米＞2千米，
∴列车不能安全停车．
【点评】本题考查二次函数的应用，正解理解题意，确定各数量的关系是解题的关键．
20．（10分）【问题提出】
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和对角线AC上，∠EDF＝45°，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E，F分别在边AB和对角线AC上，∠EDF＝∠BAC，AE＝1，求CF的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在边AB和对角线AC上，，CF＝1，DE，CB的延长线交于点G，请直接写出DG的长．
【分析】（1）根据正方形的性质，得BDCD，∠BDC＝45°，∠EBD＝45°，∠FCD＝45°，结合∠EDF＝45°，得出△BDE∽△CDF，即可作答；
（2）连结BD交AC于点O，证出△BDE∽△CDF，根据相似三角形的性质，列式代入数值，计算即可作答；
（3）连结BD交AC于点O，分别过点B，G作BH⊥DA，GM⊥DA，交DA的延长线于点H，M，证明△BDP∽△CDF，再根据等面积法，得BH，运用勾股定理得出AH的值，根据△BGP∽△HDP列式，得出BG的值，最后由△BGP∽△HDP，列式代入数值，计算即可作答．
【解答】（1）证明：如图①，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BDC＝45°，∠EBD＝45°，∠FCD＝45°，DC＝BC，
∴BDCD，
∵∠EDF＝45°
∴∠EDB＝45°﹣∠BDF＝∠FDC，
∴△BDE∽△CDF，
∴，
∴BECF；
（2）解：如图②，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠BAD＝90°，AO＝BO＝CO＝DOBD，
∴∠CDO＝∠ACD，∠DBE＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠ACD，
∴∠EDF＝∠CDO，
∴∠EDB＝∠CDF，
∴△BDE∽△CDF，
∴，
∵BD5，BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
∴，
∴CF；
（3）解：如图③，设AC与BD交于点O，分别过点B，G作BH⊥DA，GM⊥DA，交DA的延长线于点H，M，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴OA＝OCAC6＝3，BD⊥AC，
∴OB＝OD4，
∴BD＝2OB＝8，
∴tan∠ADB＝tan∠CDB，
∵，CF＝1，
∴∠EDF＝∠ADB＝∠CDB，
则∠EDF﹣∠BDE＝∠ADB﹣∠BDE，
∴∠ADE＝∠FDB，∠CDF＝∠BDE，
∵∠BPD＝∠AHB+∠ADE＝90°+∠ADE，∠CFD＝∠COD+∠BDF＝90°+∠BDF，
∴∠BPD＝∠CFD，
∴△BDP∽△CDF，
∴，
∴BPCF，
∵菱形ABCD的面积AC•BD＝AD•BH，
∴6×8＝5BH，
∴BH，
∴PH＝BH﹣BP，AH，
∴DH＝AD+AH＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴HD∥CG，
∴△BGP∽△HDP，
∴，
∴BGDH，
∵BH⊥DA，GM⊥DA，
∴∠GBP＝∠MHB＝∠GMH＝90°，
∴四边形BGMH是矩形，
∴MH＝BG，GM＝BH，
∴DM＝DH+MH，
∴DG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明△BDE∽△CDF是解题的关键．
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1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
D
C
C
B
D