2025-2026学年河北省保定市五校高一（3+1班）上学期9月考试检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河北省保定市五校高一（3+1班）上学期9月考试检测数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|00，则p的否定是( )
A. ∀x≤0,sinx+1>0B. ∀x≤0,sinx+1≤0
C. ∃x>0,sinx+10,sinx+1≤0
3.已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则BE=( )
A. AD−12ABB. AD+12ABC. AB+12ADD. AB−12AD
4.已知圆心角为72°的扇形的弧长为4π5，则该扇形的面积为( )
A. 8π5B. 6π5C. 4π5D. π5
5.已知向量a,b满足a=2,b=1，且b⊥a−b，则b在a上的投影向量为( )
A. −14aB. 14aC. −12aD. 12a
6.经调查发现，一杯热茶的热量M会随时间t的增大而减少，它们之间的关系为t=ln nM0M，其中M0>0，n∈N∗且n>1.若一杯热茶经过时间t1，热量由M0减少到M04，再经过时间t2，热量由M04减少到M08，则t1t2=( )
A. 2B. 1C. 12D. 14
7.当x∈0,π2∪π2,3π2∪3π2,2π，函数f(x)=csx−tanx的零点个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.函数f(x)= 2x−x2− x− 2−x的值域为( )
A. [− 2,−1]B. [ 2,2]C. [− 2,2]D. [−32,− 2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则a>bB. 若a=b，则a//b
C. 若a→//b→,b→//c→，则a→//c→D. 若a=b,b=c，则a=c
10.已知函数f(x)=|x||x|−1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的定义域为{x|x≠±1且x≠0}B. f(x)为偶函数
C. f(x)在(−∞,−1)上单调递增D. f(x)在(−1,1)内有最小值
11.如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ| 0,a≠1,b∈R)的图象经过点(0,1)，(1,lg252)．
(1)证明：函数f(x)的图象是轴对称图形；
(2)求关于x的不等式2f(x)+x−2x−7⩽0的解集；
(3)若函数y=f(x)−m有且只有一个零点，求实数m的值．
19.(本小题17分)
我们将满足下列条件的函数f(x)称为“L伴随函数”：存在一个正常数L，对于任意的x都有f(2L+x)=f(−x)且f(3L+x)=−f(x)．
(1)是否存在正常数L，使得f(x)=csx是“L伴随函数”？若存在，请求出一个L的值；若不存在，请说明理由；
(2)已知f(x)是“π4伴随函数”，且当x∈π4,π时，f(x)=−2sin2x−π4．
(i)求当x∈−π2,π4时，f(x)的解析式；
(ii)若x1,x2,⋯,xnn∈N∗为方程f(x)=a(−2≤a≤2)在−π2,11π2上的根，求i=1nxi的值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.C
5.B
6.A
7.B
8.A
9.BD
10.BC
11.ACD
12.x−12(答案不唯一)
13.−8
14.2
15.【详解】(1) 2a+c= 2a−c⇒ 2a+c2= 2a−c2，整理得a⋅c=0．
(2) 2a−c⋅c= 2a⋅c−c2=−4， 2a−c= 2a−c2= 2a2+c2= 2×5+4= 14，
cs 2a−c,c= 2a−c⋅c 2a−cc=−4 14×2=− 147．

16.解：(1)由题意，得sinθcsθ=csθ4−sinθ，则4sinθ−sin2θ−cs2θ=0，
即4sin θ−(sin2θ+cs2θ)=0，即4sin θ−1=0，解得sinθ=14；
(2)由(1)知sinθ=14，又θ∈−π2,π2，所以csθ= 1−sin2θ= 154，
所以cs2θ−sin2θ=1−2sin2θ−2sinθcsθ=1−2×142−2×14× 154=7− 158．

17.【详解】(1)由ab=2a+b+2，得b=2a+2a−1．
因为a>0，b>0，所以a>1，
所以a+2b=a+2(2a+2)a−1=a+4a+4a−1=a+4(a−1)+8a−1=a+8a−1+4
=(a−1)+8a−1+5≥2 (a−1)×8a−1+5=4 2+5，
当且仅当a−1=8a−1，即a=1+2 2时取等号，
故a+2b的最小值为5+4 2．
(2)由ab=2a+b+2，得2a+b+2ab=1，即1a+2b+2ab=1．
令1a+2b=t，则2ab=1a×2b≤141a+2b2=14t2(当且仅当1a=2b，即b=2a时取等号)．
由1a+2b+2ab=1，得2ab=1−t，故1−t≤14t2．
整理得t2+4t−4≥0，解得t≥2 2−2或t≤−2 2−2．
又由t>0，得1a+2b≥2 2−2(当且仅当a= 2+1，b=2 2+2时取等号)，
故1a+2b的最小值为2 2−2．

18.解：(1)证明：由题意可知，lga2=1lga(a2+1)−b=lg252，解得a=2，b=1；
所以f(x)=lg2(4x+1)−x，易知f(x)的定义域为R，
因为f(−x)=lg2(4−x+1)+x=lg21+4x4x+x=lg2(1+4x)−x=f(x)，
所以函数f(x)=lg2(4x+1)−x是偶函数，故函数f(x)的图象是轴对称图形；
(2)不等式2f(x)+x−2x−7⩽0可化为2lg2(4x+1)−2x−7⩽0，即4x−2x−6⩽0，
解得−2⩽2x⩽3，又2x>0，所以00)，则2m=gt=t+1t，又知函数g(t)=t+1t在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以2m=g(1)=2，解得m=1．

19.解：(1)存在正常数L，使得f(x)=csx是“L伴随函数”．
因为cs2π+x=csx=cs(−x)，所以f2π+x=f(−x)，
因为cs3π+x=−csx，所以f(3π+x)=−f(x)，
所以存在一个L的值为π．
(2)(i)由f34π+x=−f(x)，得f32π+x=−f34π+x=f(x)，
所以f(x)是周期为32π的函数．
由fπ2+x=f(−x)，得fπ2−x=f(x)，所以x=π4为f(x)图象的一条对称轴，
当x∈−π2,π4时，π2−x∈π4,π，所以f(x)=fπ2−x=−2sin2π2−x−π4=−2sin2x+π4．
所以当x∈−π2,π4,f(x)=−2sin2x+π4．
(ii)易知f(x)在x∈−π2,π上的图象如图所示，
根据周期性结合图象，
当a= 2时，n=13，i=113 xi=−π2+π+5π2+4π+11π2+2×(π4+7π4+13π4+19π4)=65π2；
当− 2