云南省玉溪市2024_2025学年高一数学下学期期末考试A含解析

这是一份云南省玉溪市2024_2025学年高一数学下学期期末考试A含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知某圆锥的母线与底面所成的角为60°，且母线长为2，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（ ）
A．，，…，的平均数为
B．，，…，的方差为
C．，，…，的25%分位数为
D．，，…，的极差为
6．小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ）
A．40米B．米C．米D．60米
7．已知正方形ABCD的边长为4，将沿对角线AC翻折，使二面角为，则平面BCD截三棱锥的外接球所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为复数，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立C．与相互独立D．与相互独立
11．如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（ ）
A．B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积为3D．的最小值是
三、填空题
12．已知平面向量，，若，则 .
13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ．
14．赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，O是正六边形ABCDEF的中心．若，则 ．
四、解答题
15．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若且的面积为，求的周长.
16．如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
17．某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中的值；
(2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
(3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差.
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求.
(2)已知．
①若内切圆的圆心为，求AO；
②在线段AB，BC，AC上分别存在点分别与线段AB，BC，AC的端点均不重合），使得，求的最小值.
19．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且.
(1)求证：；
(2)记平面底面，求二面角的大小；
(3)当异面直线与所成角为30°时，求三棱锥的体积.
1．C
根据复数的除法运算求得，再根据复数的模公式求解.
【详解】由题，，
所以.
故选：C.
2．B
根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解.
【详解】因为向量与的夹角为，且，可得，
则，
所以.
故选：B.
3．A
根据函数为奇函数，得到，代入求解即可.
【详解】由题意得，
所以．
故选：A
4．B
由给定条件列出关于圆锥底面圆半径，圆锥母线的关系式，求得，进而求出圆锥的表面积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线为，
由圆锥的结构特征知：，即，所以，
所以圆锥的表面积.
故选：B.
5．C
设方差为，则，，即可判断AB，根据百分位数的定义即可判断C，利用极差的定义即可判断D.
【详解】对于A：，，…，的平均数为，故A错误；
对于B：，，…，的方差为，故B错误；
对于C：由，所以，，…，的25%分位数为，故C正确；
对于D：，，…，的极差为，故D错误.
故选：C.
6．C
根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得.
【详解】如下图：由题可得、、，，，
，即，
故，则，则，
故.
故选：C.
7．B
取的中点为，连接，利用余弦定理求，再利用余弦定理求，进而得，由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为，最后利用正弦定理求，进而求解.
【详解】取的中点为，连接，由题意有，所以，
所以为二面角的平面角，所以，，
由余弦定理有，所以，
又由余弦定理得，
所以，
由平面BCD截三棱锥的外接球所得截面为圆，即为的外接圆，设该圆的半径为，
由正弦定理得，所以，
所以该圆的面积为，
故选：B.
8．D
以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量的坐标运算结合辅助角公式、正弦型函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
由可得，
即，故，
因为，故，
故当时，取最小值.
故选：D.
9．BC
对AD，举反例说明；对B，由共轭复数的定义可判断；对C，根据共轭复数的定义结合复数的乘法运算可判断.
【详解】对于A，，此时，故A错误；
对于B，若，由共轭复数的定义可得，故B正确；
对于C，设，由，则，
所以，故C正确；
对于D，如，，满足，但，故D错误.
故选：BC.
10．BD
借助相互独立事件的定义逐项验证即可得.
【详解】，，，，
对A：，，
故与不相互独立，故A错误；
对B：，，有，
故与相互独立，故B正确；
对C：， 故与不相互独立，故C错误；
对D：，，有，’
故与相互独立，故D正确；
故选：BD.
11．ABD
取的中点为，连接，即证平面，即可判断A，当为中点时，得，根据线面平行判断定理即可判断B，先证平面，得点到平面的高为，即计算即可判断C，将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，利用勾股定理计算即可判断D.
【详解】取的中点为，连接，由点P是线段的中点，所以，
在直三棱柱中有平面，所以平面，
又平面，所以，又，所以，
又，平面，平面，又平面，所以，故A正确；
当为中点时，因为，又，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
又，，所以，，
又平面，平面，所以，又，，平面，
所以平面，所以点到平面的高为，又，
所以，故C错误；
将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，由，
所以，所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
12．4
利用平面向量共线的坐标关系列式求解.
【详解】由，则，解得.
故答案为：4.
13． 0.21/ 0.18/
计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率.
【详解】赔付金额大于投保金额的频率为，
估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21，
在样本车辆中，车主是新司机的占15%，
故投保的新司机人数为，
在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人，
估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为.
故答案为：0.21，0.18
14．
连接CF，OB，由题意及图形几何性质可得，然后由平面向量基本定理可得答案.
【详解】连接CF，则O为线段CF的中点．
连接OB，易证四边形ABOF，ABCO均为平行四边形，则．
连接EM，则A，M，E三点共线，且，
所以．
由正六边形的性质可得，
则．
因为，结合平面向量基本定理，所以，则．
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用正弦定理得，最后由余弦定理即可求解；
（2）根据三角形的面积公式得，由余弦定理得，进而得，化简即可求解.
【详解】（1）由题意：，
由正弦定理有： ，即，
由余弦定理有：，
又，所以；
（2）由，所以，
由余弦定理有：，
所以，即，
所以，
所以的周长为.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）取中点为，证明四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理得证；
（2）连接，可证，得平面，结合（1），可得平面，根据面面垂直的判定定理得证.
【详解】（1）取中点为，连接和，
因为点为的中点，所以，，
因为点为的中点，所以，，
所以，，故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）连接，由，，得，
又，则，
因为点为的中点，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
由（1）知，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
17．(1)0.03
(2)
(3)；.
（1）由各组的频率之和为1，求的值；
（2）由分层抽样得两组抽取人数，再由古典概型求概率；
（3）由分层抽样的均值和方差公式求解.
【详解】（1）由题可知，
解得；
（2）由原始分在和中的频率之比为，
故抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为，
则从6人中抽取2人，所有可能的结果有：
共15个基本事件，
其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有：
共8个基本事件，
所以抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3），
.
18．(1)
(2)①1；②．
（1）由正弦定理进行边角互化，再根据余弦定解三角形，求出角的正切值，判断角的大小；
（2）①根据正弦定理面积公式和余弦定理，解三角形，根据等面积法求出内切圆半径，进而求出线段的长；
②根据正弦定理面积公式，和三角形总面积，求出的表达式，根据基不等式，求出三角形面积的最小值.
【详解】（1）由正弦定理得，
得，
得．
因为，所以．
（2）①
如图，由题意得．
由余弦定理得，得．
设内切圆的半径为，则，
因为，所以．
②
如图，设，则．
由正弦定理，得．
由，得，得．
由，得，得．
．
由，得，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以，
故的最小值为．
19．(1)证明见解析
(2)45°
(3)
（1）利用线面垂直的性质和判定理即可证明；
（2）延长与交于点，先证即为，再通过证平面，确定即二面角的平面角即得；
（3）根据异面直线所成角的定义得与所成角即，根据题中条件，利用等面积法求得，进而求得，再由计算即得.
【详解】（1）因为底面，底面，所以，
因为底面为矩形，所以，
又，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为，为棱的中点，所以，
由（1），易得平面，
因为平面，所以，
延长与交于点，则即，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面，
所以即二面角的平面角，大小为45°.
（3）与所成角即与所成角，即，则，
由（2），所以，所以，则，
由得，所以，
则赔付金额/元
0
1000
2000
3000
4500
车辆数/辆
600
80
110
120
90
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
C
C
B
D
BC
BD
题号
11









答案
ABD