2025~2026学年度重庆市朝阳中学校上学期九年级上学期10月月考数学试题【附答案】

这是一份2025~2026学年度重庆市朝阳中学校上学期九年级上学期10月月考数学试题【附答案】，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学第二次定时作业
一、单选题
1 ．在二次根式 中，x 的取值范围是( )
A ．x ≥ -1 B ．x > -1 C ．x ≤ -1 D ．x < -1
2 ．下列二次根式为最简二次根式的是( )
1
\ 2
A ． ·、i4 B ． · C ．s0.2 D ．s6
3 ．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( )
A ．4cm ，5cm ，6cm ，7cm B ．3cm ，4cm ，5cm ，8cm
C ．3cm ，5cm ，9cm ，15cm D ．1cm ，3cm ，4cm ，8cm
4 ．用配方法解方程x2 - 4x - 5 = 0 ，下列配方结果正确的是( )
A ．(x - 4)2 = 21 B ．(x + 4)2 = 21 C ．(x - 2)2 = 9 D ．(x + 2)2 = 9
5 ．关于x 的一元二次方程(m -1)x2 + 3x + m2 -1 = 0 的一根为 0，则 m 的值是( )
A ． ±1 B ．-1 C ． ±2 D ．-2
6 ．估计 的值应在 ( )
A ．3 到 4 之间 B ．2 到 3 之间 C ．1 到 2 之间 D ．0 到 1 之间
7 ．若方程(m + 3)xm+1 - 4x +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为( )
A ．-3 或 1 B ．1 C ． ±1 D ．-3
8 ．关于x 的一元二次方程(m - 2)x2 - x +1 = 0 有实数根，则m 的取值范围为( )
A ． 且m ≠ 2 B ． C ．m ≠ 2 D ．m ≤ 且m ≠ 2
9 ．《感动中国 2024 年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到 8.9 万次，其中第一 天的播放量为 2 万次，若每天的播放量平均增长率为x ，则根据题意，下列方程正确的是 ( )
A ．2 (1+ x )2 = 8.9 B ．2 (1+ x ) + 2(1+ x )2 = 8.9
C ．2 (1+ x) + 2(1+ 2x) = 8.9 D ．2 + 2 (1+ x ) + 2(1+ x )2 = 8.9
10 ． 已知整式M = am xm + am-1xm-1 + . . . + a1x + a0 ， N = bn xn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0 ，其中 am-1 ，
am-2 ，... ，a0 ，bn-1 ，bn-2 ，... ，b0 为自然数，m ，am ，n ，bn 为正整数，且满足：
am + am-1 + . . . + a1 + a0 = m ，bn + bn-1 + ... + b1 + b0 = n ，记 S = M + N ，T = M - N ．则下列说
法中：
= 4
= 2
ìS
lT
①当x =1 时，若 í
ìm = 3
ln = 1
,则 í ;
②当m = 3 时，满足条件的整式M共有 10 个；
③若m = n ，则 S 一定不等于4x4 + 3x3 + x ． 其中正确的个数是( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
二、填空题
11 ．计算： - = .
x 3 x + y
12 ．若 = ，则 = ． y 4 x
13 ．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC > BC ，若 AB = 2 ，则 AC = ．
14 ．如图，等腰三角形ABC 中， AB = AC ，BD 丄 AD 于点 D ，CE 丄 AD 于点 E， AE = BD ，若 AB = 13 ，BD = 5 ，则 BC = ．
15 ．已知关于x 的方程(m - 3)x2 + (m -11)x - 8 = 0 的根都是整数，且m 满足等式
7 - m
7 - m
m - 2
=
,则所有满足条件的整数 m 的值之和是 ．
m - 2
16．一个四位自然数N ，若它的千位数字与十位数字之和为 9，百位数字与个位数字之和为
5，且各位数字均不为 0，则称N 为“city 数”．若将一个“city 数”N 的千位数字与个位数字交 换位置后，得到一个新的四位数N¢ . 规定 例如：N = 1283 ，: 1+ 8 = 9, 2 + 3 = 5 ， : 1283 是“city 数”，则 F(1283) = = -2 ．若“city 数”N = 6431 ，则
\l "bkmark1" F (6431) = ；已知 T = abcd 是“city 数”（a, b, c, d 均为正整数），若F(T ) + 3b + 2c - 2
\l "bkmark2" 被 7 整除，则满足条件的T 的最大值是 ．
三、解答题
17 ．计算：
(1)( - 1)2 + 2 - ( - 2)( + 2)
(2)解方程：2x2 + x - 2 = 0 ；
18 ．如图，已知直线l1, l2, l3 分别截直线l4 于点 A 、B 、C，截直线l5 于点 D 、E、F，且
l1 Ⅱ l2 Ⅱ l3 ．
(1)如果AB = 4，BC = 8，EF = 12 ，求 DE 的长；
(2)如果DE:EF = 2 : 3 ，AB = 6 ，求 AC 的长．
19．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中 各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成 绩均高于60 分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A．60 < x ≤ 70 ；B．70 < x ≤ 80 ；C．80 < x ≤ 90 ； D ．90 < x ≤ 100 ），下面给出了部分信息：
七年级 20 名学生的竞赛成绩为：66 ，67 ，68 ，68 ，75 ，83 ，84 ，86 ，86 ，87 ，87 ，87 ，87， 89 ，95 ，95 ，96 ，98 ，98 ，100．
八年级 20 名学生的竞赛成绩在 C 组的数据是：81 ，82 ，83 ，84 ，86 ，88．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
八年级所抽学生竞赛成绩统计图
年级
七年级
八年级
平均数
85
85
中位数
86
a
众数
b
91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a = ______ ，b = ______ ，m = ______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？ 请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有 1600 名学生，八年级有 1000 名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校
七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x > 90 ）的学生人数一共是多少？
20 ．先化简，再求值 其中
21 ．已知关于x 的方程x2 - (k - 2)x + k - 3 = 0 ．
(1)求证：对于任意的k ，该方程总有两个实数根．
(2)若等腰三角形的一边长为 2，另外两边长为该方程的两个实数根，求k 的值和三角形的周 长．
22 ．电影《哪吒之魔童闹海》热映后， 哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家 3 月 4 日销售玩偶共 200 个，5 日、6 日销售量持续增长，6 日销量达到 338 个．
(1)求 3 月 5 日、6 日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
(2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本 30 元，售价为每个 50 元时，日销量可达 320 个；每降价 1 元，日销量可增加 5 个．当每个玩 偶降价多少元时，当日总利润可达到 5940 元？
23．在矩形ABCD 中，AB = 3 ，BC = 4 ，点P，Q 分别从点B，点D 同时出发，点P 沿B → C → D 以每秒 1 个单位长度的速度运动，点 Q 以某一速度匀速沿D → B 运动，点 P 到达点 D 时点 Q 停止运动．点 P 的运动时间为 x 秒， △BPD 的面积记为y1 ， △AQB 的面积记为y2 ，y2 关 于 x 的图象如下，解答下列问题：
(1)请直接写出y1 与 x 之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y1 的图象，并写出函数y1 的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接估计当y1 < y2 时 x 的取值范围：________ ．（结果保留 1
位小数，误差不超过 0.2）．
24 ．如图 1 ，一次函数 分别与x 轴，y 轴交于点A, B ，点C 在x 轴上满足 OC = 2OB ．
(1)求直线BC 的解析式；
(2)如图 2，点 P 是直线BC 上一动点，线段AO 在x 轴上移动，记为A¢O¢ ,分别连接 OP, A¢P, O ¢P ，当线段OP 最短时，求△PA¢O¢ 周长的最小值；
(3)如图3，在（2）问的条件下，将直线BC 沿射线OP 方向平移2个单位得到直线l ，点Q 是直线l 上一动点，连接CQ ，是否存在点Q 使得直线CQ 与直线BC 与的夹角等于 上OBC ， 若存在，请直接写出点Q 的坐标，不存在，请说明理由．
25 ．如图 1，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于 O ，AE 丄 BC 于 E ，AE 与BD 相交于 F， 连接OE ．
(1)若菱形ABCD 的对角线．AC = 10, BD = 24 ，求 AE 的长；
如图 1 ，若上ABC = 45° , 求证
(3)如图 2，M、N 分别是线段AC、AE 上的两个动点，且CM = AN ，连接 BM、CN ，若 AB = AC = 10 ，直接写出 BM + CN 的最小值．
1 ．A
【分析】本题考查了根式有意义的条件， 解题的关键是掌握平方根的非负性，利用非负性列 出不等式即可求解．
【详解】解：在二次根式 中，
x +1≥ 0 ，
解得：x ≥ -1，
故选：A．
2 ．D
【分析】此题主要考查了最简二次根式， 正确掌握相关定义是解题关键，在判断最简二次根 式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次 根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于 2， 也不是最简二次根式．
解 被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式， 不符合题意；
B 、 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C 、 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D 、 、/6 是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
3 ．C
【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键．如果其中两条线段的 比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对 选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A 、4 × 7 ≠ 5 × 6 ，故选项不符合题意；
B 、3 × 8 ≠ 4 × 5 ，故选项不符合题意； C 、5 × 9 = 15 × 3 ，故选项符合题意；
D 、1 × 8 ≠ 4 × 3 ，故选项不符合题意． 故选：C．
4 ．C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到右侧，再将左侧写成完全平方的
形式即可．
【详解】解：x2 - 4x - 5 = 0 ， x2 - 4x = 5 ，
x2 - 4x + 4 = 5 + 4 ， (x - 2)2 = 9 ，
故选：C．
5 ．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握以上知 识点．
把x =0 代入方程得到一个关于m 的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定m 的值． 【详解】解：把 x =0 代入方程得：0 + 0 + m2 -1 = 0 ，即 m2 -1 = 0 ，
解得：m = ±1， Qm -1 ≠ 0 ，
:m = -1 ，
故选：B．
6 ．B
【分析】本题主要考查对无理数的估算， 二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和 夹逼法是解题的关键．
先化简后，再根据 即可得到答案．
解
= - 2 ，
Q16 < 19 < 25 ，
故选：B．
7 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的 关键，根据一元二次方程的定义得出 m +1 = 2 且m + 3 ≠ 0 ，即可求出 m 的值．
【详解】解：若方程(m + 3)xm+1 - 4x +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，
则 m +1 = 2 ，
解得m = 1或m = -3 ， Q m + 3 ≠ 0 ，
:m ≠ -3，
:m = 1 ， 故选：B．
8 ．D
【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容， 解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．
根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， Δ = (-1)2 - 4(m - 2) ≥ 0 ，
解得 ，
当m - 2 = 0 ，即 m = 2 时，不符合题意， ∴ m ≠ 2 ，
综上， 且m ≠ 2 ， 故选：D．
9 ．D
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及 题意可直接列出方程，进而问题可求解．
【详解】解：由题意可得方程为 2 + 2(1+ x )+ 2(1+ x )2 = 8.9 ； 故选 D．
10 ．C
【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键．①当x = 1
时，可得 即可求出 ，再由当 x = 1 时，M = am + am-1 + … + a1 + a0 ，
N = bn + bn-1 +…+ b1 + b0 ，可判断①; ②当m = 3 时，a3 + a2 + a1 + a0 = 3 ，a3 取 1 ，2 ，3，可 判断②；当 m = n = 4 时，存在满足条件的M 和N 使得S = 4x4 + 3x3 + x ，故可判断③ .
【详解】解：当 x = 1 时，M = am + am-1 + … + a1 + a0 ，N = bn + bn-1 +…+ b1 + b0 ， : S = M + N ，T = M - N ，且
∴ í ,
ìM + N = 4
lM - N = 2
ìM = 3
解得： ílN = 1 ，
∴当x = 1 时，M = am + am-1 + … + a1 + a0 = 3 ，N = bn + bn-1 +…+ b1 + b0 = 1，
: am + am-1 + … + a1 + a0 = m ，N = bn + bn-1 +…+ b1 + b0 = n ， ∴ m = 3 ，n = 1 ，故①符合题意；
②当m = 3 时，a3 + a2 + a1 + a0 = 3，
: am-1 2 0，am-，…,a 为自然数，am 为正整数，
∴a3 取 1 ，2 ，3，
当a3 = 1 时，
∴ 1+ a2 + a1 + a0 = 3 ，
∴ a2 + a1 + a0 = 2 ，
此时有a2 = 2，a1 = 0，a0 = 0 或a2 = 1，a1 = 1，a0 = 0 或a2 = 1，a1 = 0，a0 = 1 或
a2 = 0，a1 = 1，a0 = 1 或a2 = 0，a1 = 2，a0 = 0 或a2 = 0，a1 = 0，a0 = 2 ；
当a3 = 2 时，
∴ 2 + a2 + a1 + a0 = 3 ，
∴ a2 + a1 + a0 = 1，
此时有a2 = 1，a1 = 0，a0 = 0 或a2 = 0，a1 = 1，a0 = 0 或a2 = 0，a1 = 0，a0 = 1；
当a3 = 3 时，
:3+ a2 + a1 + a0 = 3 ，
: a2 + a1 + a0 = 0 ，
此时有a2 = 0，a1 = 0，a0 = 0 ，
即当m = 3 时，满足条件的整式 M 共有 10 个，故②符合题意； 假设存在m = n = 4 ，此时使得 S = 4x4 + 3x3 + x ，
设M = x4 + 2x3 + x ，N = 3x4 + x3 ，
当m = 4 时， a a a a a43210++++ = 1+ 2 + 0 +1+ 0 = 4 = m ，
当n = 4 时，b4 + b3 + b2 + b1 + b0 = 3 +1+ 0 + 0 + 0 = 4 = n ， : S = M + N = 4x4 + 3x3 + x ，
故存在m = n （如 m = n = 4 ），使得 S = 4x4 + 3x3 + x ，故③不符合题意；
故选：C．
11 ．2
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】解： - = 3 - = 2
故答案为：2 ．
12 ． 7
3
【分析】本题考查比例的性质，利用设参法求值即可．
解 ， :设x = 3k，y = 4k ，
故答案为： ．
13 ． -1
【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC > BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄 金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设 AC 的长为x ，则 BC = AB - AC = 2 - x ， 根据黄金分割的定义可知 即 ， : x2 + 2x - 4 = 0 ，
解得x1 = -1 ，x2 = - -1（不符合题意，舍去），
: AC 的长为 -1；
故答案为： -1．
14 ．7
证明Rt△ACE≌Rt△BAD ，求解 可得CE = AD = 12 ，AE = BD = 5 ， DE = 12 - 5 = 7 ，如图，过B 作BH 丄 CE 于H ，而BD 丄 AD ，CE 丄 AD ，证明四边形BHED 为矩形，再进一步求解即可．
【详解】解：: BD 丄 AD 于点 D ，CE 丄 AD 于点 E，
: 上AEC = 上ADB = 90° , : AE = BD ，AB = AC ， : Rt △ACE≌Rt△BAD ， : AB = 13 ，BD = 5 ，
: DE = 12 - 5 = 7 ，
如图，过B 作BH 丄 CE 于H ，而 BD 丄 AD ，CE 丄 AD ，
:四边形BHED 为矩形，
: BH = DE = 7 ，BD = HE = 5 ，上CHB = 90° , : CH = 12 - 5 = 7 ，
故答案为：7
【点睛】本题考查的是化为最简二次根式， 勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩 形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15 ．19
【分析】本题考查了分类思想， 二次根式有意义的条件，整数解的意义，分类计算求解，结 合有意义的条件，计算确定 m 的值，后求和即可．
: 7 - m≥0, m - 2＞0， 解得2 < m ≤ 7 ；
: m 是整数，
故m = 3, m = 4, m = 5, m = 6, m = 7 ，
当m - 3 = 0 时，即m = 3 ，方程变形为 -8x - 8 = 0 ， 解得x = -1 ，是整数解，符合题意，
故 m = 3 ；
当m - 3 ≠ 0 时，: (m - 3)x2 + (m -11)x - 8 = 0 ， : (m - 3)x - 8 (x +1) = 0 ，
解得 ，
: 方程的根都是整数，m = 3, m = 4, m = 5, m = 6, m = 7 ， : m = 4, m = 5, m = 7 ，
综上所述，符合题意的 m 值为m = 3, m = 4, m = 5, m = 7 ， : 3 + 4 + 5 + 7 = 19 ，
故答案为：19 ．
16 ． 5 8114
【分析】本题考查了新定义下实数的运算、整式加减的应用， 解题的关键在于理解“city 数”
的定义，正确列式计算．根据题意直接计算F(6431)，即可求解；根据“city 数”的定义，得 出a + c = 9 ，b + d = 5 ，由题意可得F(T ) + 3b + 2c - 2 = 2 + c + 4b ，即可求解出满足条件的T 的最大值．
【详解】解：根据题意 ∵ T = abcd 是“city 数”，
: a + c = 9 ， b + d = 5 ，
F (T ) + 3b + 2c - 2
= a - d + 3b + 2c - 2
= a + 3b + 2c - d - 2
= a + c + c + 4b - (b + d ) - 2
= 9 + c + 4b - 5 - 2
= 2 + c + 4b ，
∵ a + c = 9 ，b + d = 5 ，各位数字均不为 0， :1≤ c ≤ 8 ，1≤ b ≤4 ，
:当c 取最小值 1 时，a = 8 最大，此时T 才有可能取最大值， ∵ F (T ) + 3b + 3c - 2 被 7 整除，
: 2 + c + 4b 能被 7 整除，
:当c = 1 ，2 + c + 4b 能被 7 整除时，b = 1， :此时d = 5 -1 = 4 ，
:满足条件的T 的最大值是8114 ． 故答案为：5 ；8114．
17 ．(1) 2 + 2 ；
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程．
（1）先计算完全平方公式、平方差公式、化简二次根式，再计算加减即可；
（2）根据公式法计算即可．
【详解】（1）解：( -1)2 + 2 - ( - 2)( + 2)
= 2 - 2 + 1+ 4 - 5 + 4
= 2 + 2 ；
（2）a = 2, b = 1, c = -2 ，
Δ = 12 - 4× 2 × (-2) = 1+16 = 17 ，
18 ．(1)6
(2)15
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，
（1）由平行线分线段成比例定理得到 ，代入已知线段长度即可得到 DE 的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得到 由DE:EF = 2 : 3 得到 由
AB = 6 得到 即可得到AC 的长， 熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键．
【详解】（1）解：Ql1 Ⅱl2 Ⅱl3 ，
（2）解：Ql1 Ⅱl2 Ⅱl3 ，
QDE:EF = 2 : 3 ，AB = 6 ，
: AC = AB + BC = 15 ．
19 ．(1)85 ，87 ，40
(2)八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由见详解
(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（ x > 90 ）的学生人数一共约是880 人
【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握样本百分比的计算，中位数、众数的计算， 由样本百分比估算总体数量的计算方法是解题的关键．
（1）根据题意，根据样本百分比，中位数，众数的计算方法求解即可；
（2）根据众数作决策即可；
（3）根据样本估算总体数的方法计算即可求解．
【详解】（1）解：∵从七、八年级的学生中各随机抽取 20 名学生参加竞赛，
:八年级A 组的人数为20× 10% = 2 （人），B 组的人数为20× 20% = 4 （人），C 组的人数有6 人，
:八年级D 组有20 - 2 - 4 - 6 = 8 ，则 : m = 40 ，
:中位数落在C 组，是第10,11位同学成绩的平均数，即
∵七年级 20 名学生的竞赛成绩为：66 ，67 ，68 ，68 ，75 ，83 ，84 ，86 ，86 ，87 ，87 ，87， 87 ，89 ，95 ，95 ，96 ，98 ，98 ，100，
:出现次数最多的是87 ， : b = 87 ，
故答案为：85 ，87 ，40 ；
（2）解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下，
∵七年级的众数小于八年级的众数，
:八年级学生的安全知识竞赛成绩较好；
（3）解：样本中七年级安全知识竞赛成绩优秀（ x > 90 ）的学生人数 6 人，八年级安全知 识竞赛成绩优秀（x > 90 ）的学生人数8 人，
（人），
:该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（ x > 90 ）的学生人数一共约是880 人．
20 ．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再 把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分 式减法化简并代值计算即可得到答案．
解
2 a (a - 2) a2 - \l "bkmark3" 4
= - ÷
a + 2 a + 1 a + \l "bkmark4" 1
2 a (a - 2) a + 1
= a + 2 - a + 1 . (a + 2)(a - 2)
2 - a =
a + 2
当a = - ·· 时，原式
21 ．(1)证明见解析
(2)5 ；5
【分析】（1）只需要证明 Δ = - (k - 2)2 - 4(k - 3) ≥ 0 即可；
（2）当腰长为 2 时，则x =2 是方程x2 - (k - 2)x + k - 3 = 0 的一个解，据此把x =2 代入原方 程求出 k 的值，进而解方程求出底边长，再根据三角形三边的关系和三角形周长公式求解即 可；当底边长为 2 时，则原方程有两个相等的实数根，据此求出 k，进而解方程求出腰长， 再根据三角形三边的关系和三角形周长公式求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得， Δ = - (k - 2)2 - 4(k - 3)
= k2 - 4k + 4 - 4k + 12
= k2 - 8k +16
= (k - 4)2 ， ∵ (k - 4)2 ≥ 0 ， : Δ ≥ 0 ，
:对于任意的k ，该方程总有两个实数根；
（2）解：当腰长为 2 时，则x =2 是方程x2 - (k - 2)x + k - 3 = 0 的一个解， :22 - 2(k - 2) + k - 3 = 0 ，
: k = 5 ，
:原方程为x2 - 3x + 2 = 0 ，
解得x = 1 或x = 2 ， :底边长为 1，
:1+ 2 > 2 ，
:此时能构成三角形，
:三角形的周长为2 + 2 +1 = 5 ；
当底边长为 2 时，则方程x2 - (k - 2)x + k - 3 = 0 有两个相等的实数根，
解得k = 4 ，
:原方程为x2 - 2x +1 = 0 ， 解得x1 = =x2 1，
:腰长为 1， : 1+1 = 2 ，
:此时不能构成三角形，不符合题意；
综上所述，k = 5 ，三角形的周长为5 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判 别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
22 ．(1)日平均增长率为30%
(2)每个玩偶降价2 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设日平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每个玩偶降价y 元，根据当日总利润可达到5940 元，列出一元二次方程，解之取符 合题意的值即可．
【详解】（1）解：设日平均增长率为 x ，由题意得：200 (1+ x )2 = 338 ， 解得：x1 = 0.3 ，x2 = -2.3 （舍），
答：日平均增长率为30%；
（2）解：设每个玩偶降价y 元，由题意得：(50 -y - 30)(320 + 5y) = 5940 ，
解得：y1 = 2 ，y2 = -46 （舍），
答：每个玩偶降价2 元．
(2)图象见详解，函数有最大值，最大值为 6
(3)0 < x < 2.7 或6.1< x < 7
【分析】（1）通过三角形的面积公式即可求解；
（2）根据题意画出函数图像，即可求解；
（3）由函数图象可求解．
【详解】（1）解：∵在矩形ABCD 中，AB = 3 ，BC = 4 ， : CD = AB = 3 ，上C = 90° ,
当0 < x ≤ 4 时
当4 < x < 7 时 综上所述
（2）解：函数图像如图所示：
函数y1 的性质：函数有最大值，最大值为 6．
（3）解：由图象可得：当0 < x < 2.7 或6.1 < x < 7 时，y1 < y2 ．
故答案为：0 < x < 2.7 或6.1< x < 7 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意， 学会利用图象法解决问题．
(3)存在，(6,5) 或(10,3)
【分析】（1）先求出点 B 坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）先根据垂线段最短利用勾股定理求出点，再利用建桥选址（平移）模型和将 军饮马（对称）模型将△PA¢O¢ 周长= PA¢ + PO¢ + A¢O ¢ 的最小值问题转化为O¢P¢¢ + O¢P¢ ≥ P¢P¢¢ , 再根据坐标系中两点距离公式求解即可，
（3）先求出点P 点沿射线OP 方向平移2个单位得到点P¢ 坐标为 进而求出直 线l 的解析式，再根据当QC Ⅱ y 轴时，上OBC = 上QCB ，求出此时点Q 的坐标为(6,5) ，进 而利用对边等角找到另一个满足条件点，利用坐标系中两点距离公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：对于一次函数
令 x = 0 ，则 y = 3 ， : B (0,3)
: OB = 3
: OC = 2OB : OC = 6
: C(6,0)
设直线BC 的解析式为y = kx + b ， 把B(0,3) 、C (6,0) 代入，得
解得 :直线BC 的解析式为y = - x + 3 ．
（2）解：对于一次函数y = x + 3 ， 令y = 0 ，则
当线段OP 最短时，则OP 丄 BC ，
:点P 是直线y = - x + 3 上，且OP 丄 BC ，
: OC2 = OP2 + PC2 ，
解得：x1 = ，x2 = 6 （不符合题意舍去），
:△PA¢O¢ 周长= PA¢ + PO¢ + A¢O¢ = PA¢ + PO¢ + :当PA¢ + PO¢ 最小时， △PA¢O¢ 周长最小，
如图，取点P 关于x 轴对称点 将点P 向右平移 个单位，得P¢¢( , ) ，连接 PP¢¢ 、O¢P¢¢ 、O ¢P¢ 、P¢P¢¢ ,
由对称可知：O ¢P = O ¢P¢ ,
由平移可知：PP¢¢ = O¢A¢ , PP¢¢ ⅡO¢A¢ , :四边形A¢O ¢P¢¢P 是平行四边形，
: A¢P = O ¢P¢¢ ,
: PA¢ + PO¢ = O ¢P¢¢ + O¢P¢ ≥ P¢P¢¢ ,
:当O¢ 、P¢ 、P¢¢ 三点在同一直线上，即点O¢ 在PP¢¢ 与x 轴交点上时，O ¢P¢¢ + O¢P¢ 最小， 即PA¢ + PO¢ 的最小值为P¢P¢¢ ,
25 7 32
△PA¢O¢ 周长最小为= + = ．
5 5 5
:直线OP 解析式为y = 2x ，
设P 点沿射线OP 方向平移2个单位得到点P¢ 坐标为(a, 2a) ， 则PP¢ = 2 ，
设直线l 解析式为y = - x + n ， 解得：n = 8 ，
当QC Ⅱ y 轴时，上OBC = 上QCB ，此时点Q 的横坐标为xQ = 6 ， :点Q 的横坐标为
所以点Q 的坐标为(6, 5) ，
在直线l 取点使CQ¢ = CQ = 5 ，设点Q¢ 坐标为(n, - n + 8) ，如图： :7CQQ¢ = 7CQ¢Q
: l Ⅱ BC ，
: 上CQQ¢ = 上BCQ = 上OBC ，上Q¢CN = 上CQ ¢Q ，
: 上Q¢CN = 上OBC ，即直线CQ 与直线BC 与的夹角等于上OBC ， 由CQ¢ = 5 可得：(n - 6)2 + (- n + 8)2 = 52 ，
解得：n1 = 10 ，n2 = 6 （不符合题意舍去）， :点Q¢ 坐标为(10, 3) ，
综上所述：以点Q 的坐标为(6, 5) 或(10, 3)
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，解题关键是利用平行和对称转化线段关系，由建 桥选址（平移）模型和将军饮马（对称）模型求出最小值，利用平行直线的一次项系数相等 求解析式．
25 ．
(2)见解析
(3) BM + CN 的最小值为10
【分析】（1）先求出菱形的边长，再根据面积公式求出 AE 的长；
（2）在 BD 上取一点G ，使 BG = OA ，连接 EG ，将 OA 转化为BG, OE 转化为OG ，即 可得证；
（3）将△ACN绕点A 逆时针旋转90° 至△APQ ，证明 △BCM≌△CAQ ，将 BM + CN 转化为 CQ + PQ ，即可得到最小值．
【详解】（1）解：:四边形ABCD 是菱形，对角线AC = 10, BD = 24 ， : AO = CO = 5, BO = DO = 12 ，
（2）证明：在 BD 上取一点G ，使 BG = OA ，连接 EG ，
Q AE 丄 BC, 上ABC = 45° ,
: AE = BE, 上ABO = 上CBO = 22.5°, 上BAC = 上BCA = 67.5° ,
:上EBG = 22.5° = 上EAO ，
:△BEG≌△AEO (SAS )，
:BG = OA, 上BEG = 上AEO ，
:上GEO = 上GEA + 上AEO = 上GEA + 上BEG = 90° , ∵△ACE 为直角三角形，O 为AC 中点，
:上OCE = 67.5° = 上OEC ，
:上EOG = 45° ,
: OG = OE ，
Q OB = BG + OG ，
: OB = OA + OE ， : OB - OA = OE ；
（3）解：将△ACN绕点A 逆时针旋转90° 至△APQ ，连接CQ, CP ， Q 上EAD = 90°
∴ AQ 在AD 上，
Q CM = AN, AN = AQ ， : CM = AQ ，
在 △BCM 和 △CAQ 中，
: △BCM≌△CAQ (SAS ) ，
:BM = CQ ，
:BM + CN = CQ + PQ ≥ PC ， Q 上CAP = 90°, AC = AP = 10 ， :PC = 10 ，
: BM + CN 的最小值为10 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质， 全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰 直角三角形的性质等知识点，属于综合题，正确做出辅助线是解题的关键．