2025~2026学年度山东省淄博市周村区实验中学（五四制）上学期（9月）月考九年级数学试卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度山东省淄博市周村区实验中学（五四制）上学期（9月）月考九年级数学试卷【附答案】，共34页。
学期 9 月月考九年级数学试卷
一．选择题（共 10 小题）
1 ．若反比例函数 的图象经过点A(a，b) ，则下列结论中不正确的是( )
A ．点 A 位于第二或四象限 B ．图象一定经过(-a，- b)
C ．在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 D ．图象一定经过(-b，- a )
2 ．反比例函数y = （k 为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A 的坐标为 (2,1) ，则 k 的值是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
3 ．在 △ABC 中，上C = 90° , tan A = 2 ，则 sin A 的值是( )
A ． B ． C ． D ．
4 ．已知点A(-2, y1 ), B (-1, y2 ), C (3, y3 ) 在反比例函数y = (k < 0) 的图象上，则y1, y2, y3 的大 小关系是( )
A ．y1 < y2 < y3 B ．y2 < y1 < y3 C ．y3 < y1 < y2 D ．y3 < y2 < y1
5 ．下面四个图中反比例函数的表达式均为y = ，则阴影部分的图形的面积为 3 的有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
6 ．如图是一架人字梯，已知AB = AC = 2 米，AC 与地面 BC 的夹角为a ，则两梯脚之间的 距离 BC 为( )
A ．4 csa 米 B ．4 sina 米 C ．4 tan a 米 D ． 米
7 ．如图所示的网格是正方形网格，点 A，B ，C 都在格点上，则 tan0) 经过C ，D 两点，双曲线y = (x >0) 经过点B ，则平行四边形OABC 的面积为( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
10 ．如图所示，在矩形ABCD 中，BC = 2AB ，点 M，N 分别在边BC，AD 上．连接MN ， 将四边形CMND 沿MN 翻折，点C，D 分别落在点A，E 处．则tan 上AMN 的值是( )
A ．2 B ． C ． D ．
二．填空题（共 4 小题）
11 ．在△ABC 中， y2 ，则m 的取值范围是 ．
13 ．如图所示的网格是正方形网格，则tana + tan β = ．
14 ．如图，已知直线l1 Pl2 Pl3 Pl4 ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的 四个顶点分别在四条直线上，则tan a = ．
15 ．如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A 、B 在双曲线 y= (x＞0)上，BC 与 x
轴交于点 D ．若点 A 的坐标为(1 ，2)，则点 B 的坐标为 .
三．解答题（共 8 小题）
16 ．计算：
(1) cs30° . tan60° - 4sin30° + tan45° ;
(2) 3tan30° + tan2 45° - 2sin60° .
17 ．如图，在△ABC 中，上A = 30° , 上ACB = 105° , AC = 4 ，求 AB 的长．
18．如图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向240km 的 O 处，以每小时30km 的速度 向南偏东60° 的OB 方向移动，距台风中心150km 的范围内是受台风影响的区域
(1)求 A 城与台风中心之间的最小距离；
(2)求 A 城受台风影响的时间有多长？
19 ．如图，反比例函数 的图象与一次函数y = kx + 5 （k 为常数，且k ≠ 0 ）的图象 交于A(-2, b) ，B 两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若将直线AB 向下平移m (m > 0) 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，
求 m 的值．
20 ．一次函数 （b 为常数）的图像与 x 轴交于点A（2 ，0），与y 轴交于点 B，与 反比例函数 的图像交于点 C（-2 ，m）．
(1)求点 C 的坐标及反比例函数的表达式；
(2)过点 C 的直线与y 轴交于点 D，且S△CBD : S△BOC = 2 :1，求点 D 的坐标．
21 ．如图，一次函数y = k1x + 2 的图象与反比例函数 的图象相交于 A(m, 4) ，B 两点， 与x ，y 轴分别相交于点C ，D ．且tanÐ ACO = 2 ．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点D 为圆心，线段DB 的长为半径作弧与x 轴正半轴相交于点E ，连接 AE ，BE ．求
△ABE 的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于x 的不等式的解集．
22 ．如图，已知 Rt△ABC 中， 0 ，
:图象位于第一、三象限，故选项 A 不正确，符合题意；
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 正确，不符合题意．
故选：A．
2 ．A
【分析】首先假设点 A 在该反比例函数图象上，即可求出此时 k 的值．再根据实际，即可判 断 k 的取值范围，即可选择．
【详解】假设点 A 在该反比例函数图象上， : k = 2 × 1 = 2 ，
∵点A 实际在该反比例函数图象上方， : k < 2 ．
选项中只有 A 选项的值小于 2．
故选 A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质 ．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
3 ．C
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算方法求解即可．
【详解】解：如图所示，在 △ABC 中，上C = 90° , ,
:设BC = 2x, AC = x ，
故选：C ．
4 ．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数
的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y 随 x 的增大而增大，结合三点的 横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：: k < 0 ，
:函数 的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y 随 x 的增大而增大， : -2 < -1< 0 < 3，
: y3 < 0 < y1 < y2
: y3 < y1 < y2 ，
故选：C．
5 ．B
【分析】根据反比例函数比例系数 k 的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式， 分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：第 1 个图中，阴影面积为 3，故符合题意；
第 2 个图中，阴影面积为 故不符合题意；
第 3 个图中，阴影面积为 故符合题意；
第 4 个图中，阴影面积为 故符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此 类题一定要正确理解 k 的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
6 ．A
【分析】根据等腰三角形的性质得到 根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点 A 作AD 丄 BC ，如图所示：
∵ AB = AC ，AD 丄 BC ， : BD = DC ，
: DC = AC . cs a = 2 cs a ，
: BC = 2DC = 4 cs a ， 故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
7 ．B
【分析】连接 BC，先根据勾股定理求出 AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判断△ABC 是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，连接 BC．
根据勾股定理可得 AC2=22+22=8， BC2=12+12=2，
AB2=12+32=10，
:AC2+BC2=AB2，
:△ABC 是直角三角形，0) 求得k 的值，然后代入C 的
纵坐标，可得到C 的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：Q平行四边形OABC 的对角线交于点D ， : OD = BD ，
:双曲线经过点B ，
:设B 的坐标是 ， 则 C 的纵坐标是 ，
作DM 丄 OA, BN 丄 OA ， :上DMO = 上BNO = 90° , Q 上DOM = 上DOM ，
:△DOM ∽△BON ，
∵双曲线y = (x >0) 经过D 点，代入得：
:反比例解析式为
∵双曲线0) 经过 C 点，将 C 点纵坐标代入得：
,
m x
得： ，
即C 的横坐标是 ， Q BC = OA ，
:平行四边形OABC 的面积= BC ×点C 的纵坐标 故选：B．
10 ．A
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，连接 AC 交MN 于点F ， 设AB = 2m ，则 BC = 2AB = 4m ，由勾股定理可得 由折叠的性 质可得AM = CM ，MN 垂直平分AC ，BM = BC - CM = 4m - AM ，上AFM = 90° ,
, 再利用勾股定理求出AM、MF 即可求解，掌握折叠的性质是解题 的关键．
【详解】解：连接 AC 交MN 于点F ，
设AB = 2m，则 BC = 2AB = 4m ， ∵四边形ABCD 是矩形，
:ÐB = 90° ,
∵将四边形CMND 沿MN 翻折，点C，D 分别落在点A，E 处， :点C 与点A 关于直线MN 对称，
: AM = CM ，MN 垂直平分AC ，
: BM = BC - CM = 4m - AM ，上 ， ∵ AB2 + BM2 = AM 2 ，
: (2m)2 + (4m - AM)2 = AM 2 ，
故选：A ．
12
11 ．
5
【详解】∵∠C=90° , AB=13 ，BC=5，
故答案为 ．
12 ．m < -3
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式．
将点A ，B 两点分别代入双曲线 ，可得 y1 ，y2 ，根据题意列不等式，即可得 m 的 取值范围．
【详解】解：将点 A(-1, y1 ) ，B(2,y2 ) 两点分别代入双曲线y = ，
∵ y1 > y2 ，
解得m < -3 ，
: m 的取值范围是m < -3 ．
故答案为：m < -3 ．
13 ．4
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出tana + tan β 的值．
【详解】解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为 a ，
,
: 上ACB = 90° , AC = 3a ，CD = a ，BC = 3a ，
故答案为：4 ．
【分析】本题考查了平行线的性质、平行线分线段成比例、正切， 根据平行线分线段成比例
定理可知AE = BE ，根据正方形的四条边都相等，可得： 可知 tan 上 根据两直线平行，内错角相等可得：
【详解】解：Q 四边形ABCD 是正方形，
: AD = AB ，上A = 90° ,
Ql1 Ⅱ l2 Ⅱ l3 Ⅱ l4 ，相邻两条平行直线间的距离都是1， 上a = 上ADE ，
故答案为： ．
15 ．B（4 ， ）．
【详解】试题分析：由矩形 OABC 的顶点 A 、B 在双曲线 （x＞0）上，BC 与 x 轴交 于点 D ．若点 A 的坐标为（1 ，2），利用待定系数法即可求得反比例函数与直线 OA 的解析 式，又由 OA丄AB，可得直线 AB 的系数，继而可求得直线 AB 的解析式，将直线 AB 与反 比例函数联立，即可求得点 B 的坐标．
试题解析：∵矩形 OABC 的顶点 A 、B 在双曲线0）上，点 A 的坐标为（1 ，2），
解得：k=2，
:双曲线的解析式为： ，直线 OA 的解析式为：y=2x， ∵OA丄AB，
:设直线 AB 的解析式为：
解得：
:直线 AB 的解析式为 将直线 AB 与反比例函数联立得出：
解得： 或
:点 B（4 ， ）．
考点: 反比例函数综合题.
16 ．(1)
(2)1
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；
（2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：cs30° . tan60° - 4sin30° + tan45°
= ；
（2）解：3tan30° + tan2 45° - 2sin60° ,
= +1 - ，
= 1．
17 ．2 + 2
【分析】过C 作CD 丄 AB 于D ，则 上CDA = 上CDB = 90° ,在 Rt△ACD 中，由上A = 30° ,
AC = 4 ，求得CD = AC . sin A = 2 ，AD = AC . cs A = 2 ，根据三角形的内角和得到上B = 45° ,
在Rt△BCD 中，根据 再根据AB = AD + BD 即可得到结论．
【详解】解：如图，过C 作CD 丄 AB 于D ， : 上CDA = 上CDB = 90° ,
:在Rt△ACD 中，上A = 30° , AC = 4 ，
又∵在△ABC 中，上A = 30° , 上ACB = 105° ,
: 上B = 180° - 上A - 上ACB = 180° - 30° -105° = 45° , 在Rt△BCD 中
: AB 的长为2 + 2 ．
【点睛】本题考查解直角三角形， 特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的 关系是解题的关键．
18 ．(1)120km
(2)6 小时
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含 30 度角的直角三角形的性质，正确作出 辅助线是解题的关键．
（1）过点 A 作AH丄 OB 于 H，根据题意可求出 上AOH = 30° ,据此求出 AH 的长即可得到 答案；
（2）在直线OB 上取两点 R 、T，连接 AR，AT ，使得 AR = AT = 150km ，利用勾股定理求 出RH，TH 的长，进而得到RT 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，过点 A 作AH丄 OB 于 H， : 上AHO = 90° ,
∵台风中心从点 O 向南偏东60° 的OB 方向移动， : 上AOH = 90° - 60° = 30° ,
:A 城与台风中心之间的最小距离是120km ．
（2）解：如图所示，在直线OB 上取两点 R 、T，连接 AR，AT ，使得 AR = AT = 150km ， 在Rt△AHR 中，由勾股定理得
同理可得TH = 90km ，
: RT = RH + TH = 180km ，
:受台风影响的时间有180 ÷ 30 = 6 小时．
19 ．
(2)m 的值为 1 或 9
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移问题，求一次函数的解析式， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意，先把A(-2, b) 代入 得到 A 点的坐标，然后代入y = kx + 5 ，求得 k 值，即可求得一次函数解析式；
（2）先根据平移的性质得将直线 AB 向下平移m (m > 0) 个单位长度得直线解析式为
依题意，进行列式化简得 再结合将直线AB 向下平 移m (m > 0) 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，得出 Δ = 0 ，代入数值 计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把A(-2, b) 代入 得
:A 点坐标为(-2, 4) ，
依题意，把A(-2, 4) 代入y = kx + 5 ， 得-2k + 5 = 4 ，
解得
:一次函数解析式为y = x + 5 ；
（2）解：由（1）得一次函数解析式为y = x + 5 ，
将直线AB 向下平移m (m > 0) 个单位长度得直线解析式为 依题意得
消去y 得 整理得
∵若将直线AB 向下平移m (m > 0) 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点， 故Δ = (m - 5)2 - 4× × 8 = 0 ，
解得m = 9 或m = 1， 即 m 的值为 1 或 9．
20 ．(1)C（-2 ，2）；反比例函数的表达式为 y = - ；
(2)D 点坐标为（0 ，-1）或（0 ，3）
【分析】（1）求出 A 点的坐标代入 得 ，得点 C 的坐标（-2，2），把
点 代入 即可得答案；
（2）求出△BOC 和△BCD 的面积，即可求出 BD 的值，即可求出点 D 的坐标． 【详解】（1）解：把点 A（2 ，0）代入 y = - x+b ，
: b=1，
把点 代入 解得 m=2， :点 C 的坐标（-2 ，2），
把点 代入 :k=-4，
: 反比例函数的表达式为 （2）如下图：
和y 轴交点，
:B（0 ，1）， :OB=1，
∵C（-2 ，2），
在△BOC 中，OB 边上的高是 2，
∵S△CBD : S△BOC = 2 :1，
:S△CBD=2，
设 D 的坐标为(0 ，m)， :BD= ∣m-1∣ ,
在△BDC 中，BD 边上的高为是 2，
:BD=2，
:m-1=±2，
:D 点的坐标为(0 ，3)或(0 ，-1)．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式等知 识点，解题的关键是能正确用待定系数法求出函数的解析式．
21 ．(1)一次函数解析式为y = 2x + 2 ，反比例函数解析式为 y = (2)15
(3) -2 < x < 0 或x > 1
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出D(0, 2) 得到OD = 2 ，再解直角三角形得到OC = 1 ，则C(-1, 0) ，据此利用待定 系数法求出一次函数解析式，进而求出点 A 的坐标，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式 中求出对应的反比例函数解析式即可；
（2）先求出点 B 的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点 E 的坐标，最后根据 S△ABE = S△CBE + S△ACE ，求解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到 答案．
【详解】（1）解：在 y = k1x + 2 中，当x =0 时，y = 2 ， : D(0, 2) ，
: OD = 2 ，
: tanÐ ACO = 2 ，
:在Rt△CDO 中，tan ∠DCO = = 2 ， : OC = 1 ，
: C (-1, 0) ，
把C(-1, 0) 代入y = k1x + 2 中得：0 = -k1 + 2 ，解得k1 = 2 ， :一次函数解析式为y = 2x + 2 ，
在y = 2x + 2 中，当y = 2x + 2 = 4 时，x = 1 ， : A(1, 4)，
把A(1, 4)代入y = 中得：4 = ，解得k2 = 4 ，
:反比例函数解析式为y = ；
解：联立
解得 或 : B(-2, -2) ；
设E(e, 0)，
由题意得，BD = ED ，
: (-2 - 0)2 + (-2 - 2)2 = (e - 0)2 + (0 - 2)2 ， 解得e =4 或e = -4 （舍去），
: E (4, 0) ，
: CE = 4 - (-1) = 5 ， : S△ABE = S△CBE + S△ACE
= 15 ；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为
-2 < x < 0 或x > 1 ，
:关于x 的不等式k1x + 2 > 的解集为-2 < x < 0 或x > 1 ．
22 ．（1） ；（2）3.
【分析】（1）根据