2025~2026学年度山东省淄博市张店区第九中学（五四制）上学期（9月）月考九年级数学试卷【附答案】

这是一份2025~2026学年度山东省淄博市张店区第九中学（五四制）上学期（9月）月考九年级数学试卷【附答案】，共44页。
一．选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）
1．矩形面积是40m2 ，设它的一边长为x (m) ，则矩形的另一边长y(m) 与x 的函数关系是( )
A ． B ．y = 40x C ． D ．
2 ．已知实数a = tan 30°, b = sin 45°, c = cs 60° ,则下列说法正确的是( )
A ． b＞a＞c B ．a＞b＞c C ．b＞c＞a D ．a＞c＞b
° 5
3 ．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90 , AB = 13, cs A = 13 ，则 AC 的长为( )
A ．5 B ．8 C ．12 D ．13
4 ．如图，双曲线y = - 的一个分支为( )
A ．① B ．② C ．③ D ．④
5 ．如图，在菱形ABOC 中，上A = 60° ,它的一个顶点 C 在反比例函数 的图象上，若 点B(-6,0) ，则反比例函数表达式为( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得
地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为30° ,同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为( )
A ．(6 + ) 米 B ．12 米 C ．(4 + 2)米 D ．6 米
7．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在函数 < 0) 的图象上，点 B 在函数y = (x > 0) 的图象上，若 AO=2BO ， 0) 的图像经过点 A，交 BC 于点 D．
(1)求出反比例函数的关系式；
(2)求点 D 的坐标．
18 ．如图，在Rt△ABC 中，上C = 90° ,点 D 在BC 边上， Ð ADC=45° , BD = 3 ， 求BC 的长．
19．已知反比例函数y1 = 的图象与一次函数y2 = ax + b 的图象交于点A(1, 4) 和点B(m, — 2) ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围．
(3)求三角形AOB 的面积．
20 ．心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变 化而变化．学生的注意力指数y 随时间 x（分）的变化规律如图所示（其中 AB、BC 为线段， CD 为双曲线的一部分）．
（1）上课后的第 5 分钟与第 30 分钟相比较， 分钟时学生的注意力更集中． _______
（2）分别求出线段 AB 和双曲线 CD 的函数关系式．
（3）一道数学题，需要讲 18 分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于
40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？
21 ．如图，灯塔 C 在海岛A 的北偏东 75°方向，某天上午 8 点，一条船从海岛 A 出发，以
18 海里/时的速度由西向东方向航行，10 时整到达 B 处，此时，测得灯塔 C 在 B 处的北偏 东 60°方向．
(1)求 B 处到灯塔 C 的距离；
(2)已知在以灯塔 C 为中心，周围 17 海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是
否有触礁的危险？请你说明理由．
22．矩形AOBC 中，OB = 4，OA = 3 ，分别以OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图 1 所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与 B ，C 重合），过点 F 的反比例函数
的图象与边AC 交于点 E．
(1)当点 F 运动到边BC 的中点时，点 E 的坐标为 ．
(2)连接EF ，求 上EFC 的正切值；
(3)如图 2，将△CEF沿EF 折叠，点 C 恰好落在边OB 上的点 G 处，求BG 的长度．
23 ．综合与实践
如图 1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2 的矩形地块ABCD 种植农作物，地块一边靠墙， 另外三边用木栏围住，木栏总长为am ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a = 10 ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB 为xm ，BC 为ym ．由矩形地块面积为 8m2 ，得到xy = 8 ，满足条件的(x, y) 可看成是反比例函数 的图象在第一象限内点的坐 标；木栏总长为10m ，得到2x + y = 10 ，满足条件的(x, y) 可看成一次函数y= —2x +10 的图 象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x, y) 就可以看成两个函数图象交点的坐 标．如图 2 ，反比例函数 的图象与直线l1 ：y = —2x +10 的交点坐标为(1,8) 和 ______，因此，木栏总长为10m 时，能围出矩形地块，分别为：AB = 1m ，BC = 8m ；或 AB = ______m ，BC = ______m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】
（2）若 a =6 ，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图 2 中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】
（3）当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y = —2x + a ．发现直线y= —2x + a 可以看成 是直线y= —2x 通过平移得到的，在平移过程中，求出直线y= —2x + a 与反比例函数
的图象有唯一交点时的交点坐标及a 的值．
【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y = —2x + a 与 图象在第 一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且 AB 和BC 的长均不小于1m ，请直接写出a 的取值 范围______．
1 ．C
【分析】本题考查列函数关系式，根据矩形的面积等于长乘宽即可解答． 【详解】解：∵ xy = 40 ，
即矩形的另一边长y(m) 与 x 的函数关系是 ．
故选：C．
2 ．A
【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可. 解
: b＞a＞c ， 故选：A.
【点睛】本题主要是考查特殊角的三角函数值， 属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特 殊角的所有三角函数值，所以要牢记特殊角的三角函数值，另外还考查了实数比较大小.
3 ．A
【分析】利用余弦的定义可知 ，代入数据即可求出 AC.
故选 A.
【点睛】本题考查根据余弦值求线段长度，熟练掌握余弦的定义是解题的关键.
4 ．A
【分析】直接根据反比例函数的性质结合图象分布解答即可． 解 中，k=-6＜0
:双曲线的图象在二、四象限，排除 C、D
当 x=-2 时，y=3 时，故 A 符合题意，B 不符合题意．
故选 A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图像确定方法是解题关键．
5 ．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，过 点 C 作CD 丄 x 轴于 D，根据题意求得菱形的边长为 6，根据菱形的性质和三角函数分别表示 出 C，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，
【详解】解：过点 C 作CD 丄 x 轴于 D，
∵点B (—6，0) ，
:菱形的边长为 6，
∵在菱形ABOC 中，上A = 60° , : 上DOC = 60° ,
在Rt△CDO 中 则C(—3, 3)，
∵顶点 C 在反比例函数 的图象上，
:反比例函数为 ， 故选：D．
6 ．A
【分析】延长 AC 交BF 延长线于点 D，作 CE 丄 BD 于点 E，则 BD 即为AB 的影长，先利用 三角函数和 30 度角所对的直角边等于斜边一半求出米，CE = 2 米，根据题意可知 物长和影长的比值为1: 2 ，求出DE = 4 米，进而求出米，即可求出树的高度．
【详解】解：如图，AC 交BF 延长线于点 D，作 CE 丄 BD 于点 E， 在Rt△CEF 中，上CFE = 30° , CF = 4 米，
米 米，
Q 同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，
: CE : DE = 1: 2 ， :DE = 4 米，
Q BF = 8 米，
:BD = BF + EF + DE = 8 + 2 + 4 = (12 + 2)米，
故选 A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的性质， 三角函数，解题关键是作出 辅助线得到AB 的影长．
7 ．A
【分析】分别过 A, B 引x 轴的垂线，垂直分别为C, D ，证明 △ACO∽△ODB ，根据相似三角 形的性质可得 进而求得S△BOD = ，根据反比例函数k 的几何意义即可 求得k 的值．
【详解】如图，分别过 A, B 引x 轴的垂线，垂直分别为C, D ,
Q 点 A 在函数y = — ) 的图象上，
Q 0 ，
: b = 、 ．
3 ．
故选：C
11 ．3m
【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中30° 角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值 求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度．
Rt△ABC 中，斜坡AB 的坡度= 1: 3 ，求出 上BAC = 30° ,由直角三角形的性质即可得出答 案
【详解】解：Rt△ABC 中，tan上BAC = 斜坡AB 的坡度= 1: 3 = ，
3
: 上BAC = 30° ,
∵ BC 丄 AC ，
12 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，与正比例函数相交的两个交点一定关于原点对 称.
【详解】正比例函数y = 16x 与反比例函数的图象均关于原点对称，则其交点也关于原 点对称，
关于原点的对称点是 ， 故答案为
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的对称性，根据对称性即可得到点对称的结论.
13 ．3 < a ≤ 6
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合， 正方形的性质，求出两个临界位置时的a 值是 解题的关键．
根据题意得出 C 点的坐标(a - 3, a - 3)，然后分别把 A、C 的坐标代入求得 a 的值，即可求得 a 的取值范围．
【详解】解：∵A 点的坐标为(a, a )，正方形 ABCD 的边长为3 ， : C(a - 3, a - 3)，
当 C 在双曲线 时，则 ， 解得a = 6 或a = 0 （舍）；
当 A 在双曲线 时，则 ，
解得a = 3 （舍负），此时有条边与 x 轴重合， :a 的取值范围是3 < a ≤ 6 ．
故答案为：3 < a ≤ 6 ．
14 ．6
【分析】本题考查了反比例函数 k 的几何意义、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键； 连接BM ，由题意易得点 O、M、B 三点共线，且OM = BM ，则有 △DOB 的面积为 9，然后
可得S△△DOB = 3 ，进而根据反比例函数 k 的几何意义进行求解即可． 【详解】解：如图，连接 BM ．
∵矩形OABC 的对称中心是点 M，
:点 O 、M、B 三点共线，且OM = BM ， Q△DOM 的面积为 4.5，
: △DOB 的面积为 9， ∵ BD = 3CD ．
: k = 2S△COD = 6 ， 故答案为：6．
15 ．
【分析】本题考查了正方形的性质、解直角三角形、勾股定理， 掌握“弦图”的特点是解题的 关键．过点D 作DN 丄 GE 交GE 延长线于点N ，由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是 4 个全等的直角三角形，根据题意设正方形EFGH 的边长为a ，则正方形 ABCD 的边长为
、a ，设CE = DF = x ，CH = DE = y ，由“弦图”列出关于x, y 的方程组，求出x, y 的值，利 用勾股定理求出DG ，再利用等腰三角形的性质求出 NG ，在 Rt△DGN 中利用余弦的定义 即可求解．
【详解】解：如图，过点 D 作DN 丄 GE 交GE 延长线于点N ，
由“弦图”的性质可得，两个正方形之间是 4 个全等的直角三角形，
: AG = BH = CE = DF ，AF = BG = CH = DE ，
Q 正方形ABCD 与EFGH 的边长之比为 :1，
:设正方形EFGH 的边长为a ，则正方形 ABCD 的边长为a ，
设CE = DF = x ，CH = DE = y ，
由“弦图”可得 解得： 或
:DF = 2a ，DE = a ，
:EF = FG = a ，
: △EFG 是等腰直角三角形，EG = EF = a ，上FEG = 45° , :上NED = 上FEG = 45° ,
又QDN 丄 GE ，
:△DNE 是等腰直角三角形，
:在Rt△DGN 中，cs 上
故答案为： ．
(2)1
【分析】本题主要考查特殊的三角函数值的混合运算，熟练记忆所有特殊三角函数值是解题 的关键．
（1）根据特殊的三角函数值，代入求解即可．
（2）根据特殊的三角函数值，代入求解即可．
【详解】（1）sin 60° . cs 30° — tan 45° = × — 1 = — 1 ；
2 2 4
（2）3 tan 30° — tan 60° + 2 cs 60° = 3 × — + 2× 1 = 1．
3 2
17 ．
(2) ( — + )
【分析】（1）由OA = 2 , 上AOC = 45° 可求得点 A 的坐标为(2, 2) ，由点 A 在反比例函数上 可求得 k 的值，即求出了反比例函数的关系式．
（2）先由菱形的性质可表示出点 B 、C 的坐标，据此可求出直线 BC 的解析式，再联立反 比例函数的解析式组成方程组，方程组的解就是交点 D 的坐标．
【详解】（1）自点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 H，由菱形OAB C 知BAⅡOC ，即BA 平行于y 轴，则BA 垂直于 x 轴，因此点 B、A 、H 在同一条直线上．如下图．
由OA = 2 , 上AOC = 45° 知，则上AOH = 45° , △AOH 是等腰直角三角形．
:点 A 的坐标为(2, 2)．
因反比例函数 的图像经过点A(2, 2) ， : k = xy = 2 × 2 = 4 ．
:反比例函数的关系式为 ．
（2）:菱形OABC ，
: OC = OA = 2 ，BH = AB + AH = OA + AH = 2 + 2 ，
故点 C 的坐标是(0, 2)，点 B 的坐标为(2, 2S2 + 2)．
设直线BC 的解析式为y = kx + b ，
解得 :直线BC 的解析式为y = x + 2、
:点 D 在直线BC 与反比例函数y = k > 0) 的交点上， :联立得方程组
消去y 并去分母变形得：(x + )2 = 6 ，
: x = — 或x = — — （不合题意，舍去）
故点 D 的坐标为( — , + )．
【点睛】本题考查了菱形、等腰直角三角形的性质， 以及求反比例函数、一次函数的解析式， 涉及求交点坐标和解方程组、解一元二次方程等知识点，解题的关键是能熟练综合运用所学 的知识点．
18 ．BC = 15
【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构 建直角三角形的能力．
根据已知条件可以设AC = x ，根据 Ð ADC=45° 得DC = x ，在Rt△ABC 中，tan B = ，BD = 3 ，
由此建立方程即可求解； 【详解】解：设 AC = x ， Q 上ADC = 45° ,
: CD = x ，
在Rt△ABC 中
解得x = 12 ，
:BC = BD + CD = 3 +12 = 15 ．
19 ．(1)反比例函数的解析式是 ；一次函数的解析式是y2 = 2x + 2
(2) x > 1 或 —2 < x < 0 (3)3
【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，无论是自变量的取值范围还是函数值的取值 范围，都应该从交点入手思考．
（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，把 B 的坐标代入反比例函数解析式求得B 的 坐标，然后利用待定系数求得一次函数解析式；
（2）利用函数图象，求 y1 < y2 时自变量x 的取值范围，就是求反比例函数图象在下边时对 应的x 的范围；
（3）求得 AB 与y 轴的交点，然后利用三角形的面积公式求解． 解：把A(1, 4)代入 得k = 4 ，
则反比例函数的解析式是 把y = —2 代入 得x = —2 ， 则B 的坐标是(—2, —2) ．
根据题意得 解得：
则一次函数的解析式是y2 = 2x + 2 ；
（2）解：: A(1, 4) ，B(—2, —2) ，
根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时， 即y1 < y2 时自变量x 的取值范围是x > 1 或 —2 < x < 0 ；
（3）解：在 y2 = 2x + 2 中，令x = 0 ，解得：y = 2 ， 则AB 与y 轴的交点C 的坐标是(0, 2) ，
20 ．（1）5；（2）yAB = 2x + 30 ； ．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下 讲完这道题．
【分析】（1）（2）利用待定系数法分别求出 AB 和 CD 的函数表达式，得出第五分钟和第三 十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为 40 时的两个时间，再将两时间之差和 18 比较，大于 18 则能讲 完，否则不能．
【详解】（1）（2）设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1 ＝k1x＋30， 把 B（10 ，50）代入得，k1 ＝2，
:AB 解析式为：y1 ＝2x＋30（0≤x≤10）．
设 C 、D 所在双曲线的解析式为 ， 把 C（20 ，50）代入得，k2 ＝1000，
:曲线 CD 的解析式为
当 x1 ＝5 时，y1 ＝2×5＋30 ＝40， 当 x2 ＝30 时
:y1＞y2
:第 5 分钟注意力更集中．
故答案为：5；
（3）当 y = 40 时，2x + 30 = 40, x = 5 ．
: 25 — 5 = 20 > 18 ．
:教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式， 从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求 算对应的函数值．
21 ．(1)36 海里
(2)没有危险
【分析】本题考查了含30° 角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．
（1）根据已知条件得到 上C = 30° —15° , 求得上BAC = 上C ，根据等腰三角形的性质即可得 到结论；
（2）过 C 作CD 丄 AB 交AB 的延长线于点 D，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得 上BAC = 90° — 75° = 15° , 上CBE = 90° — 60° = 30° , AB = 18 × 2 = 36 （海里），
: 上C = 30° —15° , : 上BAC = 上C ，
: BC = AB = 36 （海里），
答：B 处到灯塔 C 的距离为 36 海里；
（2）解：没有触礁的危险，理由如下：
过 C 作CD 丄 AB 交AB 的延长线于点 D，
: 上CBD = 30°, BC = 36 （海里），
:18 > 17 ，
:若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险．
22 ．(1) (2，3)
(3)
【分析】（1）先确定出点 A，B 坐标，进而求出点 C 坐标，再用点 F 是BC 中点，求出点 F 坐标，利用待定系数法求出 k，最后将点 E 的纵坐标为 3 代入反比例函数解析式中即可求出 点 E 坐标；
（2）设出点E(m，3)，F (4，n) ，代入反比例函数 中得出 进而用 m 表 示出CE ，CF 即可得出结论．
（3）如图所示，过点 E 作EH 丄 OB 于 H，证明 △EHG ∽△GBF ，得到 则BG = ． 【详解】（1）解：Q OB = 4，OA = 3 ，
: A(0，3)，B (4，0)，
Q 四边形AOBC 是矩形，
:上OAC = 上OBC = 90°, AC = OB = 4，BC = OA = 3，
:C (4，3) ，
Q 点 F 是BC 的中点，
Q 点 F 在反比例函数 的图象上，
:反比例函数的解析式为y = ，
Q 点 E 在反比例函数 的图象上，且纵坐标为 3，
: 点 E 的横坐标为
:E (2，3)
（2）解：如图，设点E(m，3)，F (4，n) ， : AE = m，BF = n ，
Q 点 E，F 在反比例函数y = k > 0) 的图象上，
:k = 3m = 4n ，
3
:n = m ， 4
:CE = AC — AE = 4 — AE = 4 — m，CF = BC — BF = 3 — BF = 3 — m ， 在Rt△ECF 中，tan上
（3）解：如图所示，过点 E 作EH丄 OB 于 H，
: EH = OA = 3，上EHG = 上GBF = 90° , : 上EGH + 上HEG = 90° ,
由折叠知，EG = CE，FG = CF，上EGF = 上C = 90° , : 上EGH + 上BGF = 90° ,
: 上HEG = 上BGF ，
: 上EHG = 上GBF = 90° , : △EHG ∽△GBF ，
3 4
: BG = 3 ，
: BG = ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质与判定， 求角正切值，折叠的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23 ．（1）(4, 2) ；4；2；（2）不能，见解析；（3）(2, 4) ，8；（4）8 ≤ a ≤ 17
【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释， 比较新颖，实质是函数图象的平移，一次 函数和反比例图象的交点问题．
（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为(4, 2) ，进 而可求解；
（2）画出 y= —2x + 6 的图象，观察图象得到l2 与函数 图象没有交点即可求解；
（3）由直线 y = —2x + a 与反比例函数的图象有唯一交点，可知 由唯 一解，即：方程2x2 — ax + 8 = 0只有一个解，利用根的判别式求得a = 8 （负值舍去），进而 可求得交点坐标为(2, 4)；
（4）AB 和BC 的长均不小于1m ，可得1≤ x ≤ 8 ，直线y = —2x + a 在l3 、l4 上面或之间移动，
可得求a 的范围．
利用数形结合数学思想是解决问题的关键．
【详解】解：（1）将反比例函数 与直线l1 ：y = —2x +10 联立得
: x2 — 5x + 4 = 0 ， : x1 = 1 ，x2 = 4 ，
:另一个交点坐标为(4, 2)， : AB 为xm ，BC 为ym ， : AB = 4 ，BC = 2 ．
故答案为：(4, 2) ；4；2；
（2）不能围出面积为 8m2 的矩形；
理由如下：
y = -2x + 6 的图象，如图中l2 所示：
∵ y = -2x + 6 与函数y = 图象没有交点， :不能围出面积为 8m2 的矩形．
故答案为：y = -2x + 6 与函数 图象没有交点；
（3）如图中直线l3 ：y = -2x + a 所示，
∵直线y= -2x + a 与反比例函数y = ) 的图象有唯一交点， : = -2x + a 由唯一解，即：方程2x2 - ax + 8 = 0只有一个解， : a2 - 4× 2 × 8 = 0 ，解得：a = 8 （负值舍去），
此时：2x2 - 8x + 8 = 0 ，解得：x = 2 ，
当 x = 2 时， y = 4 ，
:此时交点坐标为(2, 4)；
（4）∵ AB 和BC 的长均不小于1m : x ≥ 1 ，y ≥ 1，
: y = ≥ 1， : x ≤ 8 ，
:1≤ x ≤ 8 ，
如图所示，直线y= -2x + a 在l3 、l4 上面或之间移动，
把(8,1) 代入y = —2x + a 得a = 17 ， :8 ≤ a ≤ 17 ．