福建省福州市部分校2024-2025学年高二下学期7月质量检测数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福州市部分校2024-2025学年高二下学期7月质量检测数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 若，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第三册第六～七章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. iC. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的四则运算求解即可.
【详解】由得，.
故选：A.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意先求出，再结合集合的交集运算即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D．
3. 已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行得到，得到方程组，求出答案.
【详解】因为与共线，所以存在实数x使，
故，解得，.
故选：A.
4. 某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（ ）
A 1B. 5C. 9D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性和性质求500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的概率，进而可求得人数.
【详解】因，所以，
故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为．
故选：B．
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的性质比较大小.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，所以．
故选：D．
6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数得，根据平移得，结合正弦函数的图象求其对称轴即可.
【详解】因，
将其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
令，解得.
结合选项可知D正确．
故选:D.
7. 已知正四棱台的上底面的四个顶点，，，都在圆锥SO的侧面上，下底面的四个顶点A，B，C，D都在圆锥SO的底面圆周上，且，，则圆锥SO的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】得到圆锥SO的轴截面，作出辅助线，求出正四棱台的高为，进而得到圆锥的高，结合底面半径，利用圆锥体积公式进行求解.
【详解】由已知点在圆锥的母线SA上，在正四棱台中，连接AC，，
下面图为圆锥SO的轴截面，
由，得，又，
所以在四边形中，过点作⊥于点，
则，由勾股定理得，
可得正四棱台的高为，
由可知，所以圆锥SO的高.
又圆锥底面半径，
所以圆锥SO的体积为.
故选：D.
8. 已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知的奇函数，推导出是周期函数，是的一个周期，进而可知也是周期函数，是的一个周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值.
【详解】根据题意，图象上的任意一点绕原点旋转后得到的点仍在的图象上，
联立消去得，所以是奇函数，
又因为函数的定义域为，故，
又，在该等式中，用替代可得，
故，因此，所以是周期函数，是的一个周期，
所以，
所以也是周期函数，是的一个周期．
又由可得，，
于是，，
，，
因为，故.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据幂函数、二次函数、绝对值函数的性质判断单调性.
【详解】因为在上单调递减，所以A错误；
在上单调递增，所以B正确；
在上单调递增，所以C正确；
在上单调递减，所以D错误．
故选：BC．
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若a，b都是非零实数，且，则
C. 若，则的最小值为5
D. 若x，y满足，则最大值为2
【答案】AB
【解析】
【分析】利用特殊值可判断A，利用作差法可判断B，根据基本不等式的灵活应用可判断C、D.
【详解】对于A，时，，所以A正确；
对于B，因为a，b都是非零实数，且，所以B正确；
对于C，由，
等号仅当即时等号成立，所以C错误；
对于D，因为，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最大值为，所以D错误．
故选：AB．
11. 已知锐角中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由题意得即可判断；对于B，由即可判断；对于C，由即可判断；对于D，举反例即可判断.
【详解】因为，所以，，
又，所以，A正确；
因为为锐角三角形，，
所以，所以，B错误；
因为，所以，C正确；
当，，时，，D错误
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法.
【答案】6
【解析】
【分析】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，然后列举所有的排列方法即可.
【详解】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，则排成的五位数有12543，13542，14532，23541，24531与34521这6个数．
故答案为：6
13. 若，则在“函数的定义域为R”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】记“函数的定义域为R”为事件A，“函数为奇函数”为事件B，求出，再结合条件概率公式求解即可.
【详解】有序实数对表示的所有结果有种情况，
记“函数的定义域为R”为事件A，
，即，
满足这个条件有，，，，，，，，共9种情况，
所以.
记“函数为奇函数”为事件B，
因为，，，
所以，或，
经检验此时为奇函数，满足或的有，，，共4种情况，
所以，
同时满足AB的有，，共3种情况，
所以，所以.
故答案为：.
14. 已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的65％分位数的最大值为______.
【答案】13
【解析】
【分析】设设，，，，，的平均值为m，方差为S，，，，的平均值为n，方差为T，由题意，根据分层抽样的方差公式并放缩得，说明时，满足的条件即可.
【详解】设这10个样本数据分别为，，…，，且.
因为％＝6.5，所以这10个数据的65％分位数为.
设，，，，，的平均值为m，方差为S，，，，的平均值为n，方差为T，
由题意知，，则；
，
所以，
整理得，解得，
进而，当且仅当时等号成立，
即，时，取到最大值13.
故答案为：13.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）用区间表示集合；
（2）若，求a，b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简再解分式不等式即可；
（2）根据交集得出集合间关系，再分分情况讨论列式求解.
【小问1详解】
由，有，解得或，
所以．
【小问2详解】
因为，所以，
不等式可化为．
时，则，解得但不满足，舍去，
时，因为但，不满足，舍去，
时，解得或，
因为，所以解得，
所以．
16. 已知．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意化简可得，再根据同角三角函数的关系求解即可；
（2）先求得，再根据正切函数值分析可得，进而可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
．
【小问2详解】
由，可得，
则，
因为，所以，又，则，
因为，又，则，
所以，所以．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）不能得出平面，添加条件，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先得到两个线线平行“，”，进而得到两个线面平行“平面，平面”，应用面面平行的判定定理问题得证；
（2）现有条件不能得出平面，考虑到条件“”，添加条件“”，应用线面垂直的判定定理即可得证.
【小问1详解】
因为，，为棱的中点
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，且，所以平面，
因为分别是，的中点，所以，
又平面，平面，且，所以平面，
因为平面，平面，，平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
利用题中条件不能得出平面，
添加条件，
证明如下：
因，，，平面，
所以平面．
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）若，求的值；
（2）若为锐角三角形，求证：；
（3）若的面积为，求边AB的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合已知得，结合平方关系、半角公式即可求解；
（2）由题意得，由乘1法即可求解；
（3）由题意得，求出的范围即可.
【小问1详解】
若，由正弦定理得，
又，所以，
又，解得或（舍），
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，所以，即，
所以，
又为锐角三角形，所以，
所以.
【小问3详解】
因为，由正弦定理得，
所以，
因为的面积
，
所以，
因为，且，
所以，所以，
所以当，即时，取得最小值，
即边AB的最小值为.
19. 六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品．
（1）若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率；
（2）若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车．
①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望；
②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率．
【答案】（1）
（2）①分布列见解析，；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用古典概率的计算公式求解；
（2）①的所有取值为1，2，3，4，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，求得期望；②由题两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况：第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车，第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车，第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车，分别求出其概率得解.
【小问1详解】
记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件，
则，
所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为.
【小问2详解】
①依题意，的所有取值为1，2，3，4，
，
的分布列为：
所以数学期望.
②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况：
（i）第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车，
其概率；
（ii）第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车，
其概率；
（iii）第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车，
其概率，
1
2
3
4