2026重庆市西南大学附中高三上学期10月月考试题数学含解析

这是一份2026重庆市西南大学附中高三上学期10月月考试题数学含解析，共21页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．试卷由 整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】因为集合，
所以.
故选：B
2. 是 的共轭复数，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意，，虚部为．
故选：C.
3. 已知向量，，若，则实数λ=（ ）
A. B. 3C. 5D.
【答案】D
【详解】向量，，则，
由，得，所以.
故选：D
4. 已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（ ）
A. 垂心B. 内心
C. 重心D. 外心
【答案】A
【详解】，，
，，，
是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心.
故选：A.
5. 记为等比数列前n项和．若则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，则，，
，，
，解得，，
，，
，
故选：D．
6. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令，则，则，
故，得，
因为为锐角，则，则.
故选：A
7. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【详解】令且定义域为R，则，
所以为偶函数，在上，
所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增，
由，则，且，则，
由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，

其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增，
显然时，
在上单调递增，则时恒成立，
在上单调递减，且，
所以使，
综上，与的交点横坐标有，即有3个零点.
故选：D
8. 已知数列{an}满足数列的前n项和，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】因为，
所以，
又，则，
所以是以3为首项，2为公比的等比数列.
于是，
因为，
所以，
又，
所以，
故选：A
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是（ ）

A. 的最小正周期为B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增D. 为偶函数
【答案】BC
【详解】由题意，，因，故得，故的最小正周期为，故A错误；
因图象在轴上的截距为，故① ，又函数图象过点，故② ，
由 ② 可得，因，则，代入① ，可得，
此时，，故B正确；
对于C，由可得，因在上单调递增，
则在区间上单调递增，故C正确；
对于D，记，
因而，故D错误.
故选：BC.
10. 若正数a，b，满足，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】ABD
【详解】对于A，正数a，b，满足，则，
当且仅当，结合，即时，等号成立，故，A正确；
对于B，正数a，b，满足，则，
当且仅当时，等号成立，
故，B正确；
对于C，表示的几何意义为点到点和的距离之和，
正数a，b，满足，设，
点和在直线的同侧，
则的最小值问题即为在线段上找一点到点和的距离之和最短；

设点和，设关于的对称点为，
则，解得，故，
则的最小值即为的长，为1，C错误；
对于D，因为正数a，b，满足，若，则，
设，
则令，，
则，
故在上单调递增，
故，即得，即，D正确，
故选：ABD
11. 在平面内，若有，则（ ）
A. 在上的投影向量为
B.
C. 的最小值
D. 若，则的取值范围
【答案】ACD
【详解】对于A，由，可得，
得在上的投影向量为，A正确；
对于B，不妨设，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
由于，可得，
设，则，
由，得，
即，即，
即的终点位于以为圆心，1为半径的圆上，
设D，则,
故，即，B错误；
对于C，由可知，即，
而，故的最小值为，C正确；
对于D，由，得，
故，可得，
而在圆上，设，
则，
当即时，取到最小值，
当即时，取到最大值，
故取值范围，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_____.
【答案】
【详解】因为为等差数列的前项和，且，，
所以可得，解得，
所以，，
设与的等比中项为，则，则，
所以与的等比中项为.
故答案为：
13. 已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是_____.
【答案】
【详解】由函数的值域为R，得的值域包含，
当时，不满足题意；
则函数二次函数，其图象开口向上，且与轴有公共点，
于是，解得，所以实数k的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数，，若恒成立，则的最大值为_____.
【答案】
【详解】由恒成立，则恒成立，
当时，恒成立，则需恒成立，不符和题意；
当时，此时与同号或其中至少一个为零，
令得，令得，
当时，，则需，即；
当时，，则需，即；
综上可得，故，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，即的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，点在曲线上且
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，记，求Sn
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【小问1详解】
因为点在曲线上，所以且 ，
所以，结合题设，故数列是首项、公差均为1的等差数列．
【小问2详解】
由（1）及，知，则．
因为 ，所以，则，
故．
16. 某“双一流”大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（资金3000元）、专业二等奖学金（奖金1500元）和专业三等奖学金（奖金600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图1是该校2022年500名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图，图2是这500名学生在2022年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图.

（1）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数.
（2）若将每周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，画出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关？
（3）若以频率作为概率，从该校任选1名学生，记该学生2022年获得的专业奖学金的金额为随机变量，求随机变量的分布列和期望.
附表：
观测值计算公式：.
【答案】（1）人
（2）列联表见解析，能；
（3）分布列见解析，期望为元.
【小问1详解】
由题图，专业三等奖学金频率为，
所以500名学生中获得专业三等奖学金的人数人；
【小问2详解】
非努力型学生人数为人，
其中获一、二等奖学金的人数为人，
所以努力型学生人数为人，其中获一、二等奖学金的人数为人，
综上，列联表如下：
，
所以依据小概率值的独立性检验，能认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关.
【小问3详解】
由题设，该学生2022年获得的专业奖学金的金额为，
，
，
，，
分布列如下：
元.
17. 已知点,都在双曲线上．
（1）求双曲线E的方程；
（2）过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于C，D两点，点Q在直线上，直线，，的斜率分别为，证明：成等差数列．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
点,在双曲线上，
，
双曲线方程：
小问2详解】
双曲线方程：,，
，，则，
过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于C，D两点，点Q在直线上，
①当过双曲线右焦点F的直线斜率存在时，令斜率为，则直线方程为，
设，示意图如下：
联立双曲线方程和直线方程得：，整理得：，
，，
，
，
令，代入化简得
，
令，代入并化简，
则
，
再代入可得：
，
，故成等差数列；
②当过点的直线垂直于轴（斜率不存在）时，示意图如下：
则过点的直线方程为，联立，解得，
，
设点，则，，，
，故成等差数列，
综上可得，成等差数列．
18. 如图所示，在四棱柱中，菱形与菱形的边长均为，且平面平面，,，为棱上的动点.
（1）若平面平面，求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角的正切值为?若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且点在靠近的三等分点上
【小问1详解】
在四棱柱中，平面平面，
由平面平面，平面平面，
则；
【小问2详解】
存在，且点在靠近的三等分点上，理由如下：
取中点，连接、，
由，，，
由余弦定理得，
则，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，故，
由，则，
有，则，
故、、两两垂直，则可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、，
则，，，
设，，则，
则，
由轴平面，则平面的法向量可为，
设平面的法向量为，
则有，取，则，，
故平面的法向量可为，
设平面与平面所成的角为，则，
则，
则，
化简得，解得或，
又，则，故点在靠近的三等分点上.
19. 设函数
（1）当a=1时，求f（x）的极值;
（2）当时，试比较与的大小，并说明理由；
（3）证明:
【答案】（1）极小值为，无极大值；
（2），理由见解析；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值.
【小问2详解】
当时，，
所以.
令，
则，
所以在单调递增，又时，，
所以时，，即.
【小问3详解】
先证明一个比原不等式略强的不等式：
因为，所以即证
证明如下：（1）当时，左边，右边， 成立；
（2）假设当时不等式成立，
即，
则当时，
由（2），
所以，
所以，
即当时不等式成立.
综上可知，
所以0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
非努力型
努力型
专业一、二等奖学金
92
36
128
非专业一、二等奖学金
348
24
372
440
60
500
0
600
1500
3000
0.424
0.32
0.198
0.058