四川省阿坝藏族羌族自治州黑水县2025届中考数学模拟精编试卷含解析

这是一份四川省阿坝藏族羌族自治州黑水县2025届中考数学模拟精编试卷含解析，共26页。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣2
4．已知二次函数y=x2 + bx +c 的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P，若S△APB=1，则b与c满足的关系是（ ）
A．b2 -4c +1=0B．b2 -4c -1=0C．b2 -4c +4 =0D．b2 -4c -4=0
5．已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，1，85，1．关于这组数据说法错误的是（ ）
A．极差是20B．中位数是91C．众数是1D．平均数是91
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（ ）
A．B．C．D．
9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是的直径，是的弦，连接，，，则与的数量关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为
A．B．3C．1D．
12．一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（ ）
A．4B．5C．10D．11
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为_____．
14．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝40°，EF平分∠AED交AB于点F，则∠AFE＝___度.
15．若分式的值为正数，则x的取值范围_____．
16．如图，矩形ABCD，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得矩形AEFG，连接CG、EG，则∠CGE=________．
17．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是____．
18．在直角坐标系中，坐标轴上到点P（﹣3，﹣4）的距离等于5的点的坐标是 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，3），B（﹣2，﹣3）两点．
（1）C（4，32），D（4，22），E（4，12）三点中，点 是点A，B关于直线x=4的等角点；
（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tanα2=n2；
（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．
20．（6分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围．
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式.
21．（6分）如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：AF+AE=2AD．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出时，的取值范围；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（8分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．
24．（10分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与 x轴交于 A，B 两（点 A 在点 B 左侧）．
（1）当抛物线过原点时，求实数 a 的值；
（2）①求抛物线的对称轴；
②求抛物线的顶点的纵坐标（用含 a 的代数式表示）；
（3）当 AB≤4 时，求实数 a 的取值范围．
25．（10分）在矩形ABCD中，两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=2，求AD的长．
26．（12分）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后， 能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
27．（12分）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解析】
设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．
【详解】
设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，由题意得：．
故选B．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
2、B
【解析】
连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】
解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，
∴OA＝OD＝2，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠D＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，
∴ 的长＝＝；
故选B．
本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．
3、C
【解析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：根据有理数比较大小的方法，可得
-2＜-1＜1＜1，
∴在1、-1、1、-2这四个数中，最大的数是1．
故选C．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
4、D
【解析】
抛物线的顶点坐标为P（−，），设A 、B两点的坐标为A（，0）、B（，0）则AB＝，根据根与系数的关系把AB的长度用b、c表示，而S△APB＝1，然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式．
【详解】
解：∵，
∴AB＝＝，
∵若S△APB＝1
∴S△APB＝×AB× ＝1，

∴−××，
∴，
设＝s，
则，
故s＝2，
∴＝2，
∴．
故选D．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性比较强．
5、B
【解析】
根据一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，进行解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大，
∴它的图象经过一、三、四象限，
∴不经过第二象限，
故选：B．
本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.
6、D
【解析】
试题分析：因为极差为：1﹣78=20,所以A选项正确;
从小到大排列为：78,85,91,1,1，中位数为91，所以B选项正确；
因为1出现了两次,最多,所以众数是1，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误.
故选D．
考点：①众数②中位数③平均数④极差.
7、C
【解析】
作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，
设D(x，)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB(AAS)，
∴AG＝DH＝﹣x﹣1，
∴DG＝BM，
∵GQ＝1，DQ＝﹣，DH＝AG＝﹣x﹣1，
由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣＝﹣1﹣x﹣，
解得x＝﹣2，
∴D(﹣2，﹣3)，CH＝DG＝BM＝1﹣＝4，
∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为﹣4，
当y＝﹣4时，x＝﹣，
∴E(﹣，﹣4)，
∴EH＝2﹣＝，
∴CE＝CH﹣HE＝4﹣＝，
∴S△CEB＝CE•BM＝××4＝7；
故选C．
考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．
8、D
【解析】
根据展开图中四个面上的图案结合各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可.
【详解】
A. 因为A选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点不在阴影三角形的边上,与展开图不一致,故不可能是A:
B. 因为B选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点不在阴影三角形的边上，与展开图不一致,故不可能是B ;
C .因为C选项中的几何体能够看见的三个面上都没有阴影图家,而展开图中有四个面上有阴影图室，所以不可能是C.
D. 因为D选项中的几何体展开后有可能得到如图所示的展开图,所以可能是D ;
故选D.
本题考查了学生的空间想象能力, 解决本题的关键突破口是掌握正方体的展开图特征.
9、A
【解析】
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选A．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10、C
【解析】
首先根据圆周角定理可知∠B=∠C，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果.
【详解】
解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠B=90°.
∵∠B=∠C，
∴∠DAB+∠C=90°.
故选C.
本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.
11、A
【解析】
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】
∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
12、B
【解析】
试题分析：（4+x+3+30+33）÷3=7，
解得：x=3，
根据众数的定义可得这组数据的众数是3．
故选B．
考点：3．众数；3．算术平均数．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、1．
【解析】
根据立体图形画出它的主视图，再求出面积即可．
【详解】
主视图如图所示，
∵主视图是由1个棱长均为1的正方体组成的几何体，
∴主视图的面积为1×12=1.
故答案为：1．
本题是简单组合体的三视图，主要考查了立体图的左视图，解本题的关键是画出它的左视图．
14、70°.
【解析】
由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数.
【详解】
∵∠AEC＝40°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝140°，
∵EF平分∠AED，
∴，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝70°.
故答案为：70
本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义.熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键.
15、x>1
【解析】
试题解析：由题意得：
＞0，
∵-6＜0，
∴1-x＜0，
∴x＞1．
16、45°
【解析】
试题解析：
如图，连接CE，
∵AB=2，BC=1，
∴DE=EF=1，CD=GF=2，
在△CDE和△GFE中
∴△CDE≌△GFE(SAS)，
∴CE=GE，∠CED=∠GEF，
故答案为
17、1．
【解析】
寻找规律：
上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，；
右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：
（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…
∴a=（36－6）2=1．
18、（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）
【解析】
由P（﹣3，﹣4）可知，P到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点分别与x轴、y轴交于另外一点，共有三个．
【详解】
解：∵P（﹣3，﹣4）到原点距离为5，
而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点且分别交x轴、y轴于另外两点（如图所示），
∴故坐标轴上到P点距离等于5的点有三个：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．
故答案是：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）C（2）n2（3）b＜﹣735且b≠﹣23或b＞73
【解析】
（1）先求出B关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，根据对称性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例可得m=23n
根据外角性质可知∠A=∠A′=α2，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q
根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.
【详解】
（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣3），
∴直线AB′解析式为：y=﹣34x+332，
当x=4时，y=32，
故答案为：C
（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P
作BH⊥l于点H
∵点A和A′关于直线l对称
∴∠APG=∠A′PG
∵∠BPH=∠A′PG
∴∠APG=∠BPH
∵∠AGP=∠BHP=90°
∴△AGP∽△BHP
∴AGBH=GPHP，即m-2m+2=3-nn+3，
∴mn=23，即m=23n，
∵∠APB=α，AP=AP′，
∴∠A=∠A′=α2，
在Rt△AGP中，tanα2 =PGAG=3-nm-2=n2
（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，
点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q
由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，
又∠APB=60°
∴∠APQ=∠A′PQ=60°
∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°
∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ
∴△ABQ是等边三角形
∵线段AB为定线段
∴点Q为定点
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合
∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q
连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N
∵A（2，3），B（﹣2，﹣3）
∴OA=OB=7
∵△ABQ是等边三角形
∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=3OB=21，
∴∠AOM+∠NOD=90°
又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO
∵∠AMO=∠ONQ=90°
∴△AMO∽△ONQ
∴AMON=MONQ=AOOQ,
∴20N=3NQ=721，
∴ON=23，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣23）
设直线BQ解析式为y=kx+b
将B、Q坐标代入得
-3=-2k+b-23=3k+b ，
解得
k=-35b=-735 ，
∴直线BQ的解析式为：y=﹣35x-735，
设直线AQ的解析式为：y=mx+n，
将A、Q两点代入3=2m+n-23=3m+n，
解得m=-33n=73 ，
∴直线AQ的解析式为：y=﹣33x+73，
若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣735，
若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=73，
又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方，
∴b＜﹣735 且b≠﹣23或b＞73.
本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.
20、（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）①，②．
【解析】
（1）根据题意应用分式方程即可；
（2）①根据条件中可以列出关于m的不等式组，求m的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y与m的函数关系，通过讨论所含字母n的取值范围，得到w与n的函数关系．
【详解】
（1）设型丝绸的进价为元，则型丝绸的进价为元,
根据题意得：，
解得，
经检验，为原方程的解，
，
答：一件型、型丝绸的进价分别为500元，400元．
（2）①根据题意得：
，
的取值范围为：，
②设销售这批丝绸的利润为，
根据题意得：
，
，
（Ⅰ）当时，，
时，
销售这批丝绸的最大利润；
（Ⅱ）当时，，
销售这批丝绸的最大利润；
（Ⅲ）当时，
当时，
销售这批丝绸的最大利润．
综上所述：．
本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．
21、证明见解析.
【解析】
由题意易用角角边证明△BDE≌△CDF，得到DF=DE，再用等量代换的思想用含有AE和AF的等式表示AD的长．
【详解】
证明：∵CF⊥AD于，BE⊥AD，
∴BE∥CF，∠EBD=∠FCD，
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴在△BED与△CFD中，
，
∴△△BED≌△CFD（AAS）
∴ED=FD，
又∵AD=AF+DF①，
AD=AE-DE②，
由①+②得：AF+AE=2AD.
该题考察了三角形全等的证明，利用全等三角形的性质进行对应边的转化．
22、（1）； ；（2）或；（3）存在，或或或．
【解析】
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用图象直接得出结论；
（3）分、、三种情况讨论，即可得出结论．
【详解】
（1）一次函数与反比例函数，相交于点，，
∴把代入得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把，代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）根据函数图像可知：
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当或时，；
（3）存在或或或时，为等腰三角形，理由如下：
过作轴，交轴于，
∵直线与轴交于点，
∴令得，，
∴点A的坐标为，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标为，
∴，
①当时，则，
，
∴点P的坐标为：、；
②当时，
是等腰三角形，，
平分，
，
∵点D的坐标为，
∴点P的坐标为，即；
③当时，如图：
设，
则，
在中，，，，
由勾股定理得：
，
，
解得：，
，
∴点P的坐标为，即，
综上所述，当或或或时，为等腰三角形．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，等腰三角形的性质，勾股定理，解（1）的关键是待定系数法的应用，解（2）的关键是利用函数图象确定x的范围，解（3）的关键是分类讨论．
23、小船到B码头的距离是10海里，A、B两个码头间的距离是（10+10）海里
【解析】
试题分析：过P作PM⊥AB于M，求出∠PBM=45°，∠PAM=30°，求出PM，即可求出BM、AM、BP．
试题解析：如图：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20，∴PM=AP=10，AM=PM=，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10，AB=AM+MB=，∴BP==，即小船到B码头的距离是海里，A、B两个码头间的距离是（）海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
24、（1）a=；（2）①x=2；②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；（3）a 的范围为 a＜﹣2 或 a≥．
【解析】
（1）把原点坐标代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2即可求得a的值；（2）①②把抛物线解析式配成顶点式，即可得到抛物线的对称轴和抛物线的顶点的纵坐标；（3）设 A（m，1），B（n，1），利用抛物线与 x 轴的交点问题，则 m、n 为方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=1 的两根，利用判别式的意义解得 a＞1 或 a＜﹣2，再利用根与系数的关系得到 m+n=4，mn= ，然后根据完全平方公式利用 n﹣m≤4 得到（m+n）2﹣4mn≤16，所以 42﹣4•≤16，接着解关于a 的不等式，最后确定a的范围．
【详解】
（1）把（1，1）代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2 得 3a﹣2=1，解得 a=；
（2）①y=a（x﹣2）2﹣a﹣2， 抛物线的对称轴为直线 x=2；
②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；
（3）设 A（m，1），B（n，1），
∵m、n 为方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=1 的两根，
∴△=16a2﹣4a（3a﹣2）＞1，解得 a＞1 或 a＜﹣2，
∴m+n=4，mn=， 而 n﹣m≤4，
∴（n﹣m）2≤16，即（m+n）2﹣4mn≤16，
∴42﹣4• ≤16，
即≥1，解得 a≥或 a＜1．
∴a 的范围为 a＜﹣2 或 a≥．
本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠1）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
25、
【解析】
试题分析：
由矩形的对角线相等且互相平分可得：OA=OB=OD，再由∠AOB=60°可得△AOB是等边三角形，从而得到OB=OA=2，则BD=4，最后在Rt△ABD中，由勾股定理可解得AD的长.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OD，∠BAD=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=2，
∴BD=2OB=4，
在Rt△ABD中
∴AD===.
26、 (1)见解析；(2) 201，207，1
【解析】
试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．
试题解析：
（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x，
∴这个两位自然数是12x能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，
而203，205，209不能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，1，257，259，
而251，257，259不能被3整除，
∴这个三位自然数为1，
即这个三位自然数为201，207，1．
【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．
27、（1）2400个， 10天；（2）1人．
【解析】
（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程，解出x即为原计划每天生产的零件个数，再代入即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数．
【详解】
解：（1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得，
，
解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．
答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．
（2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，
[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000,
解得，y=1．
经检验，y=1是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为1人．
本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验．