福建省莆田市2024-2025学年中考数学四模试卷含解析

这是一份福建省莆田市2024-2025学年中考数学四模试卷含解析，共19页。试卷主要包含了计算4+，－3的相反数是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB，若DE∥BC，四边形D'E'CB各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE应是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为（ ）
A．B．C．5csαD．
3．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（ ）
A．S的值增大B．S的值减小
C．S的值先增大，后减小D．S的值不变
4．有若干个完全相同的小正方体堆成一个如图所示几何体，若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加小正方体的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（ ）
A．6.7×106 B．6.7×10﹣6 C．6.7×105 D．0.67×107
6．计算4+（﹣2）2×5=（ ）
A．﹣16 B．16 C．20 D．24
7．如图，这是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．8，9B．8，8.5C．16，8.5D．16，10.5
8．天气越来越热，为防止流行病传播，学校决定用420元购买某种牌子的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为( )
A．-=20B．-=20
C．-=20D．
9．－3的相反数是( )
A．B．3C．D．－3
10．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．60°C．120°D．150°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADC=4，反比例函数y=（x＞0）的图像经过点E， 则k=_______ 。
13．化简： =____．
14．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．
15．如图，五边形是正五边形，若，则__________．
16．春节期间，《中国诗词大会)节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光.甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tanA＝2cs∠BCD，
(1)求证：BC＝2AD；
(2)若csB＝，AB＝10，求CD的长.
18．（8分）嘉淇在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：（﹣7）0+|1﹣|+（）﹣1﹣□+（﹣1）2018，经询问，王老师告诉题目的正确答案是1．
（1）求被覆盖的这个数是多少？
（2）若这个数恰好等于2tan（α﹣15）°，其中α为三角形一内角，求α的值．
19．（8分）如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；若∠BAC=90°，求证：BF1+CD1=FD1．
20．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，求点B到地面的距离；求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）
21．（8分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．
22．（10分）主题班会上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：
A．放下自我，彼此尊重； B．放下利益，彼此平衡；
C．放下性格，彼此成就； D．合理竞争，合作双赢．
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟．根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加本次讨论的学生共有 人；表中a＝ ，b＝ ；
（2）在扇形统计图中，求D所在扇形的圆心角的度数；
（3）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．
23．（12分）已知，抛物线的顶点为，它与轴交于点，（点在点左侧）．
（）求点、点的坐标；
（）将这个抛物线的图象沿轴翻折，得到一个新抛物线，这个新抛物线与直线交于点．
①求证：点是这个新抛物线与直线的唯一交点；
②将新抛物线位于轴上方的部分记为，将图象以每秒个单位的速度向右平移，同时也将直线以每秒个单位的速度向上平移，记运动时间为，请直接写出图象与直线有公共点时运动时间的范围．
24．“十九大”报告提出了我国将加大治理环境污染的力度，还我青山绿水，其中雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在全校学生中抽取400名同学做了一次调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的一种统计图表．
对雾霾了解程度的统计表
请结合统计图表，回答下列问题：统计表中：m＝ ，n＝ ；请在图1中补全条形统计图；请问在图2所示的扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是多少度？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
利用相似三角形的性质即可判断．
【详解】
设AD＝x，AE＝y，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝9，y＝12，
故选：C．
考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2、D
【解析】
利用所给的角的余弦值求解即可．
【详解】
∵BC=5米，∠CBA=∠α，∴AB==．
故选D．
本题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．
3、D
【解析】
作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=|k|，所以S=2k，为定值．
【详解】
作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．
∵S△POB=|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．
故选D．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4、C
【解析】
若要保持俯视图和左视图不变，可以往第2排右侧正方体上添加1个，往第3排中间正方体上添加2个、右侧两个正方体上再添加1个，
即一共添加4个小正方体，
故选C．
5、A
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：6 700 000=6.7×106，
故选：A
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6、D
【解析】分析：根据有理数的乘方、乘法和加法可以解答本题．
详解：4+（﹣2）2×5
=4+4×5
=4+20
=24，
故选：D．
点睛：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．
7、A
【解析】
根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【详解】
解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20，21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9.
故选A．
考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
8、C
【解析】
关键描述语是：“结果比用原价多买了1瓶”；等量关系为：原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=1．
【详解】
原价买可买瓶，经过还价，可买瓶．方程可表示为：﹣=1．
故选C．
考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化．
9、B
【解析】
根据相反数的定义与方法解答.
【详解】
解：－3的相反数为.
故选：B.
本题考查相反数的定义与求法，熟练掌握方法是关键.
10、C
【解析】
如图：
∵∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
又∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=120°，
故选C.
点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.
【详解】
解：如图，连接、，作于；
则，
∵六边形正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
故答案为．
本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.
12、8
【解析】
设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，则AB=OB=m，DE=EF=OF=n，BF=OB+OF=m+n，然后根据S△ADF=S梯形ABOD+S△DOF-S△ABF=4，得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后根据系数k的几何意义求得即可．
【详解】
设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，则AB=OB=m，DE=EF=OF=n，
∴BF=OB+OF=m+n，
，
∴=8，
∵点E(n.n)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k==8，
故答案为8.
本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.
13、
【解析】
先利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．
【详解】
原式，
故答案为
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14、3-13π
【解析】
过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=1，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=1．
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=4×1-30×π×22360-12×2×1=3-13π.
故答案为：3-13π.
15、72
【解析】
分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为：72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
16、
【解析】
用列举法或者树状图法解答即可.
【详解】
解：如图，
由图可得，甲乙两人选取的诗句恰好相同的概率为.
故答案为：.
本题考查用树状图法或者列表法求随机事件的概率，熟练掌握两种解答方法是关键.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）证明见解析；（2）CD＝2.
【解析】
（1）根据三角函数的概念可知tanA＝，cs∠BCD＝，根据tanA＝2cs∠BCD即可得结论；（2）由∠B的余弦值和（1）的结论即可求得BD，利用勾股定理求得CD即可．
【详解】
(1)∵tanA＝，cs∠BCD＝，tanA＝2cs∠BCD，
∴＝2·，
∴BC＝2AD.
(2)∵csB＝＝，BC＝2AD，
∴＝.
∵AB＝10，∴AD＝×10＝4，BD＝10－4＝6，
∴BC＝8，∴CD＝＝2.
本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算.熟练掌握三角函数的概念是解题关键.
18、（1）2；（2）α＝75°．
【解析】
（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【详解】
解：（1）原式＝1+﹣1+﹣□+1＝1，
∴□＝1+﹣1++1﹣1＝2；
（2）∵α为三角形一内角，
∴0°＜α＜180°，
∴﹣15°＜（α﹣15）°＜165°，
∵2tan（α﹣15）°＝，
∴α﹣15°＝60°，
∴α＝75°．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19、（1）CD=BE，理由见解析；（1）证明见解析.
【解析】
（1）由两个三角形为等腰三角形可得AB＝AC，AE＝AD，由∠BAC＝∠EAD可得∠EAB＝∠CAD，根据“SAS”可证得△EAB≌△CAD，即可得出结论；
（1）根据（1）中结论和等腰直角三角形的性质得出∠EBF＝90°，在Rt△EBF中由勾股定理得出BF1＋BE1＝EF1，然后证得EF＝FD，BE＝CD，等量代换即可得出结论．
【详解】
解：（1）CD＝BE，理由如下：
∵△ABC和△ADE为等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠CAD，
在△EAB与△CAD中，
∴△EAB≌△CAD，
∴BE＝CD；
（1）∵∠BAC＝90°，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ABF＝∠C＝45°，
∵△EAB≌△CAD，
∴∠EBA＝∠C，
∴∠EBA＝45°，
∴∠EBF＝90°，
在Rt△BFE中，BF1＋BE1＝EF1，
∵AF平分DE，AE＝AD，
∴AF垂直平分DE，
∴EF＝FD，
由（1）可知，BE＝CD，
∴BF1＋CD1＝FD1．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合题意寻找出三角形全等的条件是解决此题的关键．
20、（1）2；（2）宣传牌CD高（20﹣1）m．
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH==i==．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×=2；
（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cs∠BAH=1．cs30°=2．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，得到DE=12，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=2+12，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=12﹣2．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，求得∠C=∠CBF=42°，得出CF=BF=2+12，即可求得结果．
试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH==i==，∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×=2．
答：点B距水平面AE的高度BH是2米；
（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cs∠BAH=1．cs30°=2．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，∴DE=12，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=2+12，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=12﹣2．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，∴∠C=∠CBF=42°，∴CF=BF=2+12，∴CD=CF﹣DF=2+12﹣（12﹣2）=20﹣1（米）．答：广告牌CD的高度约为（20﹣1）米．
21、 (1)见解析；（2）2
【解析】
(1) 方法一: 连接AC, 利用角平分线判定定理, 证明DA=DC即可;
方法二: 只要证明△AEB≌△AFD. 可得AB=AD即可解决问题；
(2) 在Rt△ACF, 根据AF=CF·tan∠ACF计算即可.
【详解】
（1）证法一：连接AC，如图．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，
∴∠ACF=∠ACE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形．
证法二：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
又∵AE=AF，
∴△AEB≌△AFD．
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接AC，如图．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，
∴∠ECF=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACF=60°，
在Rt△CFA中，AF=CF•tan∠ACF=2．
本题主要考查三角形的性质及三角函数的相关知识，充分利用已知条件灵活运用各种方法求解可得到答案。
22、（1）50、10、0.16；（2）144°；（3）.
【解析】
（1）由B观点的人数和所占的频率即可求出总人数；由总人数即可求出a、b的值，
（2）用360°乘以D观点的频率即可得；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解
【详解】
解：（1）参加本次讨论的学生共有12÷0.24=50，
则a=50×0.2=10，b=8÷50=0.16，
故答案为50、10、0.16；
（2）D所在扇形的圆心角的度数为360°×0.4=144°；
（3）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种，
所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率为．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）B（－3,0），C（1,0）；（2）①见解析；②≤t≤6.
【解析】
(1)根据抛物线的顶点坐标列方程，即可求得抛物线的解析式，令y＝0，即可得解；
(2)①根据翻折的性质写出翻折后的抛物线的解析式，与直线方程联立,求得交点坐标即可；
②当t＝0时，直线与抛物线只有一个交点N(3,－6)(相切)，此时直线与G无交点;第一个交点出现时，直线过点C(1 ＋t,0)，代入直线解析式:y＝－4x＋6＋t,解得t＝;最后一个交点是B(－3＋t,0)，代入y＝－4x＋6＋t,解得t＝6，所以≤t≤6.
【详解】
（1）因为抛物线的顶点为M（－1，－2），所以对称轴为x＝－1，可得：，解得：a＝，c＝，所以抛物线解析式为y＝x2＋x，令y＝0，解得x＝1或x＝－3，所以B（－3,0），C（1,0）；
（2）①翻折后的解析式为y＝－x2－x，与直线y＝－4x＋6联立可得：x2－3x＋＝0，解得：x1＝x2＝3，所以该一元二次方程只有一个根，所以点N（3，－6）是唯一的交点；
②≤t≤6.
本题主要考查了图形运动，解本题的要点在于熟知一元二次方程的相关知识点.
24、（1）20；15%；35%；（2）见解析;（3）126°．
【解析】
（1）根据被调查学生总人数，用B的人数除以被调查的学生总人数计算即可求出m，再根据各部分的百分比的和等于1计算即可求出n；
（2）求出D的学生人数，然后补全统计图即可；
（3）用D的百分比乘360°计算即可得解．
【详解】
解：（1）非常了解的人数为20，
60÷400×100%=15%，
1﹣5%﹣15%﹣45%=35%，
故答案为20；15%；35%；
（2）∵D等级的人数为：400×35%=140，
∴补全条形统计图如图所示：
（3）D部分扇形所对应的圆心角：360°×35%=126°．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小
观点
频数
频率
A
a
0.2
B
12
0.24
C
8
b
D
20
0.4
对雾霾的了解程度
百分比
A．非常了解
5%
B．比较了解
m
C．基本了解
45%
D．不了解
n