2025-2026学年河南省百师联盟高二（上）联考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省百师联盟高二（上）联考数学试卷（9月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l的斜率为2，且过点(2,0)，则直线l的方程为( )
A. 2x−y+4=0B. 2x−y−4=0C. 2x+y+4=0D. 2x+y−4=0
2.设直线的倾斜角为α，斜率为k.若k≥− 33，则α的取值范围是( )
A. [5π6,π)B. [0,π2)C. [0,π2)∪[5π6,π)D. [0,π2)∪(π2,5π6]
3.若方程x2+y2−8x+6y+m=0表示圆，则实数m的值可以为( )
A. 29B. 25C. 16D. 41
4.已知椭圆C：x28+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为( )
A. 4 2B. 2 2C. 2 6D. 6 2
5.已知实数x，y满足(x+2)2+y2=4，则4x+3y的取值范围为( )
A. [−18,2]B. [−2,18]C. [−10,10]D. [−10,−6]
6.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上，且∠F1PF2为直角.若3|PF2|=4|PF1|，则椭圆C的离心率是( )
A. 35B. 57C. 45D. 47
7.已知直线3x−4y+2=0与圆M：x2+y2+2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x+1)2+(y−1)2=54的位置关系是( )
A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离
8.已知点M(1,−1)，N(1,2)，且点P在直线l：4x+3y−12=0上，则下列说法错误的是( )
A. 存在点P，使得PM⊥PNB. 存在点P，使得|PM|=2|PN|
C. |OP|(O为坐标原点)的最小值为125D. |PM|+|PN|的最小值为3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值可能是( )
A. −1B. 0C. −23D. 1
10.已知圆C：x2+y2−4x+8y−5=0和直线l：y=2x+b，则下列说法正确的有( )
A. 当b=−3时，直线l被圆C截得的弦长为4 5
B. 当b=−3时，圆C上到直线l的距离为2的点有4个
C. 若直线l与圆C有公共点，则实数b的取值范围为(−5 5−8,5 5−8)
D. 存在实数b，使得直线l与圆C相切
11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0,b≠c)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上.若△POF2是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率可能是( )
A. 22B. 5−12C. 2−1D. 3− 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的一个法向量为l=(2,1)且过点(3,−2)，则直线l的一般式方程为______．
13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P在直线2x+y+10=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为______．
14.圆D经过点A(16,0)，且与圆C：x2+y2+8x−6y=0相切于坐标原点O，则圆D的标准方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：kx−y+3−2k=0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第三象限，求k的取值范围；
(2)已知P(−3,8)，若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．
16.(本小题15分)
根据下列条件求椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，过点(1,32)，离心率e=12；
(2)一个焦点为(1,0)，过点( 303,2 33)；
(3)短轴长为2，离心率e= 32．
17.(本小题15分)
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
18.(本小题17分)
已知△ABC的三个顶点分别是A(2,3)，B(1,2)，C(4,−4)．
(1)求边BC上的高线AD所在直线的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(3)求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
已知点P(−2,−3)和以点Q为圆心的圆(x−4)2+(y−2)2=9．
(1)设倾斜角为π4的直线MP与圆Q交于A，B两点，求弦AB的长；
(2)设以PQ为直径的圆为圆N，求圆N的方程；
(3)设圆Q与圆N相交于C，D两点，直线PC，PD是圆Q的切线吗？为什么？
(4)求直线CD的方程．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.A
6.B
7.A
8.D
9.AC
10.ABD
11.BD
12.2x+y−4=0
13.8
14.(x−8)2+(y+6)2=100
15.(1)已知直线l：kx−y+3−2k=0(k∈R)，
直线l的方程为可化为y=k(x−2)+3，因此直线l恒过定点Q(2,3)，
由直线l不经过第三象限，得k≤0，所以k的取值范围是(−∞,0]；
(2)已知P(−3,8)，点P到直线l的距离为d，
由(1)知直线l恒过定点Q(2,3)，当且仅当PQ⊥l时，d取得最大值，
直线PQ的斜率kPQ=8−3−3−2=−1，此时直线l的斜率k=1，
直线l的方程为x−y+3−2=0，即x−y+1=0，
所以当d最大时直线l的一般式方程为x−y+1=0．
16.(1)因为椭圆的焦点在x轴上，可设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
因为椭圆过点(1,32)，离心率e=12，
则有1a2+94b2=1ba= 1−e2= 32，
解得a2=4，b2=3，
故椭圆的标准方程为x24+y23=1；
(2)由已知，c=1，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由点( 303,2 33)在椭圆上，代入可得103a2+43b2=1，
又a2=b2+1，联立解得a2=5，b2=4，
故椭圆的标准方程为x25+y24=1；
(3)由题意知e=ca= 1−(ba)2= 32，2b=2，联立解得b=1，a=2，
故当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y24+x2=1；
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x24+y2=1，
故椭圆的标准方程为x24+y2=1或y24+x2=1．
17.解：以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=202①
轮船航线所在直线l的方程为x40+y30=1，即3x+4y−120=0②
如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向．
由于圆心O(0,0)到直线l的距离d=120 32+42=24>20，
所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船没有触礁危险．
18.(1)由B(1,2)，C(4,−4)，得直线BC的斜率为−4−24−1=−2，
因为AD是边BC上的高线，
所以直线AD的斜率为12，
而A(2,3)，
所以直线AD的方程为y−3=12(x−2)，即x−2y+4=0．
(2)由点A、C到直线l的距离相等，得直线l与边AC所在的直线平行或过边AC的中点，
①当直线l与直线AC平行时，由A(2,3)，C(4,−4)，知直线AC的斜率为−4−34−2=−72，
所以直线l的斜率为−72，
而直线l过点B(1,2)，
所以直线l的方程为y−2=−72(x−1)，即7x+2y−11=0；
②当直线l过边AC的中点时，由A(2,3)，C(4,−4)，得边AC的中点为(3,−12)，
又B(1,2)，所以直线l的斜率为−12−23−1=−54，
所以直线l的方程为y−2=−54(x−1)，即5x+4y−13=0，
综上所述，直线l的方程为7x+2y−11=0或5x+4y−13=0．
(3)由点B(1,2)，C(4,−4)，得|BC|=3 5，
由(1)知直线BC的斜率为−2，
所以直线BC的方程为y−2=−2(x−1)，即2x+y−4=0，
所以点A(2,3)到直线BC的距离ℎ=|2×2+3−4| 22+12=3 55，
所以△ABC的面积S=12|BC|⋅ℎ=12×3 5×3 55=92．
19.(1)已知点P(−2,−3)和以点Q为圆心的圆(x−4)2+(y−2)2=9，
因为直线MP的倾斜角为π4，所以直线MP的斜率为tanπ4=1，
因为P(−2,−3)，所以直线MP的方程为y−(−3)=x−(−2)，即x−y−1=0，
由圆Q的方程(x−4)2+(y−2)2=9，知圆心Q(4,2)，半径r=3，
根据点到直线的距离公式可得圆心Q到直线MP的距离d=|4−2−1| 12+(−1)2= 22，
所以|AB|=2 r2−d2=2 9−( 22)2= 34；
(2)设以PQ为直径的圆为圆N，
因为P(−2,−3)，Q(4,2)，所以N(1,−12)，
圆N的半径|QN|= (1−4)2+(−12−2)2= 612，
所以圆N的方程为(x−1)2+(y+12)2=614；
(3)直线PC，PD是圆Q的切线，
因为PQ是圆N的直径，点C，D是圆N上的两点，所以∠PCQ=∠PDQ=π2，
因为点C，D是圆Q上的两点，所以直线PC，PD是圆Q的切线；
(4)因为圆Q的方程为(x−4)2+(y−2)2=9，即x2+y2−8x−4y+11=0①，
圆N的方程为(x−1)2+(y+12)2=614，即x2+y2−2x+y−14=0②，
②−①，得6x+5y−25=0，
且Q与圆N相交，所以直线CD的方程为6x+5y−25=0．