2025-2026学年河南省百师联盟高二（上）联考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2025-2026学年河南省百师联盟高二（上）联考数学试卷（9月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l的斜率为2，且过点(2,0)，则直线l的方程为( )
A. 2x−y+4=0B. 2x−y−4=0C. 2x+y+4=0D. 2x+y−4=0
2.设直线的倾斜角为α，斜率为k.若k≥− 33，则α的取值范围是( )
A. [5π6,π)B. [0,π2)C. [0,π2)∪[5π6,π)D. [0,π2)∪(π2,5π6]
3.若方程x2+y2−8x+6y+m=0表示圆，则实数m的值可以为( )
A. 29B. 25C. 16D. 41
4.已知椭圆C：x28+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则△PF1F2的周长为( )
A. 4 2B. 2 2C. 2 6D. 6 2
5.已知实数x，y满足(x+2)2+y2=4，则4x+3y的取值范围为( )
A. [−18,2]B. [−2,18]C. [−10,10]D. [−10,−6]
6.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上，且∠F1PF2为直角.若3|PF2|=4|PF1|，则椭圆C的离心率是( )
A. 35B. 57C. 45D. 47
7.已知直线3x−4y+2=0与圆M：x2+y2+2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x+1)2+(y−1)2=54的位置关系是( )
A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离
8.已知点M(1,−1)，N(1,2)，且点P在直线l：4x+3y−12=0上，则下列说法错误的是( )
A. 存在点P，使得PM⊥PNB. 存在点P，使得|PM|=2|PN|
C. |OP|(O为坐标原点)的最小值为125D. |PM|+|PN|的最小值为3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值可能是( )
A. −1B. 0C. −23D. 1
10.已知圆C：x2+y2−4x+8y−5=0和直线l：y=2x+b，则下列说法正确的有( )
A. 当b=−3时，直线l被圆C截得的弦长为4 5
B. 当b=−3时，圆C上到直线l的距离为2的点有4个
C. 若直线l与圆C有公共点，则实数b的取值范围为(−5 5−8,5 5−8)
D. 存在实数b，使得直线l与圆C相切
11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0,b≠c)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上.若△POF2是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率可能是( )
A. 22B. 5−12C. 2−1D. 3− 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的一个法向量为l=(2,1)且过点(3,−2)，则直线l的一般式方程为______．
13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P在直线2x+y+10=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为______．
14.圆D经过点A(16,0)，且与圆C：x2+y2+8x−6y=0相切于坐标原点O，则圆D的标准方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：kx−y+3−2k=0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第三象限，求k的取值范围；
(2)已知P(−3,8)，若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程．
16.(本小题15分)
根据下列条件求椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，过点(1,32)，离心率e=12；
(2)一个焦点为(1,0)，过点( 303,2 33)；
(3)短轴长为2，离心率e= 32．
17.(本小题15分)
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
18.(本小题17分)
已知△ABC的三个顶点分别是A(2,3)，B(1,2)，C(4,−4)．
(1)求边BC上的高线AD所在直线的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(3)求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
已知点P(−2,−3)和以点Q为圆心的圆(x−4)2+(y−2)2=9．
(1)设倾斜角为π4的直线MP与圆Q交于A，B两点，求弦AB的长；
(2)设以PQ为直径的圆为圆N，求圆N的方程；
(3)设圆Q与圆N相交于C，D两点，直线PC，PD是圆Q的切线吗？为什么？
(4)求直线CD的方程．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知，l的方程为y−0=2(x−2)，化简整理可得，2x−y−4=0．
故选：B．
根据直线的点斜式方程、一般式方程进行求解即可．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为k≥− 33，即tanα≥− 33，
又α∈[0,π)，所以α的取值范围是[0,π2)∪[5π6,π)．
故选：C．
利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意可知方程x2+y2−8x+6y+m=0，即(x−4)2+(y+3)2=25−m，
若方程表示圆，则25−m>0，则mb>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上，
设|PF2|=4t，|PF1|=2a−4t，|QF1|=2a−t，
则|PF1|=3t，
由椭圆的定义，得2a=|PF1|+|PF2|=7t，
因为∠F1PF2是直角，
所以在△PF1F2中，由勾股定理，得|F1F2|= |PF1|2+|PF2|2=5t，
即2c=5t，
所以椭圆C的离心率e=ca=2c2a=57．
故选：B．
根据题意，设|PF2|=4t，|PF1|=2a−4t，|QF1|=2a−t，则|PF1|=3t，则2a=7t，在△PF1F2中，∠F1PF2是直角，可得2c=5t，再根据离心率的定义，即可求解．
本题考查了椭圆的定义，重点考查了椭圆的性质，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：圆N：(x+1)2+(y−1)2=54的圆心N(−1,1)，半径r1= 52；
由题意，圆M：x2+y2+2ax=0(a>0)的圆心M(−a,0)，圆的半径r2=a，
因为直线3x−4y+2=0与圆M相切，可得|−3a+2| 32+(−4)2=a，解得a=14(负根舍去)，
所以M(−14,0)，r2=14，
因为|MN|= [−14−(−1)]2+(0−1)2=54∈(2 5−14,2 5+14)，所以圆M和圆N相交．
故选：A．
首先根据直线与圆的位置关系求a，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：已知点M(1,−1)，N(1,2)，且点P在直线l：4x+3y−12=0上，
设P(3a,4−4a)．
对于A选项，因为点M(1,−1)，N(1,2)，
所以PM=(1−3a,4a−5)，PN=(1−3a,4a−2)，
若PM⊥PN，则PM⋅PN=0，
根据平面向量数量积的坐标运算可得(1−3a)2+(4a−5)(4a−2)=0，
化简得25a2−34a+11=0，
因为Δ=(−34)2−4×25×11=56>0，所以此方程有两个不相等的实数根，
所以存在点P，使得PM⊥PN，故A选项正确；
对于B选项，由M(1,−1)，N(1,2)，|PM|=2|PN|，
根据两点间的距离公式可得 (3a−1)2+[4−4a−(−1)]2=2 (3a−1)2+(4−4a−2)2，
化简得75a2−42a−6=0，
因为Δ′=(−42)2−4×75×(−6)=3564>0，所以此方程有两个不相等的实数根，
所以存在点P，使得|PM|=2|PN|，故B选项正确；
对于C选项，|OP|的最小值为点O到直线l的距离d，
根据点到直线的距离公式可得d=|0+0−12| 42+32=125，故C选项正确；
对于D选项，因为点M(1,−1)，N(1,2)，所以线段MN的方程为x=1，−1≤y≤2，
在4x+3y−12=0中，令x=1，解得y=83，
所以点(1,83)不在线段MN上，即点M，N在直线l的同侧，
设点M关于直线l的对称点为M′(x,y)，
则当点P为线段M′N与直线l的交点时，|PM|+|PN|取得最小值，最小值为|M′N|，
由题意，得4×x+12+3×y−12−12=0y−(−1)x−1×(−43)=−1，解得x=11325y=4125，
所以|M′N|= 3135，即|PM|+|PN|的最小值为 3135，故D选项错误．
故选：D．
根据向量垂直的坐标关系，即可求解A，根据两点距离公式即可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，利用对称即可求解D．
本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，l1⊥l2，
则(2a+1)(a+2)+a2=0，化简得3a2+5a+2=0，解得a=−1或a=−23．
故选：AC．
利用两直线垂直的充要条件列式，求出a的值即可．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：圆C：x2+y2−4x+8y−5=0，化为标准方程为(x−2)2+(y+4)2=25，
圆的圆心为C(2,−4)，圆的半径r=5，
圆心C到直线l的距离d=|4+4+b| 5=|8+b| 5．
对于选项A，当b=−3时，圆心C到直线l的距离d=|8−3| 5= 5，如图：
∴弦长为|AB|=2 r2−d2=2 52−( 5)2=4 5，故A选项正确；
对于选项B，由A选项的分析知，当b=−3时，d= 5，直线l与圆C相交，
∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围为[0,5+ 5]，
∵r−d=5− 5>2，∴圆C上存在4个到直线l的距离为2的点，故B选项正确；
对于选项C，若直线l与圆C有公共点，则d≤r，即|8+b| 5≤5，
∴|8+b|≤5 5，解得−5 5−8≤b≤5 5−8，
∴若直线l与圆C有公共点，则实数b的取值范围为[−5 5−8,5 5−8]，故C选项错误；
对于选项D，当直线l与圆C相切时d=r，由C选项的分析可知，b=−5 5−8或b=5 5−8，
因此，存在这样的实数b，故D选项正确．
故选：ABD．
依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；进而利用勾股定理求得弦长，可判断A选项；利用圆上的点到直线的距离的取值范围可判断B选项；利用圆心到直线的距离可判断CD选项．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：由椭圆的对称性，不妨设点P在x轴上方，
因为C：x2a2+y2b2=1(a>b>0,b≠c)，则|OP|≠|OF2|，
又△POF2是等腰直角三角形，所以直角只能是∠OF2P或∠OPF2，
①如图1，当∠OF2P是直角时，则P(c,c)，
将点P的坐标其代入椭圆C的方程，得c2a2+c2b2=1，且b2=a2−c2，
化简得c2+ac−a2=0，即得e2+e−1=0，
解得e= 5−12(负值舍去)；
②如图2，当∠OPF2是直角时，则P(c2,c2)，
将点P的坐标代入椭圆C的方程，得c24a2+c24b2=1，且b2=a2−c2，
化简得c4−6a2c2+4a4=0，即得e4−6e2+4=0，
解得e2=3− 5(大于1的舍去)，
故e= 3− 5．
故选：BD．
根据题意，由△POF2是等腰直角三角形分成∠OF2P是直角与∠OPF2是直角两种情形，结合条件和图形，建立a，b，c的齐次方程，求解即得离心率．
本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】2x+y−4=0
【解析】解：由直线l的一个法向量为l=(2,1)，
故可设直线l的方程为2x+y+n=0，
把点(3,−2)代入2x+y+n=0，可得6−2+n=0，解得n=−4，
所以直线方程为2x+y−4=0．
故答案为：2x+y−4=0．
根据法向量设其方程，再将点(3,−2)代入即可求出．
本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】8
【解析】解：已知圆O：x2+y2=16，点P在直线2x+y+10=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
则圆O的半径为4，OA⊥PA，
所以|OP|2=|PA|2+|OA|2=|PA|2+16，
四边形OAPB的面积S=2S△OPA=2×12|PA|⋅|OA|=4|PA|，
所以当|PA|取得最小值时，四边形OAPB的面积取得最小值，此时|OP|也取得最小值，
由题意可知，|OP|的最小值是圆心O到直线2x+y+10=0的距离d，
根据点到直线的距离公式可得d=|0+0+10| 22+12=2 5，
所以|PA|的最小值为2，四边形OAPB面积的最小值为8．
故答案为：8．
根据圆的切线的几何性质及四边形面积公式可得四边形OAPB的面积S=4|PA|，当|PA|取得最小值时，四边形OAPB的面积取得最小值，此时|OP|也取得最小值，再由点到直线的距离公式计算即可求解．
本题考查了圆的切线的几何性质和点到直线的距离公式，属于中档题．
14.【答案】(x−8)2+(y+6)2=100
【解析】解：如图，
由已知，圆C的圆心C(−4,3)，半径r=5，且圆C过原点，
因为圆D与圆C相切于坐标原点O，且过点A，
所以圆D与圆C相外切，圆心D是线段OA的垂直平分线与直线CO的交点，
线段OA的垂直平分线的方程为x=8，直线OC的方程为3x+4y=0，所以D(8,−6)，
所以圆D的半径R=|OD|=10，所以圆D的标准方程为(x−8)2+(y+6)2=100．
故答案为：(x−8)2+(y+6)2=100．
根据条件确定圆D与圆C相外切，确定圆心D的坐标及圆D的半径，从而得到圆D的标准方程．
本题主要考查求圆的标准方程，属于中档题．
15.【答案】(−∞,0]；
x−y+1=0
【解析】(1)已知直线l：kx−y+3−2k=0(k∈R)，
直线l的方程为可化为y=k(x−2)+3，因此直线l恒过定点Q(2,3)，
由直线l不经过第三象限，得k≤0，所以k的取值范围是(−∞,0]；
(2)已知P(−3,8)，点P到直线l的距离为d，
由(1)知直线l恒过定点Q(2,3)，当且仅当PQ⊥l时，d取得最大值，
直线PQ的斜率kPQ=8−3−3−2=−1，此时直线l的斜率k=1，
直线l的方程为x−y+3−2=0，即x−y+1=0，
所以当d最大时直线l的一般式方程为x−y+1=0．
(1)求出直线l所过定点，再结合图形求出k的范围．
(2)根据给定条件，确定点P到直线l的距离取最大值的条件，再利用直线点斜式方程求解．
本题考查了直线过定点的计算和直线方程的求解，属于中档题．
16.【答案】x24+y23=1；
x25+y24=1；
x24+y2=1或y24+x2=1
【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，可设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
因为椭圆过点(1,32)，离心率e=12，
则有1a2+94b2=1ba= 1−e2= 32，
解得a2=4，b2=3，
故椭圆的标准方程为x24+y23=1；
(2)由已知，c=1，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由点( 303,2 33)在椭圆上，代入可得103a2+43b2=1，
又a2=b2+1，联立解得a2=5，b2=4，
故椭圆的标准方程为x25+y24=1；
(3)由题意知e=ca= 1−(ba)2= 32，2b=2，联立解得b=1，a=2，
故当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y24+x2=1；
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x24+y2=1，
故椭圆的标准方程为x24+y2=1或y24+x2=1．
(1)由题意确定椭圆焦点位置，建立a，b的方程组，求解即得椭圆的方程；
(2)由题意确定椭圆焦点位置，建立a，b的方程组，求解即得椭圆的方程；
(3)先根据条件求出a，b，再按焦点在x轴和y轴上分两种情况，即可求得椭圆方程．
本题主要考查求椭圆的标准方程，属于基础题．
17.【答案】解：以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=202①
轮船航线所在直线l的方程为x40+y30=1，即3x+4y−120=0②
如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向．
由于圆心O(0,0)到直线l的距离d=120 32+42=24>20，
所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船没有触礁危险．
【解析】以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．进而可推断出以小岛的中心为圆心，半径为20km的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船没有触礁危险．
本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．解题的关键是看圆与直线是否有交点．
18.【答案】x−2y+4=0；
7x+2y−11=0或5x+4y−13=0；
92
【解析】(1)由B(1,2)，C(4,−4)，得直线BC的斜率为−4−24−1=−2，
因为AD是边BC上的高线，
所以直线AD的斜率为12，
而A(2,3)，
所以直线AD的方程为y−3=12(x−2)，即x−2y+4=0．
(2)由点A、C到直线l的距离相等，得直线l与边AC所在的直线平行或过边AC的中点，
①当直线l与直线AC平行时，由A(2,3)，C(4,−4)，知直线AC的斜率为−4−34−2=−72，
所以直线l的斜率为−72，
而直线l过点B(1,2)，
所以直线l的方程为y−2=−72(x−1)，即7x+2y−11=0；
②当直线l过边AC的中点时，由A(2,3)，C(4,−4)，得边AC的中点为(3,−12)，
又B(1,2)，所以直线l的斜率为−12−23−1=−54，
所以直线l的方程为y−2=−54(x−1)，即5x+4y−13=0，
综上所述，直线l的方程为7x+2y−11=0或5x+4y−13=0．
(3)由点B(1,2)，C(4,−4)，得|BC|=3 5，
由(1)知直线BC的斜率为−2，
所以直线BC的方程为y−2=−2(x−1)，即2x+y−4=0，
所以点A(2,3)到直线BC的距离ℎ=|2×2+3−4| 22+12=3 55，
所以△ABC的面积S=12|BC|⋅ℎ=12×3 5×3 55=92．
(1)先求出直线BC的斜率，根据两条直线垂直满足的条件可得直线AD的斜率，再利用直线的点斜式方程写出直线AD的方程即可；
(2)根据给定条件，可得直线l与边AC所在的直线平行或过边AC的中点，再分类讨论求解即可；
(3)先求出边BC的长，再求得点A到直线BC的距离，然后求三角形的面积即可．
本题考查直线方程的应用，熟练掌握两条直线平行、垂直满足的条件，直线方程的点斜式，以及点到直线的距离公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】 34；
(x−1)2+(y+12)2=614；
直线PC，PD是圆Q的切线，
因为PQ是圆N的直径，点C，D是圆N上的两点，
所以∠PCQ=∠PDQ=π2，
因为点C，D是圆Q上的两点，
所以直线PC，PD是圆Q的切线；
6x+5y−25=0
【解析】(1)已知点P(−2,−3)和以点Q为圆心的圆(x−4)2+(y−2)2=9，
因为直线MP的倾斜角为π4，所以直线MP的斜率为tanπ4=1，
因为P(−2,−3)，所以直线MP的方程为y−(−3)=x−(−2)，即x−y−1=0，
由圆Q的方程(x−4)2+(y−2)2=9，知圆心Q(4,2)，半径r=3，
根据点到直线的距离公式可得圆心Q到直线MP的距离d=|4−2−1| 12+(−1)2= 22，
所以|AB|=2 r2−d2=2 9−( 22)2= 34；
(2)设以PQ为直径的圆为圆N，
因为P(−2,−3)，Q(4,2)，所以N(1,−12)，
圆N的半径|QN|= (1−4)2+(−12−2)2= 612，
所以圆N的方程为(x−1)2+(y+12)2=614；
(3)直线PC，PD是圆Q的切线，
因为PQ是圆N的直径，点C，D是圆N上的两点，所以∠PCQ=∠PDQ=π2，
因为点C，D是圆Q上的两点，所以直线PC，PD是圆Q的切线；
(4)因为圆Q的方程为(x−4)2+(y−2)2=9，即x2+y2−8x−4y+11=0①，
圆N的方程为(x−1)2+(y+12)2=614，即x2+y2−2x+y−14=0②，
②−①，得6x+5y−25=0，
且Q与圆N相交，所以直线CD的方程为6x+5y−25=0．
(1)根据斜率和点，即可根据点斜式求解直线方程，根据弦长公式即可求解；
(2)根据中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求半径即可求得圆的方程；
(3)根据PQ是直径，由直径所对的圆周角即可求解；
(4)两圆方程相减即可求解．
本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．