山东省青岛第一中学2025~2026学年高三上学期期初开学检测数学试卷

这是一份山东省青岛第一中学2025~2026学年高三上学期期初开学检测数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
满分150分，考试时间120分钟
注意事项 （请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明．）
试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（ ）
A B. C. D. 5
3. 随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件是相互独立事件B. 事件与事件是互斥事件
C. D.
4. 平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ）
A. 平均数为5.5B. 平均数为6.5C. 方差为12.5D. 方差为13.5
6. 则三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A. 3B. C. D. 6
7. 已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在边长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）
A.
B.
C. 直线与平面所成角的最小值是
D. 的最小值为
10. 已知,，下列说法正确的是（ ）
A. 存在使得是奇函数
B. 任意､的图象是中心对称图形
C. 若为两个极值点，则
D. 若上单调，则
11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则（ ）
A. 、在直线上B. 双曲线的离心率
C. 内切圆半径最小值是D. 的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中含项的系数为___________.
13. 已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则的前项和___________.
14. 若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知在中，边,,所对的角分别为，，，.
（1）证明：,,成等比数列；
（2）求角最大值.
16. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
（1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
（2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.
19. 已知函数，，.
（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.