江苏省兴化中学2025~2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

这是一份江苏省兴化中学2025~2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷，共4页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上的指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效．
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设甲：；乙：，则甲是乙（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
4. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 2
7. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项正确是（ ）
A. 若随机变量，，则
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥.
D. 对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 已知，则的取值范围是
C. 已知，则的最小值为4
D. 已知，则最小值为2
11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ）
A. 奇函数B.
C. D.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为________．
13. 若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________．
14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16. 已知，函数是奇函数，.
（1）求实数的值；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
17. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．
（1）若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利概率；
（2）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出；
（3）初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．
18. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
19. 若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”．
（1）判断是否为定义域上的“非正函数”，并说明理由．
（2）已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围．
（3）设，且，证明：．