福建省福州第一中学2025~2026学年高三上学期开学质量检测数学试卷

这是一份福建省福州第一中学2025~2026学年高三上学期开学质量检测数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
2. 集合，，若，则a取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4. 在的展开式中的系数为（ ）
A. B. 21C. 35D. 84
5. 已知函数则的解集为
A. B.
C D.
6. 将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数（，）的图象过点，其相邻对称轴间的距离为.设且，若，则的值为（ ）
A B. C. 1D.
8. 已知定义域均为的函数，且满足.若在单调递增，则（ ）
A. 是奇函数
B. 是上的增函数
C. ，使得
D ，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的各项均为正数，且公比，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线为圆
B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要条件
D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
11. 设正整数，其中，记.已知集合，下列说法正确的是（ ）
A
B. 对任意的，有
C. 若，则使成立的m的取值个数为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________.
13. 已知正项数列，的前n项和为，且，，则________.
14. 三棱锥的体积为，且，，则三棱锥的外接球半径的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角C；
（2）若点D在边AC上，，，，求AD长.
16. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启用的设备），已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这3台设备中，只要有1台能正常工作，计算机网络就不会断掉，设3台设备的可靠度均为0.7，它们之间互不影响.
（1）记能正常工作的设备台数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉会给该产业园带来约500万元的经济损失.为减少给该产业园带来的经济损失，可以升级设备，每台设备的升级费用为2.5万元，升级后可以使设备的可靠性提升到0.8，从总损失期望最小的角度，应该升级几台设备？
17. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点F在线段BD上，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值.
18. 拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是.
（1）若到焦点的距离为3，求；
（2）若，在上，且的重心恰为，求直线的方程；
（3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若，，求实数a的取值集合；
（2）设，
（i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）；
（ii）证明：.