【中考数学】2025年四川省自贡市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年四川省自贡市中考适应性模拟试卷（含解析），共39页。
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
2．（4分）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．90°C．100°D．115°
4．（4分）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆．12866000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2866×103B．1.2866×104
C．1.2866×107D．1.2866×108
5．（4分）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如表所示．三项评分所占百分比如图所示，平均分最高的是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．平均分都相同
7．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，﹣2）．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（ ）
A．（﹣3，5）B．（5，﹣3）C．（﹣2，5）D．（5，﹣2）
8．（4分）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（ ）
A．140°B．150°C．160°D．170°
9．（4分）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
10．（4分）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．50°或130°
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），则点G坐标为（ ）
A．（11，﹣4）B．（10，﹣3）C．（12，﹣3）D．（9，﹣4）
12．（4分）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（ ）
A．6B．62−5C．35D．45−22
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算：18−32= ．
14．（4分）分解因式：m2﹣4m＝ ．
15．（4分）若2a+b＝﹣1，则4a2+2ab﹣b的值为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2．以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心…重复以上操作，则D2025F2025的长为 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 ．
三、解答题（共8个题，共82分）
18．（8分）解不等式组：3x+3＞04x−3＜3x−1，并在数轴上表示其解集．
19．（8分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF．
20．（8分）去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
21．（10分）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题．
选择球类兴趣班人数占比统计表
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A、B、C、D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率．
22．（10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB＝O2B，连接DC．
（1）∠ABO2＝ 度；
（2）求证：DC为⊙O2的切线；
（3）若DC＝33，求⊙O2上AB的长．
23．（10分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=−8x的图象交于点A（﹣2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．
（1）求k的值；
（2）若BD＝2，求点B坐标；
（3）双曲线y=−8x关于y轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与y′的交点坐标．
24．（13分）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，则tan5.1°≈ ，tan9.1°≈ ，tan14.5°≈ （结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
25．（15分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．
（1）若BD⊥CE，BD＝1，CE=12，则四边形BCDE的面积为 ；
（2）若BD+CE=32，△ABC的最大面积为S．设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y＝k1x﹣k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y＝k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K．若S△HFK＝S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
2025年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）若（﹣4）×□＝8，则□内的数字是（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】因为（﹣4）×□＝8，所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2，据此解答．
【解答】解：因为（﹣4）×□＝8，
所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是□＝8÷（﹣4）．
2．（4分）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（4分）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．90°C．100°D．115°
【分析】利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝115°，∠3＝∠4＝115°，然后利用对顶角相等可得∠2＝∠4＝115°，即可解答．
【解答】解：如图：
∵DB∥CA，
∴∠1＝∠3＝115°，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4＝115°，
∴∠2＝∠4＝115°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（4分）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆．12866000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2866×103B．1.2866×104
C．1.2866×107D．1.2866×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：12866000＝1.2866×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（4分）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看几何体，所看到的视图是主视图进行解答．
【解答】解：几何体的主视图是．
故选：D．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的确定方法是关键．
6．（4分）某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如表所示．三项评分所占百分比如图所示，平均分最高的是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．平均分都相同
【分析】利用加权平均数公式解答即可．
【解答】解：甲的平均分为：7×50%+7×30%+9×20%＝7.4；
乙的平均分为：8×50%+7×30%+8×20%＝7.7；
丙的平均分为：7×50%+8×30%+8×20%＝7.5；
因为7.7＞7.5＞7.4，
所以平均分最高的是乙．
故选：B．
【点评】本题考查了加权平均数和扇形统计图，掌握加权平均数公式是解答本题的关键．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，﹣2）．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（ ）
A．（﹣3，5）B．（5，﹣3）C．（﹣2，5）D．（5，﹣2）
【分析】依题意得AB＝BC＝CD＝AD＝5，根据点B（0，﹣2）得OA＝3，由旋转的性质得OA'＝OA＝3，且点A'在x轴的负半轴上，正方形A′B′C′D′的边长为5，由此即可得出点D'的坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为5，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵点B（0，﹣2），
∴OB＝2，
∴OA＝AB﹣OB＝3，
由旋转的性质得：OA'＝OA＝3，且点A'在x轴的负半轴上，正方形A′B′C′D′的边长为5，
∴点D'的坐标为（﹣3，5）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，图形的旋转变换及其性质，理解点的坐标，正方形的性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键．
8．（4分）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（ ）
A．140°B．150°C．160°D．170°
【分析】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可．
【解答】解：如图，
正六边形的每个内角为(6−2)×180°6=120°，正方形的每个内角为90°，
∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵α＝∠1，β＝∠2，
∴α+β＝150°，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，多边形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
9．（4分）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
【分析】设小地砖的长边长为x cm，短边长为y cm，根据图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小地砖的长边长为x cm，短边长为y cm，
由题意得：x+y=402x=x+4y，
解得：x=32y=8，
即小地砖短边长为8cm，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（4分）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．50°或130°
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述：∠ACB的度数是50°或130°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，灵活运用分情况讨论思想、掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），则点G坐标为（ ）
A．（11，﹣4）B．（10，﹣3）C．（12，﹣3）D．（9，﹣4）
【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK=OAAB，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK＝8，AK＝6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可．
【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO，
∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO，
∴△AHO∽△BKA，
∴AHBK=OHAK=OAAB，
∴∠A＝90°，tan∠ABO=12，A（﹣4，3），
∴OH＝3，AH＝4，OAAB=12，
∴4BK=3AK=12，
∴BK＝8，AK＝6，
∵将△ABO平移，
∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，
∴E（6，0），
∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，
∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，
∴G（10，﹣3）；
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换一平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．（4分）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（ ）
A．6B．62−5C．35D．45−22
【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使DH=22，过点H作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH＝∠DKH＝90°，根据正方形性质，得C（6，0），D（6，6），A（0，6），得G（3，3）和BG=32，BGDH=32，根据EG=AG=BG=DG=32，得点B、E、A、D在⊙G上，得∠ABE＝∠ADE，得∠EBG＝∠FDH，根据BEDF=32，得△BEG∽△DFH，得FH=DH=22，得点F在以点H为圆心，22为半径的圆上运动，根据DK＝HK＝2，得H（4，8），得BH=42+82=45，得BF取得最小值，为BF=BH−FH=45−22．
【解答】解：以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
设BD的中点为G，过点D作DH⊥BD，使DH=22，过点H作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，
则∠BDH＝∠DKH＝90°，
∵正方形ABCD边长为6，
∴C（6，0），D（6，6），A（0，6），
∴G（3，3），
∴BG=32+32=32，
∴BGDH=32，
∵∠E＝∠BAC＝90°，
∴EG=AG=BG=DG=32，
∴点B、E、A、D在⊙G上，
∴∠ABE＝∠ADE，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠HDK＝∠BDH﹣∠ADB＝45°，
∴∠HDK＝∠ABD＝45°，
∴∠ABE+∠ABD＝∠ADE+∠HDK，
即∠EBG＝∠FDH，
∵2BE＝3DF，
∴BEDF=32BEDF=BGDH，
∴△BEG∽△DFH，
∴FH=DH=22，
∴点F是在以点H为圆心，22为半径的圆上运动，
∵∠DHK＝90°﹣∠HDK＝45°，
∴DK2+HK2＝DH2，
∴DK＝HK＝2，
∴H（4，8），
∴BH=42+82=45，
∵BF+FH≥BH，
∴当点F在BH上时，BF取得最小值，
为BF＝BH﹣FH=45−22，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算：18−32= 0 ．
【分析】先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：18−32=32−32=0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（4分）分解因式：m2﹣4m＝ m（m﹣4） ．
【分析】提取公因式m，即可求得答案．
【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．
故答案为：m（m﹣4）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．
15．（4分）若2a+b＝﹣1，则4a2+2ab﹣b的值为 1 ．
【分析】由题意可得b＝﹣1﹣2a，整体代入计算即可得解．
【解答】解：∵2a+b＝﹣1，
∴b＝﹣1﹣2a，
∴4a2+2ab﹣b＝4a2+2a（﹣1﹣2a）﹣（﹣1﹣2a）＝4a2﹣2a﹣4a2+1+2a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2．以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心…重复以上操作，则D2025F2025的长为 (5−12)2025 ．
【分析】由等腰三角形的性质可得 AD＝BD＝1，由勾股定理得出AC=BC=5，求出D1F1=5−12，CF1=5−52，同理可得D3F3=(5−12)3，D4E4=(5−12)4⋯，即可得解．
【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2，
∴AD＝BD＝1，
∴AC＝BC=12+22=5，
∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，
∴BE1＝BD＝1，
∴CE1=BC−BE1=5−1，
∵以点C为圆心CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，
∴CD1=CE1=5−1，
∵过点D1作D1F1⊥DC交AC于点F1，
∴AD∥D1F1，
∴△CD1F1∽△CDA，
∴CD1CD=D1F1AD=CF1AC，即5−12=D1F11=CF15，
∴D1F1=5−12，CF1=5−52，
∵以点F1为圆心，F1D的长为半径画弧，交AC于点F2，
∴D1F1=F1F2=5−12，
∴CF2=CF1−F1F2=3−5，
∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，
∴CD2=CF2=3−5，
∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，
∴∠CD1F1＝∠CD2E2＝90°，
∴∠F1CD1＝∠D2CE2，
∴△CD2E2∽△CD1F1，
∴CD2CD1=D2E2D1F1，则3−55−1=D2E25−12，
∴D2E2=(5−12)2，
同理可得：D3F3=(5−12)3，D4E4=(5−12)4，⋯，
∴D2025F2025的长为(5−12025)2025，
故答案为：(5−12)2025．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 3+13 ．
【分析】解直角三角形得出AC=23，由等边三角形的性质可得CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则AE=CE=OE=3，∠FCE＝30°，求出EF=32，CF=32，从而可得DF=72，由勾股定理可得DE=13，最后根据三角形三边关系可得OD≤DE+OE，即可得解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC=BC÷tan30°=2÷33=23，
∵△BCD为等边三角形，
∵CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，
如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，
则AE=CE=OE=12AC=3，∠FCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝30°，
∴EF=12CE=32，CF=CE2−EF2=32，
∴DF=DC+CF=72，
∴DE=EF2+DF2=13，
根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE，
∴OD≤3+13，
∵OD的最大值为3+13，
故答案为：3+13．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
三、解答题（共8个题，共82分）
18．（8分）解不等式组：3x+3＞04x−3＜3x−1，并在数轴上表示其解集．
【分析】依据题意，根据3x+3＞0①4x−3＜3x−1②，由①得，x＞﹣1；由②得，x＜2，进而可以判断得解．
【解答】解：3x+3＞0①4x−3＜3x−1②，
∴由①得，x＞﹣1；
由②得，x＜2．
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，在数轴上表示出解集如下．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
19．（8分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF．
【分析】根据∠ABE＝∠BAF得CB＝CA，再根据CE＝CF得BE＝AF，由此可依据“SAS”判定△ABE和△BAF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠BAF，
∴CB＝CA，
∵CE＝CF，
∴CB+CE＝CA+CF，
即BE＝AF，
在△ABE和△BAF中，
BE=AF∠ABE=∠BAFAB=BA，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AE＝BF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
20．（8分）去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
【分析】设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米（x+2）筐，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合小张掰36筐与小李掰30筐所用时间时间，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米（x+2）筐，
根据题意得：36x+2=30x，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：小李平均每小时掰玉米10筐．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（10分）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题．
选择球类兴趣班人数占比统计表
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 90 度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A、B、C、D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以表格中A的百分比可得调查的人数，用调查的人数分别减去A，B，C的人数可得D的人数，用B的人数除以调查的人数再乘以100%可得B组占调查总人数百分比，用C的人数除以调查的人数再乘以100%可得C组占调查总人数百分比，用D的人数除以调查的人数再乘以100%可得D组占调查总人数百分比，补全条形统计图和占比统计表即可；用360°乘以B组占调查总人数百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用400乘以表格中乒乓球占调查总人数百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，调查的人数为4÷10%＝40（人），
∴D组的人数为40﹣4﹣10﹣14＝12（人），
∴B组占调查总人数百分比为10÷40×100%＝25%，C组占调查总人数百分比为14÷40×100%＝35%，D组占调查总人数百分比为12÷40×100%＝30%，
补全条形统计图和占比统计表如下：
选择球类兴趣班人数占比统计表
篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%＝90°．
故答案为：90．
（2）400×35%＝140（人）．
∴估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数约140人．
（3）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的结果有1种，
∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为116．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
22．（10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB＝O2B，连接DC．
（1）∠ABO2＝ 30° 度；
（2）求证：DC为⊙O2的切线；
（3）若DC＝33，求⊙O2上AB的长．
【分析】（1）连接O1A，O1B，O1O2，BC，根据⊙O1和⊙O2是等圆得△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，则∠O1BO2＝60°，再根据相交圆的性质得O1O2⊥AB，由此可得∠ABO2的度数；
（2）先证明△O2BC是等边三角形得∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，进而得DB＝BC，根据三角形外角限制得∠D＝∠BCD＝30°，则∠O2CD＝90°，然后根据切线的判定即可得出结论；
（3）设O2C＝O2B＝R，则O2D＝2R，进而由勾股定理得R＝3，则O1A＝O2B＝R＝3，然后根据∠AO1B＝120°及弧长公式即可得出⊙O2上弧AB的长．
【解答】（1）解：连接O1A，O1B，O1O2，BC，如图所示：

∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴O1B＝O2B＝O1O2＝O1A＝O2A＝O1O2，
∴△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，
∴∠O1BO2＝60°，
根据相交圆的性质得：O1O2⊥AB，
∴∠ABO2=12∠O1BO2＝30°，
故答案为30；
（2）证明：∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，
∴∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，
∴∠BO2C＝60°，
∵O2B＝O2C，
∴△O2BC是等边三角形，
∴∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，
∵DB＝O2B，
∴DB＝BC，
∴∠D＝∠BCD，
∵∠O2BC是△BCD的外角，
∴∠D+∠BCD＝∠O2BC＝60°，
∴∠D＝∠BCD＝30°，
∴∠O2CD＝∠O2CB+∠BCD＝90°，
即O2C⊥CD，
∵O2C是⊙O2的半径，
∴DC为⊙O2的切线；
（3）解：设O2C＝O2B＝R，
∴DB＝O2B＝R，
∴O2D＝DB+O2B＝2R，
∵∠O2CD＝90°，
∴△O2CD是直角三角形，
在Rt△O2CD中，由勾股定理得：DC=O2D2−O1C2=(2R)2−R2=3R，
∵DC=33，
∴3R=33，
解得：R＝3，
∴O1A＝O2B＝R＝3，
∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，
∴∠AO1O2＝∠BO1Q2＝60°，
∴∠AO1B＝120°，
∴⊙O2上弧AB的长为：120π×3180=2π．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相交两圆的性质，弧长的计算，理解圆周角定理，相交两圆的性质，熟练掌握切线的判定与性质，弧长的计算是解决问题的关键．
23．（10分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=−8x的图象交于点A（﹣2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．
（1）求k的值；
（2）若BD＝2，求点B坐标；
（3）双曲线y=−8x关于y轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与y′的交点坐标．
【分析】（1）点A（﹣2，a）在反比例函数y=−8x上，可得 a＝4，即A（﹣2，4），将A（﹣2，4）代入正比例函数 y＝kx中，进一步求解即可；
（2）设B（m，﹣2m），结合过点B作y轴的垂线．交反比例函数的图象于点D．可得D(82m，−2m)，可得m−82m=2再解方程进一步求解即可；
（3）求解y=8x，如图，由旋转可得：OA＝OA，∠AOA'＝90°，过A作AK⊥x轴于K，过A作AL⊥x轴于L，证明△AOK≌△OAL，可得 A（4，2），证明A（4，2）在y=8x的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：A（﹣4，﹣2），从而可得答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，a）在反比例函数y=−8x上，
∴a＝4，即A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入正比例函数 y＝kx中，
得﹣2k＝4，
解得：k＝﹣2；
（2）∵B在直线 y＝﹣2x上，
设B（m，﹣2m），
∵过点B作y轴的垂线．交反比例函数的图象于点D，
∴D(82m，−2m)
∵BD＝2，
∴m−82m=2，
整理得：m2﹣2m﹣4＝0
解得：m=1−5，m=1−5或m=1+5（不符合题意舍去），
∴B（1−5，−2+25）
（3）∵双曲线y=−8x关于y轴对称的图象为y'，
y′=8x
如图，
由旋转可得：OA＝OA'，∠AOA'＝90°，
过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，
∴∠AKO＝∠A'LO＝90°
∴∠AOK＝90°﹣∠A'OL＝∠OA'L
∴△AOK≌△OA'L，
∵A（﹣2，4），
∵OL＝AK＝4，A'L＝OK＝2，
∴A'（4，2），
当x＝4时，y′=8x=2
∴A'（4，2）在y′=8x的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：A'（﹣4，﹣2），
∴射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键．
24．（13分）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，则tan5.1°≈ 0.09 ，tan9.1°≈ 0.16 ，tan14.5°≈ 0.26 （结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据正切的定义计算即可得解；
（3）延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP＝EF，DF＝PE，由题意可得DP＝30米，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，设EU＝x米，则FU＝（30﹣x） 米，解直角三角形得出30−x0.16=x0.09，求出FU＝19.2米，PE＝DF＝120米，再解直角三角形得出TF＝31.2米，即可得解；
（4）结合题意提出合理的建议即可．
【解答】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H＝90°，
∵QM∥HK，
∴∠IQM＝∠H＝90°，
又∵OG∥HI，
∴∠MOG＝∠IQM＝90°，
∴OG⊥QM；
（2）解：在Rt△VWY中，∠W＝90°，∠YVW＝5.1°，VW＝10.0cm，YW＝0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YWVM=0.9110≈0.09；
∵∠XVY＝4.0°，∠YVW＝5.1°，XY＝0.70cm，YW＝0.91cm，
∴∠XVW＝∠XVY+∠YVW＝9.1°，XW＝XY+YW＝1.6lcm，
∵在Rt△VWX中，∠W＝90°，∠XVW＝9.1°，VW＝10.0cm，XW＝16．lcm，
∴tan9.1°=tan∠XVW=XWVM=1.6110≈0.16，
∵YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，
∴ZW＝ZX+XY+YW＝2.55cm，
∵在Rt△VWZ中，∠W＝90°，∠ZVW＝14.5°，VW＝10.0cm，ZW＝2.55cm，
∴tan14.5°=tan∠ZVW=ZWVM=2.5510≈0.26，
故答案为：0.09，0.16，0.26；
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE＝∠PEF＝∠DFT＝∠DPE＝90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP＝EF，DF＝PE，
由题意可得：DP＝（25﹣15）×3＝30米，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，
设EU＝x米，则FU＝EF﹣EU＝（30﹣x） 米，
∵tan∠EPU=EUPE=xPE=tan5.1°≈0.09，tan∠FDU=FUDF=30−xDF=tan9.1°≈0.16，
∴PE=x0.09，DF=30−x0.16，
∴30−x0.16=x0.09，
解得：x＝10.8，
∴FU＝30﹣10.8＝19.2米，PE＝DF=米，
∵tan∠TDF=TFDF=TF120=tan14.5°≈0.26，
∴TF＝31.2米，
∴TU＝TF+UF＝19.2+31.2≈50米，即该塔高度为50米；
（4）解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
25．（15分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．
（1）若BD⊥CE，BD＝1，CE=12，则四边形BCDE的面积为 14 ；
（2）若BD+CE=32，△ABC的最大面积为S．设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y＝k1x﹣k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y＝k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K．若S△HFK＝S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【分析】（1）分割法得到四边形BCDE的面积=12BD⋅CE，即可得出结果；
（2）根据三角形的中位线定理，证明△ADE∽△ABC，进而推出S四边形DCBE=34S△ABC，进而得到当四边形BCDE的面积最大时，S最大，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，进而得到四边形BCDE的最大面积=12⋅CE⋅BD，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（3）根据平移求出抛物线y的解析式，设xF＝m，根据三角形的中线平分面积，得到K为F，Q的中点，进而得到Q点坐标，设H(n，−23n2+73n−23)，把H，Q的坐标代入y＝k2x+b，求出k2，根据直线过点H，将解析式写为y﹣yH＝k2（x﹣xH），得到y=−23（n﹣m）（x﹣1）+x+1，令x＝1，求出y值，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵BD⊥CE，BD＝1，CE=12，
∴四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE
=12⋅CE⋅BG+12⋅CE⋅DG
=12⋅CE⋅(BG+DG)
=12⋅CE⋅BD
=12×12×1
=14，
故答案为：14；
（2）∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位数，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=(DEBC)2=14，
∴S△ADE=14S△ABC，
∴S四边形DCBE=34S△ABC，
∴S△ABC=43S四边形DCBE，
当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE
=12⋅CE⋅BM+12⋅CE⋅DN
≤12⋅CE⋅(BG+DG)
=12CE•BD，
∴四边形BCDE的面积最大=12CE•BD，
∵BD+CE=32，BD＝x，
∴CE=32−x，
∴S=43×12x(32−x)=−23x2+x=−23(x−34)2+38，
∴当x=34时，S最大为38；
（3）直线l是过定点．
由（2）知：S=−23(x−34)2+38，
∴y=−23(x−34−1)2+38+1=−23(x−74)2+118，
∴y=−23x2+73x−23，
设xF＝m，
∵S△HFK＝S△HKQ，
∴K为F，Q的中点，
过点F，Q的直线与直线x＝l交于点K，
∴xK＝1，
∴xQ＝2＝m，
∴Q(2−m，−23(2−m)2+73(2−m)−23)．
设H(n，−23n2+73n−23)，
∴(2−m)k2+b=−23(2−m)2+73(2−m)−23nk2+b=−23n2+73n−23，
解得k2=−23(n−m)+1．
∴直线l：y﹣yH＝k2（x﹣xH），
即y=[−23(n−m)+1](x−n)+(−23n2+73n−23)
=[−23(n−m)+1]x+23(n−m)+1
=−23（n﹣m）（x﹣1）+x+1，
∴当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝1+1＝2，
∴直线l过定点（1，2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
选手
专家组评分
教师组评分
学生组评分
甲
7
7
9
乙
8
7
8
丙
7
8
8
组别
球类活动兴趣班
占调查总人数百分比
A
足球
10%
B
篮球
C
乒乓球
D
羽毛球
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
C．
D
B
A
B
B
D
B
题号
12
答案
D
选手
专家组评分
教师组评分
学生组评分
甲
7
7
9
乙
8
7
8
丙
7
8
8
组别
球类活动兴趣班
占调查总人数百分比
A
足球
10%
B
篮球
C
乒乓球
D
羽毛球
组别
球类活动兴趣班
占调查总人数百分比
A
足球
10%
B
篮球
25%
C
乒乓球
35%
D
羽毛球
30%
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）