【中考数学】2025年四川省宜宾市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年四川省宜宾市中考适应性模拟试卷（含解析），共38页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）2025的相反数是（ ）
A．﹣2025B．2025C．12025D．−12025
2．（4分）下列立体图形是圆柱的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为6，则a的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（4分）满足不等式组x≤2x＞0的解是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．m3÷m＝m2B．（﹣mn）2＝﹣mn2
C．3m2﹣m2＝2D．m2•m3＝m6
6．（4分）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道B．13道C．12道D．11道
7．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（ ）
A．3B．2C．6D．52
8．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（ ）
A．5x+2y=102x+5y=8B．5x+2y=82x+5y=10
C．5x−2y=102x+5y=8D．5x+2y=102x−5y=8
9．（4分）如图，O是坐标原点，反比例函数y=−4x（x＞0）与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y=−4x（x＞0）的图象上，直线AB与y轴交于点C，连结OB，若AB＝3AC，则OB的长为（ ）
A．10B．522C．34D．1302
10．（4分）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则AEEC的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=12.当BF最短时，则AE的长度为（ ）
A．5B．4C．25D．213
12．（4分）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②23＜b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣27，6＜x2＜4+27．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
13．（4分）分解因式：a2﹣a＝ ．
14．（4分）分式方程1x−2+1x=0的解为 ．
15．（4分）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝ °．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则ADDC的值为 ．
17．（4分）已知a1、a2、a3、a4、a5是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5＝ ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（10分）（1）计算：4−4sin30°+|−3|；
（2）计算：（x2x−1−1x−1）•1x+1．
20．（10分）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是 ，并补全条形统计图；
（2）若七年级新生共有600人，估计有 人喜欢乒乓球运动；
（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率．
21．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
22．（10分）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，PN所在圆的圆心为O，A、B、N、O在同一直线上．直线AP与PN所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，π≈3.14）．
（1）求圆心角∠PON的度数；
（2）求PN的弧长（结果精确到0.1米）．
23．（12分）如图，过原点O的直线与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A、B两点．一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（﹣2，1），C（﹣1，n）．
（1）求一次函数y＝mx+b的表达式，并求△AOM的面积；
（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝10，tan∠CAD=34，求DE与BD的长度；
（3）在（2）的条件下，若F为AE上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度．
25．（14分）如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标；
（3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
2025年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）2025的相反数是（ ）
A．﹣2025B．2025C．12025D．−12025
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：2025的相反数是﹣2025．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（4分）下列立体图形是圆柱的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立体图形的特点逐一识别即可．
【解答】解：A：此图为球，故不正确；
B：此图为圆锥，故不正确；
C：此图为圆台，故不正确；
D：此图为圆柱，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了立体图形的识别，熟悉掌握图形的识别是解题的关键．
3．（4分）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为6，则a的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据算术平均数的定义列出关于a的方程，解之即可．
【解答】解：由题意知，4+5+5+6+a5=6，
解得a＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
4．（4分）满足不等式组x≤2x＞0的解是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【分析】先求出不等式组的解集，进而得出答案．
【解答】解：不等式组x≤2x＞0的解为0＜x≤2，
故满足不等式组x≤2x＞0的解是1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答本题的关键．
5．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．m3÷m＝m2B．（﹣mn）2＝﹣mn2
C．3m2﹣m2＝2D．m2•m3＝m6
【分析】根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的乘法法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、m3÷m＝m2，故此选项符合题意；
B、（﹣mn）2＝m2n2，故此选项不符合题意；
C、3m2﹣m2＝2m2，故此选项不符合题意；
D、m2•m3＝m5，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（4分）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道B．13道C．12道D．11道
【分析】设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，利用得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数，结合得分不低于80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
根据题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80，
解得：x≥12，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对的题数是12道．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
7．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（ ）
A．3B．2C．6D．52
【分析】由垂径定理求出AD=12AB＝4，由勾股定理即可求出OD的长．
【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，
∴AD=12AB=12×8＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OD=OA2−AD2=3．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到AD=12AB，由勾股定理求出OD的长．
8．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（ ）
A．5x+2y=102x+5y=8B．5x+2y=82x+5y=10
C．5x−2y=102x+5y=8D．5x+2y=102x−5y=8
【分析】根据5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两；列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：5x+2y=102x+5y=8，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（4分）如图，O是坐标原点，反比例函数y=−4x（x＞0）与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y=−4x（x＞0）的图象上，直线AB与y轴交于点C，连结OB，若AB＝3AC，则OB的长为（ ）
A．10B．522C．34D．1302
【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立得到−4x=−2x，求出OD=2，然后由 AD∥BE得到ABAC=DEOD，求出DE=32，然后代入y=−4x，求出BE=22，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数y=−4x(x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，
∴联立得，−4x=−2x，
解得x=2或−2，
∴OD=2，
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD∥BE，
∴ABAC=DEOD，
∵AB＝3AC，
∴3=DE2，即DE=32，
∴OE=2+32=42，
∴将x=42代入y=−4x=−442=−22，
∴BE=22，
∴OB=OE2+BE2=1302，
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10．（4分）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则AEEC的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，证明出△AFD∽△ACB，得到AFAC=ADAB=23，S△AFDS△ACB=(ADAB)2=49，设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s，表示出S△AFDS△ADE=4s92s=89=AFAE，然后得到AFAE÷AFAC=AFAE，⋅ACAF=ACAE=89÷23=43，进而求解即可．
【解答】解：如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，
∵AD＝2DB，
∴ADBD=2，
∴ADAB=23
∵DF∥BC，
∴△AFD∽△ACB，
∴AFAC=ADAB=23，
∴S△AFDS△ACB=(ADAB)2=49，
∴设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s，
∴沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，
∴S△ADE=92s，
∴S△AFDS△ADE=4s92s=89=AFAE，
∴AFAE+AFAC=AFAE⋅ACAF=ACAE=89÷23=43，
∴AEEC=3．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=12.当BF最短时，则AE的长度为（ ）
A．5B．4C．25D．213
【分析】在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得∠HGF都是定值，点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得GF和CG的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案．
【解答】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，
∵直线l∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAG＝90°，
∵EF⊥CE，tan∠ECF=12，
∴tan∠ECF=EFCE=12，
∴EFCE=AGAC=12，
∵∠CEF＝∠CAG＝90°，
∴△CEF∽△CAG，
∴CFCG=CECA，∠ECF＝∠ACG，
∴CFCE=CGCA，∠GCF＝∠ACE，
∴△GCF∽△ACE，
∴∠CGF＝∠CAE＝90°，
∴∠ACG+∠AGC＝90°，∠AGC+∠HGF＝90°，
∴∠HGF＝∠ACG，
∵tan∠ACG=AGAC=12，
∴∠ACG和∠HGF都是定值，
∴点F在射线GF上运动，
∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），延长HF，CB相交于点N，
∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°，
∴四边形ACNH是矩形，
∴HN＝AC＝4，AH＝CN，
∵BF⊥GF，∠CGF＝90°，
∴BF∥CG，
∴∠FBN＝∠GCN，
∵AH∥CN，
∴∠CGA＝∠GCN，
∴∠FBN＝∠CGA，
∵∠FNB＝∠CAG＝90°，
∴△FNB∽△CAG，
∴FNCA=BNGA，
∵AG=12AC，
∴FN＝2BN，
设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5+x，
∴FH＝4﹣2x，
∴AH＝CN＝x+5，
∴GH＝（x+5）﹣2＝x+3，
∵tan∠ACG＝tan∠HGF，
∴AGAC=FHGH，
∴24=4−2xx+3，
解得x＝1，
∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4，
∴GF=FH2+GH2=22+42=25，CG=AG2+AC2=22+42=25，
∵△GCF∽△ACE，
∴GFAE=GCAC，
∴25AE=254，
解得AE＝4，
∴当BF最短时，则AE的长度为4．
故选：B．
【点评】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段BF最短时的几何图形是解题的关键．
12．（4分）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②23＜b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣27，6＜x2＜4+27．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】首先由抛物线开口向上得到a＞0，然后由对称轴得到b＞0，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到c＜0，即可判断①；由对称轴为直线 x=−b2a=−2得到a=14b，然后将A（2，0）代入抛物线得到4a+2b+c＝0，代入得到c＝﹣3b，然后根据﹣3＜c＜﹣2得到﹣3＜﹣3b＜﹣2，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将x＝﹣2代入抛物线得到y＝﹣4b，求出ED＝4b，然后求出AE＝4，得到tan∠CAD=DEAE=4b4=b＜1得到∠ACD＝∠CAD＜45°，即可判断③；分别将b=23和b＝1代入方程ax2+（b﹣2）x+c＝0 整理求出x=4±27和x＝﹣2或6，进而求解即可．
【解答】解∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=−b2a=−2，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x=−b2a=−2，
∴a=14b，
∵A（2，0）在抛物线上，
∴4a+2b+c＝0，
∴b+2b+c＝0，
∴c＝﹣3b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣3＜﹣3b＜﹣2 3＜b＜1，故②正确；
如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c＝4a﹣2b+c，
将a=14bc＝﹣3b代入得，y＝﹣4b，
∴ED＝4b，
∵23＜b＜1，
∵对称轴为直线x＝﹣2，A（2，0），
∴AE＝4，
∴tan∠CAD=DEAE=4b4=b＜1，
∴∠CAD＜45°，
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＜45°，
∴∠ADC＞90°，
∴△ACD是钝角三角形，故③正确；
∵23＜b＜1，
∴当b=23时，a=14b=16，c＝﹣3b＝﹣2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为16x2−43x−2=0，
解得x=4±27，
∴当b＝1时，a=14b=14，c＝﹣3b＝﹣3，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为14x2−x−3=0，
解得x＝﹣2或6；
∵方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1x2（x1＜x2），
∴﹣2＜x1＜4﹣27，6＜x2＜4+27，故④正确．
综上所述，其中正确结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
13．（4分）分解因式：a2﹣a＝ a（a﹣1） ．
【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．
【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．
14．（4分）分式方程1x−2+1x=0的解为 x＝1 ．
【分析】方程两边同乘x（x﹣2），将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：1x−2+1x=0，
方程两边同乘x（x﹣2），得x+x﹣2＝0，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
15．（4分）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝ 50 °．
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC＝2∠BAC＝80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC=∠OCB=180°−80°2=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则ADDC的值为 22 ．
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质得到CE＝BE＝ME，再根据等角对等边推出AD＝AM，设BE＝ME＝x，则AD＝AM＝2x，利用勾股定理求出AB=AE2−BE2=22x即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°，
∵EF∥BD，
∴∠CEF＝∠CBA，∠FEM＝∠EMB，
由翻折得∠CEF＝∠FEM，MF＝CF，
∴∠EMB＝∠EBM，
∴CE＝BE＝ME，
∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠EBM，
∴∠ADM＝∠AMD，
∴AD＝AM，设BE＝ME＝x，则AD＝AM＝2x，AE＝AM+EM＝3x，
∴AB=AE2−BE2=22x，
∴ADCD=2x22x=22，
故答案为：22．
【点评】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，掌握以上性质是解题的关键．
17．（4分）已知a1、a2、a3、a4、a5是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5＝ 58 ．
【分析】设a1+a2+a3+a4+a5＝m，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设m﹣ai＝m﹣aj（i≠j），那么这四个不同的值可以表示为m﹣a1，m﹣a2，m﹣a3，m﹣a4（假设a5与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明3m+a5＝186，然后分四种情况解答即可．
【解答】解：设a1+a2+a3+a4+a5＝m，那么去掉a1后和为m﹣a1，去掉a2后和为m﹣a2，去掉a3后和为m﹣a3，去掉a4后和为m﹣a4，去掉a5后和为m﹣a5；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设m﹣ai＝m﹣aj（i≠j），
那么这四个不同的值可以表示为m﹣a1，m﹣a2，m﹣a3，m﹣a4（假设a5与前面某一个数相等），
∵这四个值分别是45、46、47、48，
∴（m﹣a1）+（m﹣a2）+（m﹣a3）+（m﹣a4）＝45+46+47+48＝186，即4m﹣（a1+a2+a3+a4）＝186，
∵a1+a2+a3+a4+a5＝m，
∴a1+a2+a3+a4＝m﹣a5，
∴4m﹣（m﹣a5）＝186，即3m+a5＝186，
当m﹣a5＝m﹣a1＝45时，即a5＝m﹣45，
∴3m+m﹣45＝186，解得：m=2314，不是整数，不符合题意，
当m﹣a5＝m﹣a2＝46时，a5＝m﹣46，
∴3m+m﹣46＝186，解得：m＝58，符合题意，
当m﹣a5＝m﹣a3＝4时，即a5＝m﹣47，
∴3m+m﹣47＝186，解得：m=2334，不是整数，不符合题意；
当m﹣a5＝m﹣a4＝48时，a5＝m﹣48，
∴3m+m﹣48＝186，解得：m=2344，不是整数，不符合题意；
综上，m＝58，即a1+a2+a3+a4+a5＝58，
故答案为：58．
【点评】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是 213+4 ．
【分析】先整理得AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，则CECA=CDCB，结合∠BCE＝∠ACD＝90°，整理得∠ACB＝∠ECD，证明△CED∽△ACB，即∠EDC＝∠ABC＝90°，运用即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D1，运用勾股定理得BO=BC2+OC2=213，即可作答．
【解答】解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，连接DE，
∴∠ACD＝90°，
∵△ACD面积为24，
∴AC×CD×12=24，
∴AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，
∵BC＝6，
∴BC×CE＝6×8＝48，即AC×CD＝BC×CE，
∴CECA=CDCB，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
∴∠ACB＝∠ECD，
∵CECA=CDCB，
∴△CED∽△ACB，
∴∠EDC＝∠ABC＝90°，
∵CE＝8，
即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，
记圆心为直径CE的中点O，
即⊙O的半径OD＝4，
连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D1，
此时BD1为BD的最大值，
故BO=BC2+OC2=36+16=213，
∴BD1=BO+OD1=213+4，
故答案为：213+4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以CE为直径的圆上是解题的关键．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（10分）（1）计算：4−4sin30°+|−3|；
（2）计算：（x2x−1−1x−1）•1x+1．
【分析】（1）根据算术平方根的定义、特殊角的三角函数值和绝对值的性质进行计算即可；
（2）先根据同分母分式相减法则计算括号里面的，再把括号内计算的结果的分子分解因式，最后约分即可．
【解答】解：（1）原式=2−4×12+3
=2−2+3
=3；
（2）原式=x2−1x−1⋅1x+1
=(x+1)(x−1)x−1⋅1x+1
＝1．
【点评】本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和分式的通分与约分．
20．（10分）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 100 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是 10人 ，并补全条形统计图；
（2）若七年级新生共有600人，估计有 150 人喜欢乒乓球运动；
（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率．
【分析】（1）用条形统计图中“演讲与口才”的人数除以扇形统计图中“演讲与口才”的百分比可得本次调查的学生人数；用本次调查的学生人数乘以扇形统计图中“舞蹈”的百分比可得喜爱舞蹈的学生人数，再补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用600乘以样本中喜欢乒乓球的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中甲乙两人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次共调查了5÷5%＝100（名）学生．
喜爱舞蹈的学生人数是100×10%＝10（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：100；10人．
（2）600×25100=150（人）．
∴估计有150人喜欢乒乓球运动．
故答案为：150．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中甲乙两人的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种，
∴同时选中甲乙两人的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
21．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
【分析】由平行四边形的性质推出BC∥AD，BC＝AD＝5，得到∠D＝∠FCE，由线段的中点定义得到DE＝CE，即可证明△ADE≌△FCE（ASA），推出FC＝AD＝5，即可求出BF的长．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝5，
∴∠D＝∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∠D=∠FCEDE=CE∠AED=∠AEC，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD＝5，
∴BF＝BC+FC＝5+5＝10．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由ASA判定△ADE≌△FCE．
22．（10分）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，PN所在圆的圆心为O，A、B、N、O在同一直线上．直线AP与PN所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，π≈3.14）．
（1）求圆心角∠PON的度数；
（2）求PN的弧长（结果精确到0.1米）．
【分析】（1）由圆的切线的性质得到∠APO＝90°，再由直角三角形锐角互余即可求解；
（2）先解Rt△BQO，设BQ＝x，BO＝2x，OQ=OP=3x，再解Rt△APO，得到3x8+2x=22，求出x，求出半径，再由弧长公式即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AP与PN所在⊙O相切于点P，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PON＝90°﹣∠PAO＝45°；
（2）∵直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q，
∴∠BQO＝90°，
∵∠QBO＝60°，
∴cs∠QBO=cs60°=BQBO=12，
设BQ＝x，BO＝2x，
∴OQ=OP=BO2−BQ2=3x，
∵AB＝8.0m，
∴AO＝AB+BO＝（8.0+2x）m，
∵在Rt△APO中，∠A＝45°，
∴sinA=sin45°=POAO=22，
∴3x8.0+2x=22，
解得：x=(46+8)m，
∴OP=3×(46+8)=(122+83)m，
∴PN的弧长为：45π×(122+83)180≈24.1m，
答：PN的弧长为24．lm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
23．（12分）如图，过原点O的直线与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A、B两点．一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（﹣2，1），C（﹣1，n）．
（1）求一次函数y＝mx+b的表达式，并求△AOM的面积；
（2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数y＝mx+b的解析式中求出一次函数y＝mx+b的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明∠ACB＝90°，则只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，当△OAD∽△BAC时，则ADAC=OAAB=12，此时点D为AC的中点，利用中点坐标公式可得答案当△OAD∽△CAB时，则ADAB=ODBC=OAAC，可求出AD=52，OD=35，设D（d，d+3），则(−2−d)2+(1−d−3)2=(52)2(0−d)2+(0−d−3)2=(35)2，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入到y=kx(k≠0)中得：1=k−2，
解得k ＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y=−2x，
在y=−2x中，当 x＝﹣1时，y=−2−1=2，
∴C（﹣1，2），
把A（﹣2，1），C（﹣1，2）代入到y＝mx+b中得：−2m+b=1−m+b=2，
解得m=1b=3，
∴一次函数y＝mx+b的表达式为y＝x+3，
在y＝x+3中，当y＝x+3＝0时，x＝﹣3，
∴M（﹣3，0），
∴OM＝3，
∴S△AOM=12OM⋅|yA|=12×3×1=32；
（2）∵直线AB经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B（2，﹣1），OA＝OB，
∵A（﹣2，1），C（﹣1，2），
∴AC=[−2−(−1)]2+(1−2)2=2，BC=[2−(−1)]2+(−1−2)2=32，AB=[2−(−2)]2+(−1−1)2=25，
∴AC2+BC2=(2)2+(32)2=2+18=20，AB2=(25)2=20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵BC⊥AC，
∴OA与AC不垂直，
∵△OAD与△ABC相似，
∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况，
当△OAD∽△BAC时，则ADAC=OAAB=12，∠ODA＝∠BCA＝90°，
∴AD=12AC，OD∥BC，
∴此时点D为AC的中点，
∴点D的坐标为(−32，32)，
当△OAD∽△CAB时，则ADAB=ODBC=OAAC，
AD25=OD32=52，
∴AD=52，OD=35，
设D（d，d+3），
∴(−2−d)2+(1−d−3)2=(52)2(0−d)2+(0−d−3)2=(35)2，
解得d＝3，
∴d+3＝6，
∴点D的坐标为（3，6）；
综上所述，点D的坐标为(−32，32)或（3，6）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
24．（12分）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝10，tan∠CAD=34，求DE与BD的长度；
（3）在（2）的条件下，若F为AE上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度．
【分析】（1）连接OD，可得∠ODE＝∠OED，∠ODE＝∠ADC，由直径性质，得∠ADE＝90°，可得∠ODC＝90°，即得直线BC是⊙O的切线；
（2）证明∠CAD＝∠DAE，得tan∠CAD=tan∠DAE=34，得DEAD=34，可得DE＝6，证明△BDE﹣△BAD，得BEBD=DEAD=34BE=34BD由OD2+BD2＝OB2得BD=1207；
（3）过点E作EG⊥BF于点G，则∠DGE＝90°，当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F是AE的中点，可得AF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF＝45°，求得∠EDF＝∠EAF＝45°，得到∠DEG＝45°，推出DG=EG=32，由EF=52得到FG=42，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AED＝∠ADC，
∴∠ODE＝∠ADC，
∵AE是⊙O的直径，∠ADE＝90°，
∵∠ODC＝∠ADC+∠ODA＝∠ODE+∠ODA＝90°，
∵OD是⊙O的半径；
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠ADC＝∠AED，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵tan∠CAD＝tan∠DAE＝2，tan∠DAE=DEAD，
∴DEAD=34，
∴AD=43DE，
∵AD2+DE2＝AE2AE＝10，
∴(43DE)2+DE2=102，
∴DE＝6，
∵∠BDE＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，
∴∠BDE＝∠DAE，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴BEBD=DEAD=34，
∴BE=34BD，
∵OD=OE=12AE=5，
∴OB=OE+BE=5+34BD，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴52+BD2=(5+34BD)2，
解得BD＝0（舍去）或BD=1207；
（3）过点E作EG⊥BF于点G，则∠DGE＝90°，
当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到AE的距最大，点F是AE⌢的中点，
∴AF⌢=EF⌢，
∴AF＝EF，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AEF=∠EAF=12(180°−∠AFE)=45°，
∴∠EDF＝∠EAF＝45°，
∴∠DEG＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴DG＝EG，DG2+EG2＝DE2，DE＝6，
∴DG=EG=32，
∵AE＝10，
∴EF=22AE=52，
∴FG=EF2−EG2=42，
∴DF=DG+FG=72．
【点评】本题是圆的综合题，考查了熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质是解题的关键．
25．（14分）如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标；
（3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）理解题意，分别把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c进行计算，即可作答；
（2）先得B（﹣1，0），A（3，0），再证明△DMB∽△ENB，运用DE：BE＝1：2，得DMEN=32，设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，再分别求出AC的解析式为y＝﹣x+3，BE的解析式为y=m2−m(x+1)，整理得点D（5﹣3m，3m），因为点D为抛物线上第一象限内一点，得3m＝﹣（5﹣3m）2+2（5﹣3m）+3，解得m1＝1，m2=43，即可作答；
（3）先求出F（1，4），再整理得平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+n，因为点P（m，n）在y＝﹣（x﹣1）2+4上，则（m﹣1）^{2}＝4﹣n，即N（1，﹣4+2n），故PF2＝PN2，所以△PFN是等腰三角形，再结合解直角三角函数得∠FPH=tan60°=FHHP，代入数值计算得4﹣n=3(m−1)，再运用换元法进行整理得（t−3）＝0，解得t1＝0，t2=3，平移后的抛物线解析式为y=−(x−1−3)2+1，求出x1=2+3，x2=3，即可作答．
【解答】解：（1）依题意，分别把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得0=−9+3b+c3=c，
解得b=2c=3；
（2）由（1）得b＝2，c＝3，
则y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），
令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3＝（﹣x+3）（x+1），
∴x1＝3，x2＝﹣1，
故B（﹣1，0），A（3，0），
分别过点E、D作 EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示：
∵EN⊥OA，DM⊥OA，
∴∠ENB＝∠DMB＝90°，
∵∠DBM＝∠EBN，
∴△DMB∽△ENB，
∴DMEN=BDBE，
∵DE：BE＝1：2，
∴DB：BE＝3：2，
∴DMEN=32，
设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，
设AC的解析式为y＝kx+r（k≠0），
∵C（0，3），A（3，0），
∴3=r0=3k+r，
解得r=3k=−1，
∴AC的解析式为y＝﹣x+3，
把y＝2m代入y＝﹣x+3，
得2m＝﹣x+3，
∴x＝3﹣2m，
∴E（3﹣2m，2m），
设BE的解析式为y＝tx+q（t≠0），
把E（3﹣2m，2m），B（﹣1，0）分别代入y＝tx+q，
得2m=t(3−2m)+q0=−t+q，
解得t=m2−mq=m2−m，
∴BE的解析式为y=m2−mx+m2−m=m2−m(x+1)，
依题意，把y＝3m代入y=m2−m(x+1)，
得3m=m2−m(x+1)，
则x＝5﹣3m，
即点D（5﹣3m，3m），
∵点D为抛物线上第一象限内一点，且y＝﹣x2+2x+3，
∴3m＝﹣（5﹣3m）2+2（5﹣3m）+3，
整理得3m2﹣7m+4＝（m﹣1）（3m﹣4）＝0，
∴m1=1，m2=43，
此时y=m2−m(x+1)的2﹣m≠0，
故m1＝1，m2=43是符合题意的，
当m＝1时，则5﹣3m＝5﹣3＝2，3m＝3，此时D（2，3），
当m=43时，则5﹣3m＝5﹣4＝1，3m=3×43=4此时D（1，4），
综上：D（2，3）或D（1，4）；
（3）存在，过程如下：
由（2）得y＝﹣x2+2x+3，
整理y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∵F为抛物线的顶点，
∴F（1，4），
∵平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，
连结FP、PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN＝120°，如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+n，
把x＝1代入y＝﹣（x﹣m）2+n，
得yN=−(1−m)2+n，
∵点P（m，n）在y＝﹣（x﹣1）2+4上，
∴n＝﹣（m﹣1）2+4，
∴（m﹣1）2＝4﹣n，
∴yN=−(1−m)2+n=−4+n+n=−4+2n，
∴N（1，﹣4+2n），
∵P（m，n），N（1，﹣4+2n），F（1，4），
∴PF2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2，PN2＝（m﹣1）2+[n﹣（﹣4+2n）]2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2，
则PF2＝PN2，
即PF＝PN，
∴△PFN是等腰三角形，
∵∠FPN＝120°，
∴∠EPH=12×120°=60°，
则tan∠FPH=tan60°=FHHP=4−nm−1=3，
∴4−n=3(m−1)，
令t＝m﹣1，
∴4−n=3t，
即n=−3t+4，
∵n＝﹣（m﹣1）2+4，
∴−3t+4=−t2+4，
即t2−3t=0，
∴t(t−3)=0，
∴t1=0，t2=3，
∴m﹣1＝0，或m−1=3，
∴m＝1（舍去）或m=3+1，
∴P(1+3，1)，
∴平移后的抛物线解析式为y=−(x−1−3)2+1，
令y＝0，则0=−(x−1−3)2+1，
∴(x−1−3)2=1，
即x−1−3=±1，
∴x1=2+3，x2=3，
则|x1−x2|=2+3−3=2，
∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2．
【点评】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
D
C
A
C
A
A
D
C
B
题号
12
答案
C
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）