【中考数学】2025年四川省成都市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年四川省成都市中考适应性模拟试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（ ）
A．2℃B．﹣2℃C．﹣5℃D．﹣7℃
2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x+2y＝3xyB．（x3）2＝x5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．2xy•3x＝6x2y
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（4分）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8B．10C．12D．15
6．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A．x+y=100300x+5007y=10000
B．x+y=100300y+5007x=10000
C．x+y=100300x+500y=10000
D．x+y=100300y+500x=10000
7．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
8．（4分）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为2km
B．小明在体育馆锻炼的时间为45min
C．小明家到书店的距离为1km
D．小明从书店到家步行的时间为40min
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）若ab=3，则a+bb的值为 ．
10．（4分）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
11．（4分）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 ．
12．（4分）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则电流I的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（14）﹣1−9+2cs45°+|2−2|；
（2）解不等式组：5x−1＞3(x+1)①2x−13−x2≤1②．
15．（8分）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是 ；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
16．（8分）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.73）
17．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交AC于点F．
（1）求证：BE∥CD；
（2）若sinD=23，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）．
（1）求k的值；
（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
20．（4分）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为 ．
21．（4分）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 ．
23．（4分）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110．将311拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将2k拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的45，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．
【特例感知】
（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若CQDQ=1n，求CGDG的值．（用含n的代数式表示）
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
2025年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（ ）
A．2℃B．﹣2℃C．﹣5℃D．﹣7℃
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：5﹣7＝﹣2（℃），
即傍晚的气温是﹣2℃，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的减法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
【解答】解：A．主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B．主视图是一个矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C．主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意；
D．主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是三角形，三角形的内部有一点与三角形的三个顶点相连，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x+2y＝3xyB．（x3）2＝x5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．2xy•3x＝6x2y
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式法则逐项判断即可．
【解答】解：x与2y不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
（x3）2＝x6，则B不符合题意，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则C不符合题意，
2xy•3x＝6x2y，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜0，a2+1＞0，
∴点P所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（4分）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8B．10C．12D．15
【分析】先根据“元宇宙”的人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再根据三个选项人数之和等于被调查的总人数即可求出选择“脑机接口”的人数a的值．
【解答】解：由题意知，被调查的总人数为16÷40%＝40（人），
则选择“脑机接口”的人数为40﹣（16+14）＝10（人），
故选：B．
【点评】本题主要考查统计表，解题的关键结合图标求出被调查的总人数及各项目人数之和等于总人数．
6．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A．x+y=100300x+5007y=10000
B．x+y=100300y+5007x=10000
C．x+y=100300x+500y=10000
D．x+y=100300y+500x=10000
【分析】根据等量关系：合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，即可列出方程组．
【解答】解：依题意有：x+y=100300x+5007y=10000，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．
7．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可判断．
【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，掌握以上知识点是解题关键．
8．（4分）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A．小明家到体育馆的距离为2km
B．小明在体育馆锻炼的时间为45min
C．小明家到书店的距离为1km
D．小明从书店到家步行的时间为40min
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【解答】解：由图象可知：
A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意；
B．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min），故本选项不符合题意；
C．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意；
D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min），故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）若ab=3，则a+bb的值为 4 ．
【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：∵ab=3，
∴a+bb=ab+1=3+1=4，
故答案为：4
【点评】本题主要查了比例的性质，掌握其性质是解题的关键．
10．（4分）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 3 ．
【分析】根据程序框图列出算式（15+3）÷6，进而计算即可．
【解答】解：由题意知，输入的数x＝（15+3）÷6
＝18÷6
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序框图列出算式．
11．（4分）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 2 ．
【分析】如图，连接AC，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出∠BCA的度数，进而推出△ACD为含30度角的直角三角形，进行求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝1，∠ABC=∠BCD=∠CDE=16×(6−2)×180°=120°，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
∵正六边形为轴对称图形，
∴∠CDA=12∠CDE=60°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，
12．（4分）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则电流I的值随电阻R值的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）．
【分析】依据题意，由用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则I是R的反比例函数，且k＝36＞0，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，
∴I是R的反比例函数，且k＝36＞0．
∴电流I的值随电阻R值的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 455 ．
【分析】连接AD、CD，由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，则AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，再由勾股定理求出AC=5，然后由三角形面积求出OB的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AD、CD，
由作图可知，AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分BD，
即AC⊥BD，OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC=AB2+BC2=12+22=5，
∵S△ABC=12AC•OB=12AB•BC，
∴OB=AB⋅BCAC=1×25=255，
∴BD＝2OB=455，
故答案为：455．
【点评】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、作图—基本作图以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（14）﹣1−9+2cs45°+|2−2|；
（2）解不等式组：5x−1＞3(x+1)①2x−13−x2≤1②．
【分析】（1）利用负整数指数幂，算术平方根的定义，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可；
（2）解各不等式得到对应的解集后再求得它们的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+2×22+2−2
＝4﹣3+2+2−2
＝3；
（2）解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤8，
故原不等式组的解集为2＜x≤8．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握解不等式组的方法及相关运算法则是解题的关键．
15．（8分）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是 10分 ；
（2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好；
（3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？
【分析】（1）根据极差的概念求解即可；
（2）根据算术平均数的定义列式计算出A、B平台服务态度的平均分，比较大小即可得出答案；
（3）根据加权平均数的定义列式计算，继而比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是96﹣86＝10（分），
故答案为：10分；
（2）m=17×（86+88+89+91+92+95+96）＝91，
n=17×（86+86+89+90+91+93+95）＝90，
∵91＞90，
∴平台A的服务态度更好；
（3）xA=110×（92×5+91×3+90×2）＝91.3（分），
xB=110×（95×5+90×3+88×2）＝92.1（分），
∵91.3＜92.1，
∴该公司会选择平台B．
【点评】本题主要考查极差、平均数，解题的关键是掌握极差、加权平均数和算术平均数的定义．
16．（8分）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.73）
【分析】根据题意，易得，∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60 米，分别解Rt△ACD，Rt△ABC，进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，
在Rt△ACD中，AC＝CD•tan63.4°≈120米；
在Rt△ABC中，AB=ACtan30°=1203≈207.6米，
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握以上性质是解题的关键．
17．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交AC于点F．
（1）求证：BE∥CD；
（2）若sinD=23，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长．
【分析】（1）连接OC，切线得到OC⊥CD，等边对等角得到∠OAC＝∠OCA，圆周角定理得到∠EBC＝∠CAO，∠ACB＝90°，同角的余角得到∠OCA＝∠BCD，等量代换得到∠CBE＝∠BCD，即可得证；
（2）连接AE，设半圆O的半径为r，解直角三角形OCD，求出半径的长，进而求出AB的长，平行得到∠ABE＝∠D，解直角三角形ABE，求出AE，BE的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到AEAB=EFBF，进行求解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，则OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵EC=BC，
∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD，
∵∠CAB＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠BCD，
∴BE∥CD；
（2）解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r，
∵BD＝1，
∵OD＝r+1，
∵OC⊥CD，
∴sinD=OCOD=rr+1=23，
∴r＝2，即半圆O的半径为2，
∴AB＝2r＝4，
连接AE，则：∠AEB＝90°，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠D，
∴sin∠ABE=sinD=AEAB=AE4=23，
∴AE=83，
∴BE=AB2−AE2=453，
∵EC=BC，
∴∠EAF＝∠BAF，
∴AF平分∠BAE，
∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长，
∴S△AEFS△ABF=12AE⋅EF12AB⋅EF=EFBF，
∴EFBF=AEAB=23，
∴EFBE=25，
∴EF=25BE=8515．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）．
（1）求k的值；
（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标．
【分析】（1）把B（3，0）代入y＝﹣x+b，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解；
（2）连接AD，求出点C的坐标为 （﹣1，﹣2），可得AC2＝20设点D的坐标为(m，2m)，可得到AD2=(1−m)2+(2−2m)2，CD2=(−1−m)2+(−2−2m)2，再由勾股定理求出m的值，即可求解；
（3）设点E的坐标为（t，2t），求出直线AE的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0），
∴0＝﹣3+b，
解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
把A（a，2）代入y＝﹣x+3，
得2＝﹣a+3，
解得：a＝1，
∴点A（1，2），
把点A（1，2）代入y=kx，
得k＝1×2＝2；
（2）如图，连接AD，
由（1）得：反比例函数的解析式为y=2x，
∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2），
∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），
∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20，
设点D的坐标为(m，2m)，
∴AD2=(1−m)2+(2−2m)2，CD2=(−1−m)2+(−2−2m)2，
∵∠ACD＝90°，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴(1−m)2+(2−2m)2=(−1−m)2+(−2−2m)2+20，
解得：m＝﹣4或﹣1（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，−12），
设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0）
把点（﹣4，−12）（1，2）代入得：−4k1+b1=−12k1+b1=2，
解得：k1=12b1=32
∴直线AD的函数表达式为y=12x+32；
（3）设点E的坐标为（t，2t），
设直线AE的解析式为y＝k2x+b2，
把点（t，2t），（1，2）代入，
得tk2+b2=2tk2+b2=2，
解得：k2=−2tb2=2t+2t，
∴直线AE的解析式为y=−2tx+2t+2t，
当y＝0时，0=−2tx+2t+2t，
解得x＝t+1，
∴点P的坐标为（t+1，0），
∴BP＝|t+1﹣3|＝|t﹣2|，
∴S△BEP=12×(−yE)×BP=12×(−2t)×|t−2|，
∵△BEP的面积为2，
∴12×(−2t)×|t−2|=2，
解得t=23或t＝﹣2，
∴点E的坐标为（﹣2，﹣1）或(23，3)．
【点评】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 4x（答案不唯一） （填一个即可）．
【分析】根据完全平方公式进行解答即可．
【解答】解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2，
∴加上的单项式是：4x，
故答案为：4x（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式．
20．（4分）从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为 12 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好使得关于x的方程ax2+bx+1＝0有实数解的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，因为b2﹣4a≥0，所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为36=12，
故答案为：12．
【点评】此题考查了概率公式的应用，二元一次方程组的解以及根的判别式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（4分）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 34 ．
【分析】根据菱形的判定与性质证明证明OB⊥AC，根据等边三角形的判定与性质证明∠AOB＝60°，利用特殊角的三角形函数值及垂径定理求出AC，由菱形面积公式求出菱形OABC的面积，从而求出阴影部分的面积即可．
【解答】解：如图，连接OB．
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝AB，
∴▱OABC是菱形，
∴∵OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴AC＝2OA•sin∠AOB＝2×1×32=3，
∴S菱形OABC=12AC•OB=12×3×1=32，
∴S阴影=12S菱形OABC=12×32=34．
故答案为：34．
【点评】本题考查垂径定理、菱形的性质，掌握垂径定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、菱形面积计算公式是解题的关键．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 4 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 2173 ．
【分析】作AH⊥BC．DG⊥BC．DF⊥AH，垂足分别为H．G．F，易得四边形DFHG为矩形，得到DG＝FH，DF＝HG，证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG＝DG，三线合一得到BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，证明△ADF∽△ACH，得到DFCH=ADAC=ADAD+CD=35，设DF＝3x，CH＝5x，求出DG，CG的长，正切的定义求出tan∠ACB，勾股定理求出x的值，进而求出BD的值，证明△DEC∽△BED，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形，
∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH，
∵∠DBC＝45°
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BG＝DG，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACH，
∴DFCH=ADAC=ADAD+CD=35，
∴设DF＝3x，CH＝5x，
则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x，
∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x，
∴BD=82x，
∴在Rt△CGD中，tan∠ACB=DGCG=8x2x=4，
由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22，
∴x=1717（负值舍去），
∴BD=82x=83417，BC＝2CH＝10x=101717，
∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB，
∴∠CDE＝∠CBD＝45°，
又∵∠E＝∠E，
∴△DEC∽△BED，
∴DEBE=CEDE=CDDB=283417=348，
∴DE=834CE，DE2＝BE•CE＝（BC+CE）•CE，
∴(834CE)2=(101717+CE)⋅CE，
解得：CE＝0（舍去）或CE=2173，
故答案为：4，2173．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形是解题的关键．
23．（4分）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110．将311拆分成两个单位分数相加的形式为 311=14+144 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将2k拆分成两个不同单位分数相加的形式为 2k=1k(k+1)2+1k+12 ．
【分析】先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空分别求得k＝3、5、7…2n+1对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．
【解答】解：311=1244=11+144=1144+144=14+144，
由题意，
当k＝3＝2×1+1时，23=1+36=16+12，
当k＝5＝2×2+1时，25=1+515=115+13，
当k＝7＝2×3+1时，27=1+728=128+14，
…，
当k＝2n+1时，2k=1(2n+1)(n+1)+1n+1，
又∵n=k−12，
∴对于任意奇数k（k＞2），2k=1k(k+1)2+1k+12，
故答案为：311=14+144，2k=1k(k+1)2+1k+12．
【点评】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的45，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．
（1）求每个A种挂件的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件．
【分析】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为45x元，可得30045x=200x+7，求出x后即可判断得解；
（2）依据题意，设该游客最多购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为45×25＝20元，可得25m+20（m+5）≤600，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元，
则每个B种挂件的价格为45x元，
∴30045x=200x+7．
∴x＝25．
经检验：x＝25是原方程的根．
答：每个A种挂件的价格为25元．
（2）由题意，设该游客最多购买m个A种挂件，
则购买（m+5）个B种挂件，
又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为45×25＝20元，
∴25m+20（m+5）≤600．
∴m≤50045=1009=1119．
又∵m为整数，
∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．
【特例感知】
（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若CQDQ=1n，求CGDG的值．（用含n的代数式表示）
【分析】（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，再结合平行四边形的性质可得∠PCG＝∠QFG，然后根据三角形内角和定理可得∠CQE＝∠P，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得EQ＝EP，从而得到FQ＝CP，可证明△FQG≌△CPG，从而得到FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，再由折叠的性质得：AF＝AB，再根据△CGP∽△BAP，可得AB＝12，即可求解；
（3）延长AD，EQ交于点M，设CQ＝a，BE＝b，证明△DQM∽△CQE得出DM＝2bn，证明△FEP∽△CEQ，得出PF=12a，证明△AMF∽△PEF，得出EP=3+2n2n+2b，进而求得CP=(2n+1)b2n+2，根据PC∥AD得出△GPC∽△GAD，根据相似三角形的性质，即可求解．
【解答】解：（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠PCG，
∴∠AFE＝∠PCG，
∵∠AFE＝∠QFG，
∴∠PCG＝∠QFG，
∵∠FGQ＝∠CGP，
∴∠CQE＝∠P，
∵CE＝BE，BE＝EF，
∴EF＝EC，
又∵∠CEQ＝∠FEP，
∴△EFP≌△ECQ（AAS）；
（2）∵△EFP≌△ECQ，
∴EQ＝EP，
∵EF＝EC，
∴FQ＝CP，
∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P，
∴△FQG≌△CPG（AAS），
∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，
由折叠的性质得：AF＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△CGP∽△BAP，
∴CGAB=PGAP，
∴3AB=5AB+3+5，解得：AB＝12，
∴CD＝12，
∴DQ＝CD﹣CG﹣QG＝4；
（3）如图，延长AD，EQ交于点M，
设CQ＝a，BE＝b
∴CQDQ=1n，CE＝2BE，
∴DQ＝an，EC＝2b，
∴AB＝CD＝（n+1）a，AD＝3b，
∵△ABE关于AE折叠，
∴AF＝AB＝（n+1）a，
∵AD∥BC，即DM∥EC，
∴△DQM∽△CQE，
∴DMEC=DQCQ，即DM2b=ana=n，
∴DM＝2bn
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADQ，
又∵△ABE关于AE折叠，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠AFQ+∠AFE＝180°，
∴∠AFQ+∠ADQ＝180°，
∴∠DAF+∠DQF＝180°，
∵∠EQC+∠DQF＝180°，
∴∠EQC＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠FPE，
∴∠EQC＝∠FPE，
又∵∠FEP＝∠CEQ，
∴△FEP∽△CEQ，
∴EFEC=FPCQ，即b2b=FPa，
∴PF=12a，
∵AB∥CD，
∴△AMF∽△PEF，
∴EPAM=AFPF，
∴EP(3+2n)b=(n+1)a12a，
解得：EP=3+2n2n+2b，
∴CP=EC−EP=2b−3+2n2n+2b=(2n+1)b2n+2，
又∵PC∥AD，
∴△GPC∽△GAD，
∴CGDG=CPAD=(2n+1)b2n+23b=2n+16n+6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出D，E点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，根据抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，得到抛物线与直线AB有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果；
（3）先求出C点坐标，进而求出直线PQ的解析式，联立抛物线与直线AB，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，作MH⊥CT，NF⊥CT根据TC平分∠MTN，得到tan∠NTF＝tan∠MTH，设T（1，t），根据正切的定义，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1a−b=3，
解得a=1b=−2，
y＝x2﹣2x；
（2）当k＝1时，则y＝x﹣1，
∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1，
∴D（0，﹣1），E（2，1），
∵y＝（x﹣h）2﹣1，
∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，
∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，
∴联立y=(x−ℎ)2−1y=x−1，
整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0，
∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0，
即ℎ=−14时，满足题意，
将y=(x−ℎ)2−1从ℎ=−14开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点，
∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1，
解得：ℎ=2−2或ℎ=2+2，
∴当−14≤ℎ≤2+2时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点；
（3）存在，
∵y＝kx﹣k，
∴当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∵PQ过点C，且与直线AB垂直，
∴直线PQ的解析式为：y=−1k(x−1)，即：y=−1kx+1k，
联立y=kx−ky=x2−2x，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0，
∴xA+xB＝k+2，yA+yB=kxA−k+kxB−k=k(xA+xB)−2k=k2，
∵M为AB的中点，
∴M(k+22，k22)，
联立y=−1kx+1ky=x2−2x，
同理可得：N(1−12k，12k2)，
作MH⊥CT，NF⊥CT，
∵TC 平分∠MTN，
∴∠NTF＝∠MTH，
∴tan∠NTF＝tan∠MTH，
∴MHTH=NFTF，
设T（1，t），则k+22−1t−k22=1−1+12kt−12k2，
解得：t=−12，
∴抛物线的对称轴上存在T(1，−12)，使得TC 总是平分∠MTN．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
人数
元宇宙
16
脑机接口
a
人形机器人
14
物品完好度
服务态度
物流时长
平台A
92
m
90
平台B
95
n
88
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
B
A
D
C
人数
元宇宙
16
脑机接口
a
人形机器人
14
物品完好度
服务态度
物流时长
平台A
92
m
90
平台B
95
n
88