【中考数学】2025年宁夏中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年宁夏中考适应性模拟试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A．﹣1B．−12C．12D．1
2．（3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠1＝∠4D．∠2＝∠3
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6
C．（a﹣2）2＝a2﹣4D．（a2b）2＝a4b2
4．（3分）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ）
A．主视图不变B．左视图不变
C．俯视图不变D．三种视图都不变
5．（3分）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（ ）
A．5x−45=y7x−3=yB．5x+45=y7x−3=y
C．5x+45=y7x+3=yD．5x−45=y7x+3=y
6．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．若点P（a，b）关于x轴的对称点在第二象限，则b＜0
B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C．4的平方根是2
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．（3分）函数y=k1x(k1≠0)和y=k2x(k2≠0)的部分图象如图所示，点A在y=k1x的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交y=k2x的图象于点B．若AC＝3BC，则k1k2的值为（ ）
A．﹣3B．−13C．13D．3
8．（3分）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数
B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数
D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：327= ．
10．（3分）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是 ．
11．（3分）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 ．
12．（3分）不等式组1+2x＜5x−12≤2的解集是 ．
13．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ °．
14．（3分）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx＝ ．
15．（3分）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
16．（3分）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B坐标为（24，﹣10）．将一根长度为14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 cm．（结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计）
三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：|1−8|−4sin30°+(13)−1．
18．（6分）化简求值：(aa−1−aa+1)÷a2a2−1，其中a=23．
19．（6分）如图，点P在直线l外．
①在直线l上任取一点A，连接AP；
②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；
③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ；
④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；
⑤连接CB，CP．
（1）由②得AP与AB的数量关系是 ；由③得到的结论是 ．
（2）求证：四边形ABCP是菱形．
20．（6分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 ；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
21．（6分）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
22．（6分）如图，在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．△ABC的顶点、点D和点E都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点D作BC的垂线段；
（2）过点E作BC的平行线．
23．（8分）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是 ．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
根据以上信息，解答问题：
（1）甲样本中13≤x＜15组的频率是 ；
（2）补全乙样本的频数分布直方图．
【分析与应用】
（1）填表：
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如11≤x＜13的中间值为11+132=12）
（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数；
（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BDC；
（2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：ACAB+AD=BCBD．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围；
（3）如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
26．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＜AC．连接BD，点F是BD的中点，连接CE，CF，EF．
（1）如图1，当点D在AC上时，求证：△CEF是等边三角形；
（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．
①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE＝3，则EM＝ ．
2025年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
1．（3分）如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A．﹣1B．−12C．12D．1
【分析】根据数轴分析即可．
【解答】解：由数轴得：点A表示的数在﹣1到0之间，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．
2．（3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠1＝∠4D．∠2＝∠3
【分析】根据同位角相等，两直线平行，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果．
【解答】解：∠1＝∠2（对顶角相等），不符合“同位角相等，两直线平行”，故A选项错误，不符合题意；
∠1≠∠3，故B选项错误，不符合题意；
∠1＝∠4，符合“同位角相等，两直线平行”，得到l1∥l2，故C选项正确，符合题意；
∠2≠∠3，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6
C．（a﹣2）2＝a2﹣4D．（a2b）2＝a4b2
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，因此选项A不符合题意；
B．a2•a3＝a5，因此选项B不符合题意；
C．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，因此选项C不符合题意；
D．（a2b）2＝a4b2，因此选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键．
4．（3分）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ）
A．主视图不变B．左视图不变
C．俯视图不变D．三种视图都不变
【分析】明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．
【解答】解：选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误．
选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确．
选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误．
选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．
5．（3分）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（ ）
A．5x−45=y7x−3=yB．5x+45=y7x−3=y
C．5x+45=y7x+3=yD．5x−45=y7x+3=y
【分析】明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的45钱＝羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱＝羊价．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
根据题意，得：5x+45=y7x+3=y，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系是解题的关键．
6．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．若点P（a，b）关于x轴的对称点在第二象限，则b＜0
B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C．4的平方根是2
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】据关于x轴对称的点的坐标特征和第二象限点的坐标特征对A进行判断；根据中心投影的定义判断B即可；根据平方根的定义判断C即可；根据垂线的性质判断选项D即可．
【解答】解：若点P（a，b）关于x轴的对称点在第二象限，则b＜0，故选项A符合题意；
夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由长变短，故选项B不符合题意；
4的平方根是±2，故选项C不符合题意；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．（3分）函数y=k1x(k1≠0)和y=k2x(k2≠0)的部分图象如图所示，点A在y=k1x的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交y=k2x的图象于点B．若AC＝3BC，则k1k2的值为（ ）
A．﹣3B．−13C．13D．3
【分析】连接OA、OB，由AC＝3BC、AB∥y轴得到S△OAC＝3S△OBC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OAC，继而求出S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
由条件可知OC⊥AB，
∴S△OAC＝3S△OBC．
由条件可知S△OAC=k12，
∴S△OBC=k16，
∴12|k2|=k16且k2＜0，
∴−k22=k16，
∴k1k2=−62=−3．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数
B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数
D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数
【分析】延长DC交EF于点H，根据三角函数的定义得到CH=EHtan∠ECH，DH=EHtan∠EDH，由CD＝DH﹣CH，求出EH，即可求出EF，即可得到答案．
【解答】解：如图，延长DC交EF于点H．
由题意知CD＝AB，FH＝1.5+2＝3.5（米），
在Rt△ECH中，∠AHC＝90°，tan∠ECH=EHCH，
∴CH=EHtan∠ECH，
在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，tan∠EDH=EHDH，
∴DH=EHtan∠EDH，
∵CD＝DH﹣CH，
∴EHtan∠EDH−EHtan∠ECH=AB，
∴EH=AB⋅tan∠ECH⋅tan∠EDHtan∠ECH−tan∠EDH，
∴EF＝EH+FH＝（AB⋅tan∠ECH⋅tan∠EDHtan∠ECH−tan∠EDH3.5）（米）．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：327= 3 ．
【分析】如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a，由此即可得到答案．
【解答】解：327=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
10．（3分）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是 x=4y=6 ．
【分析】依据题意，可得关于x，y的方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解即为直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的交点A（4，6）的坐标．
【解答】解：由图象知直线y＝k1x+b1与y＝k2x+b2相交于点A（4，6），
∴关于x，y的方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=4y=6．
故答案为：x=4y=6．
【点评】本题主要考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
11．（3分）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 13 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，随机抽取两名恰好选择同一个社团的有3种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“器乐文艺社团”、“舞蹈文艺社团”、“声乐文艺社团”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，随机抽取两名恰好选择同一个社团的有3种情况，
∴他们恰好参加同一社团的概率为：39=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）不等式组1+2x＜5x−12≤2的解集是 x＜2 ．
【分析】先解一元一次不等式，再得出解集．
【解答】解：1+2x＜5①x−12≤2②，
由①得：x＜2，
由②得：x≤5，
∴x＜2，
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式是解题的关键．
13．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 117 °．
【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆，得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，进而得出∠ABC+∠ACB＝126°，即可得出答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠A＝54°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣2（∠ABC+∠ACB）
=180°−12×126°
＝117°，
故答案为：117．
【点评】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，掌握其性质是解题的关键．
14．（3分）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx＝ 1 ．
【分析】根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出x、y，再根据零指数幂计算，得到答案．
【解答】解：由题意得：x−1=y+5y−2+2=−1−2−3，
解得：x=0y=−6，
则yx＝（﹣6）0＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是位似变换、有理数的加法，正确列出方程组、熟记零指数幂的运算是解题的关键．
15．（3分）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 24n 步．
【分析】由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：360°÷15°＝24，
则第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步，
故答案为：24n．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
16．（3分）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B坐标为（24，﹣10）．将一根长度为14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 2 cm．（结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计）
【分析】由题意得出圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，计算出笔筒的底面圆直径为8cm，再由勾股定理求出铅笔放入笔筒内最长为12.8cm，即可得出结果．
【解答】解：由题意得：圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，
∴笔筒的底面圆直径为：24π=243=8（cm），
铅笔放入笔筒内最长为：102+82≈12.8（cm），
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6﹣12.8≈2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、坐标与图形的性质、几何体的展开图等知识，熟练掌握圆周长的计算和勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：|1−8|−4sin30°+(13)−1．
【分析】先化简，再计算即可．
【解答】解：|1−8|−4sin30°+(13)−1
=22−1−4×12+3
=22．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．（6分）化简求值：(aa−1−aa+1)÷a2a2−1，其中a=23．
【分析】先化简分式，再代入求值．
【解答】解：(aa−1−aa+1)÷a2a2−1
=a(a+1)−a(a−1)(a−1)(a+1)×(a−1)(a+1)a2
=2a，
当a=23时，原式=223=33．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简是解题的关键．
19．（6分）如图，点P在直线l外．
①在直线l上任取一点A，连接AP；
②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；
③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ；
④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；
⑤连接CB，CP．
（1）由②得AP与AB的数量关系是 AP＝AB ；由③得到的结论是 AQ平分∠PAB ．
（2）求证：四边形ABCP是菱形．
【分析】（1）利用作图痕迹判断即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：由②得AP与AB的数量关系是AP＝AB；由③得到的结论是AQ平分∠PAB．
故答案为：AP＝AB，AQ平分∠PAB．
（2）证明：由作图可知PA＝AB＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
由作图可知AQ平分∠PAB，
∴∠PAC＝∠CAB，
∴∠PCA＝∠CAB，
∴PC∥AB，
∵PC＝AB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP＝AB，
∴四边形ABCP是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
20．（6分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ 不是 ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 b﹣c＝a ；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【分析】若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”，因为6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，更具“极差数”的定义，可得b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为abc（a、b、c为正整数），b﹣c＝a，b＝a+c，abc=100a+10b+c＝11（10a+c），因为11（10a+c）能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除．
【解答】解：6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
故答案为：不是．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为：b﹣c＝a．
故答案为：b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为abc（a、b、c为正整数），
所以b﹣c＝a，b＝a+c，
所以abc=100a+10b+c
＝100a+10（a+c）+c
＝100a+10a+10c+c
＝110a+11c
＝11（10a+c），
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
即任意一个“极差数”都能被11整除．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“极差数”的定义列式解答．
21．（6分）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设大号编织x个，小号编织y个，根据编织这种中国结恰用绳25米，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（2）设大号编织a个，则小号编织（350﹣a）个，根据计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，列出一元一次不等式，解得a≤150，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设大号编织x个，小号编织y个，
由题意得：4x+3y＝25，
∴y=253−43x，
∵x、y均为正整数，
∴x=1y=7或x=4y=3，
答：大号编织1个、小号编织7个或大号编织4个、小号编织3个；
（2）设大号编织a个，则小号编织（350﹣a）个，
由题意得：4a+3（350﹣a）≤1200，
解得：a≤150，
设总利润为w元，
由题意得：w＝120+8（350﹣m）＝4m+2800，
∵4＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝150时，w取得最大值，最大值＝4÷150+2800＝3400，
答：当大号编织150个时总利润最大，最大利润是3400元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
22．（6分）如图，在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．△ABC的顶点、点D和点E都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点D作BC的垂线段；
（2）过点E作BC的平行线．
【分析】（1）根据垂线段的定义画出图形；
（2）取格点T，组哟直线ET即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；
（2）如图，直线ET即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23．（8分）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是 B ．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
根据以上信息，解答问题：
（1）甲样本中13≤x＜15组的频率是 0.45 ；
（2）补全乙样本的频数分布直方图．
【分析与应用】
（1）填表：
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如11≤x＜13的中间值为11+132=12）
（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数；
（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．
【分析】【调查与收集】利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断；
【整理与描述】（1）根据频率的定义计算甲样本中13≤x＜15组的频率；
（2）先计算出乙样本17≤x＜19组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图；
【分析与应用】（1）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可；
（2）根据两者的方差提出建议即可．
【解答】解：【调查与收集】
为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，所以应该随机抽取100株作为样本．故选：B；
【整理与描述】
（1）甲样本中13≤x＜15组的频率=45100=0.45；
（2）乙样本总频数为100，已知各组频数为9（11≤x＜13），34（13≤x＜15），25（15≤x＜17），7（19≤x＜21），
则17≤x＜19组的频数为：100﹣（9+34+25+7）＝25．
补全乙样本的频数分布直方图：
【分析与应用】
（1）（1）∵甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，
∴甲样本平均数=7×12+45×14+15×16+20×18+13×20100=15.74；
∵乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，
前两组频数和为9+34＝43，前三组频数和为43+25＝68，
∴第50、51个数据落在15≤x＜17组，
故乙样本中位数出现的组别落在15≤x＜17组，
填表如下：
（2）估计甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数：
甲样本中19≤x＜21组频数为13，频率为13100=0.13，
试验田甲种葡萄树共500株，
故估计株数为500×0.13＝65（株）；
（3）合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种葡萄树的方差（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术．
【点评】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BDC；
（2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：ACAB+AD=BCBD．
【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠DAC＝∠BAC，根据圆周角定理得DC=BC，则∠CBD＝∠CDB；
（2）由∠ADC+∠ABC＝180°，∠EBC+∠ABC＝180°，推导出∠ADC＝∠EBC，而DC＝BC，AD＝EB，可证明△ADC≌△EBC，得AD＝EB，∠DAC＝∠E，则AE＝AB+AD，因为∠DAC＝∠BDC，所以∠E＝∠BDC，再证明∠EAC＝∠DBC，进而证明△EAC∽△DBC，得ACBC=AEBD，则ACAB+AD=BCBD．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴DC=BC，
∴∠CBD＝∠CDB．
（2）∵DC=BC，
∴DC＝BC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵点E在AB的延长线上，
∴∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠EBC，
在△ADC和△EBC中，
DC=BC∠ADC=∠EBCAD=EB，
∴△ADC≌△EBC（SAS），
∴AD＝EB，∠DAC＝∠E，
∴AE＝AB+EB＝AB+AD，
∵∠DAC＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，
∴∠EAC＝∠DBC，
∴△EAC∽△DBC，
∴ACBC=AEBD，
∴ACAE=BCBD，
∴ACAB+AD=BCBD．
【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADC≌△EBC及△EAC∽△DBC是解题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围；
（3）如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用顶点横坐标为﹣1和公式x=−b2a求出参数a，进而得到抛物线表达式；
（2）先求点A和B的坐标，确定直线AB方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式≥0求m的范围（注意m＞0）；
（3）先求对称轴与直线AB的交点D及顶点C，计算S△CAD设点P坐标，利用面积公式S△PAD＝S△CAD列方程，得到绝对值方程并求解，排除与C重合的点，得出横坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点横坐标为﹣1，
∴由顶点公式x=−b2a，其中b＝﹣2，即−−22a=−1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，即x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1（正半轴，不合题意，舍去），故A（﹣3，0），
当x＝0时，y＝3，
故B（0，3），
设直线AB的方程为y＝kx+b，
将点A（﹣3，0）与点B（0，3）代入得b＝3，k＝1，
∴直线AB的方程为y＝x+3，
向上平移m个单位后，直线方程为y＝x+3+m，
与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3联立：﹣x2﹣2x+3＝x+3+m，
整理得：x2+3x+m＝0，
抛物线与直线有交点时，Δ＝32﹣4×1×m＝9﹣4m≥0，
解得m≤94，
又m＞0，
∴m的取值范围为0＜m≤94；
（3）抛物线对称轴为x＝﹣1．直线AB：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，故D（﹣1，2）．
顶点C：当x＝﹣1，y＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4，
故C（﹣1，4）．点A（﹣3，0）．
S△CAD=12×CD×AE=12×(4−2)×2=2，
设P（x，y）在抛物线上，y＝﹣x2﹣2x+3，如图，
情况1：过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P，此时S△PAD＝S△CAD＝2（同底等高），
因OA＝OB，且PC∥AB，故可设直线PC的解析式为y＝x+t，
将点C（﹣1，4）代入求得t＝5，即PC的解析式为y＝x+5，
联立抛物线方程y=−x2−2x+3y=x+5，
解得：x=−2y=3（另一解为点C的坐标值），
可解得点P坐标为（﹣2，3）；
情况2：过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2，因CD＝DE，即直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离，
∴此时存在满足条件的点，
由于直线P1P2相较于直线AB，向下平移了4个单位，故解析式为y＝x+1，
联立抛物线方程y=−x2−2x+3y=x+1，
消去y并整理得：x2+3x﹣2＝0，
∴x=−3±172，
即点P1的横坐标是−3−172，点P2的横坐标是−3+172，
∴存在点P，横坐标为﹣2，−3+172，−3+172，−3−172．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质（包括顶点坐标、与坐标轴交点求解）、直线与抛物线的位置关系（交点存在性条件）、三角形面积的计算（基于坐标公式）以及面积相等的点的存在性问题，解题的关键是熟练掌握顶点横坐标公式x=−b2a求解析式，利用判别式分析直线与抛物线的交点范围，灵活运用三角形面积坐标公式，以及通过解绝对值方程和分类讨论处理面积相等条件．
26．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＜AC．连接BD，点F是BD的中点，连接CE，CF，EF．
（1）如图1，当点D在AC上时，求证：△CEF是等边三角形；
（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．
①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE＝3，则EM＝ 3 ．
【分析】（1）由直角三角形斜边中线性质可得在Rt△BCD中，CF=BF=DF=12BD，在 Rt△BED 中，EF=BF=DF=12BD，得出CF＝EF，∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，再证明∠EFC＝60°，即可得出结论；
（2）①延长DE交AB于点D，分别延长AD，BC相交于点B，先证明△AED≌△AED（ASA），可得DE＝D′E，同理可得△ABC≌△ABC，BC＝BC，再利用中位线的性质可得结论；
②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，由△CEF是等边三角形，可得EF＝CE，可得EF最大时，即CE取得最大值时，当A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大，再求解即可．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ADE 中∠AED＝90°，
∴∠BED＝90°，
∵在Rt△ABC中∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵点F是BD的中点，
∴在Rt△BCD中，CF=BF=DF=12BD，在Rt△BED 中，EF=BF=DF=12BD，
∴CF＝EF，∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2∠ABC＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
（2）①（1）中的结论还成立，理由如下：
如图，延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'，
由旋转角为60°可得∠EAD＝60°
∴∠EAD＝∠EAD'＝60°，
又∵∠AED＝∠AED'＝90°，AE＝AE，
∴△AED≌△AED'（ASA），
∴DE＝D'E，
∵DF＝BF，
∴EF是△DBD'的中位线，
∴EF∥AB'，
∴∠FEC＝∠B'AC＝60°，
同理可得△ABC≌△AB'C
∴BC＝B'C，
∵DF＝BF，
∴FC是△BDB'的中位线，
∴CF∥AB'，
∴∠FCA＝∠B'AC＝60°，
∴△CEF是等边三角形；
②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，
∵△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴EF最大时，即CE取得最大值时，
∴当A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大，
即△ADE绕点A顺时针旋转240度时，EF最大，
延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'，
由①得FC是△BDB'的中位线，EF是△DBD'的中位线，
∴CF∥DB'，EF∥BD'，
∴∠MAE＝∠FCE＝60°，∠MEA＝∠BAC＝60°
∴△MAE是等边三角形，
∴EM＝AE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造中位线解决问题，属于中考压轴题．
x/kg
11≤x＜13
13≤x＜15
15≤x＜17
17≤x＜19
19≤x＜21
频数
7
45
15
20
13
样本
平均数（kg）
中位数出现的组别
方差
甲
13≤x＜15
5.73
乙
15.74
4.85
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
C
A
A
D
x/kg
11≤x＜13
13≤x＜15
15≤x＜17
17≤x＜19
19≤x＜21
频数
7
45
15
20
13
样本
平均数（kg）
中位数出现的组别
方差
甲
13≤x＜15
5.73
乙
15.74
4.85
样本
平均数（kg）
中位数出现的组别
方差
甲
15.74
13≤x＜15
5.73
乙
15.74
15≤x＜17
4.85