【中考数学】2025年江苏省苏州市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年江苏省苏州市中考适应性模拟试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5B．4C．3D．﹣1
2．（3分）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）据人民网消息，2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出口40317000万元，创历史同期新高，同比增长11.5%．数据40317000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.40317×108B．4.0317×107
C．40.317×106D．40317×103
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3B．a6÷a2＝a3
C．（ab）2＝a2b2D．（a3）2＝a5
5．（3分）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
6．（3分）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35，则红球的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（ ）
A．333m/sB．339m/sC．341m/sD．342m/s
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（ ）
A．A′D∥BE
B．A'C=2A'D
C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积
D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。
9．（3分）因式分解：x2﹣9＝ ．
10．（3分）某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：71，71，65，71，64，66．这组数据的众数为 ．
11．（3分）若y＝x+1，则代数式2y﹣2x+3的值为 ．
12．（3分）过A，B两点画一次函数y＝﹣x+2的图象，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为 （填一个符合要求的点的坐标即可）．
13．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ ．
14．（3分）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为 m．（结果保留π）
15．（3分）如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝ .（结果保留根号）
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为 ．
三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
17．（5分）计算：|﹣5|+32−16．
18．（5分）解不等式组：3x+1＞x−3x−12＞x3．
19．（6分）先化简，再求值：（2x−1+1）•x2−xx2+2x+1，其中x＝﹣2．
20．（6分）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织”立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看．
（1）甲同学选择A电影的概率为 ；
（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
21．（6分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．
（1）求证：△DAC≌△ECB；
（2）连接DE，若AB＝16，求DE的长．
22．（8分）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表
根据提供的信息回答问题：
（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在 组（填组别）；
（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数．
23．（8分）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．
24．（8分）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）．
①求线段AD的长；（结果保留根号）
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=10，sin∠AED=1010，求BE的长．
26．（10分）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）：
（1）机器人乙运动的路线长为 m；
（2）求t2﹣t1的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值．
27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点．
（1）求直线BC对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值．
2025年江苏省苏州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。
1．（3分）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5B．4C．3D．﹣1
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．5＞2，故不符合题意；
B．4＞2，故不符合题意；
C．3＞2，故不符合题意；
D．﹣1＜2，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案．
【解答】解：将直角三角形绕其一条直角边所在直线l旋转一周，得到的几何体是圆锥，
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．
3．（3分）据人民网消息，2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出口40317000万元，创历史同期新高，同比增长11.5%．数据40317000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.40317×108B．4.0317×107
C．40.317×106D．40317×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：40317000＝4.0317×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3B．a6÷a2＝a3
C．（ab）2＝a2b2D．（a3）2＝a5
【分析】利用同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a•a3＝a4，则A不符合题意，
a6÷a2＝a4，则B不符合题意，
（ab）2＝a2b2，则C符合题意，
（a3）2＝a6，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【分析】利用平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，进而得出答案．
【解答】解：∵使公路准确接通，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝110°．
即∠α的度数应为110°．
故选：C．
【点评】本题主要考查方向角，灵活利用平行线的性质是解题的关键．
6．（3分）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35，则红球的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设红球的个数为x个，根据概率公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：设红球的个数为x个，
由题意得：33+x=35，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
即红球的个数为2个，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
7．（3分）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（ ）
A．333m/sB．339m/sC．341m/sD．342m/s
【分析】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可．
【解答】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝336分别代入v＝at+b，
得b=33010a+b=336，
解得a=0.6b=330，
∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330，
当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339，
∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（ ）
A．A′D∥BE
B．A'C=2A'D
C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积
D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积
【分析】连接AA′交BE于点L，由正方形的性质得∠BAD＝∠ADC＝90°，因为E为边AD的中点，所以AE＝DE，由翻折得A′E＝AE＝DE，BE垂直平分AA′，则∠ALE＝90°，可证明∠AA′D＝90°，则A′D∥BE，可判断A正确；作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，由A′H∥AD，得∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，则DHA′H=tan∠DA′H＝tan∠ADA′=AA′A′D=tan∠AEB=ABAE=2，则DH＝2A′H＝2m，求得A′D=5m，AB＝CD＝AD＝5m，则CH＝3m，所以A′C=10m，则A′C=2A′D，可判断B正确；求得AA′＝25m，则S△A′AD＝5m2，所以S△A′DE=52m2，而S△A′CD=52m2，则S△A′CD＝S△A′DE，可判断C正确；因为AE=52m，所以S△A′BE＝S△ABE=254m2，求得S四边形A′BED=354m2，由S正方形ABCD＝25m2，求得S△A′BC=152m2，所以S四边形A′BED≠S△A′BC，可判断D不正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AA′交BE于点L，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵E为边AD的中点，
∴AE＝DE=12AD=12AB，
∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，
∴A′E＝AE＝DE，点A′与点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AA′，
∴∠ALE＝90°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′，
∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′=12×180°＝90°，
∴∠AA′D＝∠ALE，
∴A′D∥BE，
故A正确；
作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，则∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°，
∴A′H∥AD，
∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，
∴DHA′H=tan∠DA′H＝tan∠ADA′=AA′A′D=tan∠AEB=ABAE=2，
∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE，
∴A′D=A′H2+DH2=m2+(2m)2=5m，AD=A′D2+AA′2=A′D2+(2A′D)2=5A′D，
∴AB＝CD＝AD=5×5m＝5m，
∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m，
∴A′C=A′H2+CH2=m2+(3m)2=10m，
∴A′CA′D=10m5m=2，
∴A′C=2A′D，
故B正确；
∵AA′＝2A′D＝25m，
∴S△A′AD=12×5m×25m＝5m2，
∴S△A′DE＝S△A′AE=12S△A′AD=52m2，
∵S△A′CD=12×5m2=52m2，
∴S△A′CD＝S△A′DE，
故C正确；
∵AE=12AD=52m，
∴S△A′BE＝S△ABE=12×5m×52m=254m2，
∴S四边形A′BED=254m2+52m2=354m2，
∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2，
∴S△A′BC＝25m2﹣2×254m2﹣2×52m2=152m2，
∴S四边形A′BED≠S△A′BC，
故D不正确，
故选：D．
【点评】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、同角的余角相等、平行线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上。
9．（3分）因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．（3分）某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：71，71，65，71，64，66．这组数据的众数为 71 ．
【分析】根据众数的定义直接求解即可．
【解答】解：∵71出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是71；
故答案为：71．
【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键；众数是一组数据中出现次数最多的数．
11．（3分）若y＝x+1，则代数式2y﹣2x+3的值为 5 ．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵2y﹣2x+3＝﹣2x+2y+3，
∵y＝x+1，
∴y﹣x＝1，
∴当y﹣x＝1时，原式＝﹣2x+2y+3＝2（y﹣x）+3＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
12．（3分）过A，B两点画一次函数y＝﹣x+2的图象，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为 （1，1）（答案不唯一） （填一个符合要求的点的坐标即可）．
【分析】代入x＝1，求出y的值，进而可得出点B的坐标可以为（1，1）．
【解答】解：当x＝1时，y＝﹣1×1+2＝1，
∴点B的坐标可以为（1，1）．
故答案为：（1，1）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
13．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ ﹣3 ．
【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2，结合x1＝1，即可求出x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，
又∵x1＝1，
∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于−ba”是解题的关键．
14．（3分）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为 40π m．（结果保留π）
【分析】先根据题意求出∠AOB的度数，再求出圆O的半径，利用弧长公式进行求解即可；
【解答】解：由题意得∠AOB＝360°×1030=120°，
圆O的半径为128﹣68＝60（m），
∴该轿厢所经过的路径（即AB）长度为120π×60180=40π（m），
故答案为：40π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
15．（3分）如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝ 55 .（结果保留根号）
【分析】过点B作BD⊥OC于点D，由作图过程得OC平分MON，得∠BOD=12∠MON＝30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出CD，然后利用锐角三角函数定义即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OC于点D，
由作图过程可知：OC平分MON，
∴∠BOD=12∠MON＝30°，
∴BD=12OB=12×2＝1，
∵BC=6，
∴CD=BC2−BD2=6−1=5，
∴tan∠BCO=BDCD=15=55，
故答案为：55．
【点评】本题考查作图—基本作图，解直角三角形，勾股定理，掌握基本作图方法是解答本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为 34 ．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC 得到AH=332，证明△DAC∽△FAD，可得AF=AD2AC=AD23，根据CF＝AC﹣AF可知，当AF有最小值时，CF有最大值，当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，可求出AF的最小值为94，则CF的最大值为4−94=34．
【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，
∴AH＝AC•sinC=332，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°＝∠C，
又∵∠DAC＝∠FAD，
∴△DAC∽△FAD，
∴AFAD=ADAC，
∴AF=AD2AC=AD23，
∵CF＝AC﹣AF，
∴当AF有最小值时，CF有最大值，
∴当AD有最小值时，AF有最小值，
∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，
∴AD的最小值为332，
∴AF的最小值为(332)23=94，
∴CF的最大值为4−94=34，
故答案为：34．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，掌握以上性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
17．（5分）计算：|﹣5|+32−16．
【分析】利用绝对值的性质，有理数的乘方法则，算术平方根的定义计算后再算加减即可．
【解答】解：原式＝5+9﹣4
＝14﹣4
＝10．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）解不等式组：3x+1＞x−3x−12＞x3．
【分析】先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀“同大取大”，判断不等式组的解集即可．
【解答】解：3x+1＞x−3①x−12＞x3②，
由①得：3x﹣x＞﹣3﹣1，
2x＞﹣4，
x＞﹣2．
由②得：3（x﹣1）＞2x，
3x﹣3＞2x，
3x﹣2x＞3，
x＞3，
∴不等式组的解集是x＞3．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．
19．（6分）先化简，再求值：（2x−1+1）•x2−xx2+2x+1，其中x＝﹣2．
【分析】将括号内的分式通分并计算，然后算乘法并约分，最后将已知数值代入化简结果中计算即可．
【解答】解：（2x−1+1）•x2−xx2+2x+1
=2+x−1x−1⋅x(x−1)(x+1)2
=x+1x−1•x(x−1)(x+1)2
=xx+1；
当x＝﹣2时，
原式=−2−2+1=2．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（6分）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织”立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看．
（1）甲同学选择A电影的概率为 13 ；
（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵现有A，B，C共3部电影，
∴甲同学选择A电影的概率为13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，
∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为69=23．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．
（1）求证：△DAC≌△ECB；
（2）连接DE，若AB＝16，求DE的长．
【分析】（1）根据CD∥BE得∠DCA＝∠B，根据点C是线段AB的中点得AC＝CB=12AB，由此可依据“ASA”判定△DAC和△ECB全等，
（2）根据AB＝16得AC＝CB=12AB＝8．根据全等三角形性质得CD＝BE，再根据CD∥BE得四边形BCDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵CD∥BE，
∴∠DCA＝∠B，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB=12AB，
在△DAC和△ECB中，
∠A=∠ECBAC=CB∠DCA=∠B，
∴△DAC≌△ECB（ASA）；
（2）解：∵AB＝16，
∴AC＝CB=12AB＝8，
由（1）可知：△DAC≌△ECB，
∴CD＝BE，
又∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∴DE＝BC＝8．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解决问题的关键．
22．（8分）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表
根据提供的信息回答问题：
（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在 C 组（填组别）；
（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数．
【分析】（1）用“20≤x＜40”的频数除以其频率可得样本容量，进而得出“80≤x＜100”的频数，再把频数分布直方图补充完整即可；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）样本容量为：8÷0.16＝50，
“80≤x＜100”的频数为：50﹣8﹣12﹣15﹣5＝10，
把频数分布直方图补充完整如下：
（2）由统计图可知，把50个数据从小到大排列，排在第25和26个数均落在C组，
所以调查所得数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）0.30+0.20+0.10＝0.60，
750×0.60＝450（人）．
答：该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60min的学生人数约为450人．
【点评】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表以及中位数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．（8分）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．
【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得点A的坐标为（﹣2，0），令x＝0得点B的坐标为（0，4）；
（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，由△BCD是以BD为底边的等腰三角形可得BE＝DE=k8，从而C（k8，8），根据点C在一次函数y＝2x+4的图象上，有8＝2×k8+4，
即可解得k＝16．
【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，
∴CB＝CD，
∵CE⊥BD，
∴BE＝DE，
在y=kx中，令y＝4得x=k4，
∴D（k4，4），
∴BE＝DE=k8，
在y=kx中，令x=k8得y＝8，
∴C（k8，8），
∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上，
∴8＝2×k8+4，
解得k＝16，
∴k的值为16．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数和一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用等，解题的关键是用方字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
24．（8分）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图②）．
①求线段AD的长；（结果保留根号）
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠ABC＝45°，再求出∠CDE＝60°，然后根据三角形的外角性质即可得∠AFD＝15°，最后根据解直角三角形可得AC，CD的长，根据线段的和差即可得；
（2）①过点C作CG⊥DE，垂足为G，先解直角三角形可得CG，DG的长，再利用勾股定理可得AG的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得∠CAG＝∠ACG＝45°，则可得∠DAB＝90°，由此即可得．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠AFD＝∠CDE﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，
在Rt△ABC中，AC=AB⋅sin∠ABC=12×22=62(cm)，
在Rt△CDE 中，CD=CE⋅tanE=12×33=43(cm)，
∴AD=AC−CD=(62−43)cm；
（2）①如图，过点C 作CG⊥DE，垂足为G，
∵△CDG 中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，CD=43cm，
∴DG=CD⋅cs∠CDE=23cm，CG＝CD•sin∠CDE＝6cm，
∵△CGA中，∠CGA＝90°，CA=62cm，CG＝6cm，
∴AG=AC2−CG2=6cm，
∴AD=AG+DG=(6+23)cm；
②AB⊥DE，理由如下：
∵在 Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，
∴∠CAG＝∠ACG＝45°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝∠CAG+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴AB⊥DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=10，sin∠AED=1010，求BE的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，由BD＝CD，得∠C＝∠DBC，而∠C＝∠BAD，则∠DBC＝∠BAD，所以∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，即可证明BC为⊙O的切线；
（2）作DF⊥BC于点F，则BF＝CF，DF∥AB，由∠ABD＝∠AED，AB=10，得ADAB=sin∠ABD＝sin∠AED=1010，求得AD＝1，则BD=AB2−AD2=3，由∠BDF＝∠ABD，得BFBD=sin∠BDF＝sin∠ABD=1010，则BF=1010BD=31010，再证明∠BEC＝∠C，则BE＝BC＝2BF=3105．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BAD，
∴∠DBC＝∠BAD，
∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，
∴DF∥AB，
∵∠ABD＝∠AED，AB=10，
∴ADAB=sin∠ABD＝sin∠AED=1010，
∴AD=1010AB=1010×10=1，
∴BD=AB2−AD2=(10)2−12=3，
∵∠BDF＝∠ABD，
∴BFBD=sin∠BDF＝sin∠ABD=1010，
∴BF=1010BD=1010×3=31010，
∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝2BF＝2×31010=3105，
∴BE的长是3105．
【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
26．（10分）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）：
（1）机器人乙运动的路线长为 55 m；
（2）求t2﹣t1的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求得BD＝CD＝AD＝25，得到∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，推出sin∠ABD=sin∠BAC=35，sin∠DBC=sinC=45，分当点Q在BC上和点Q在CD上时，两种情况讨论，分别求得t1＝2，t2=236，据此求解即可；
（3）根据题意求得d1＝24﹣3t，分当点Q在BC上和点Q在CD上时两种情况讨论，列式一元一次方程方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，
∴AC=302+402=50m，
∵D为AC中点，
∴CD=12AC=25m，
∵BC+CD＝30+25＝55m，
∴机器人乙运动的路线长为55m，
故答案为：55；
（2）根据题意，得v2=555.5=10，
∵△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，
∴BD＝CD＝AD＝25，
∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，
∴sin∠ABD＝sin∠BAC＝53，sin∠DBC=sinC=45，
当点Q在BC上时，d2=BQ⋅sin∠DBC=10t×45=8t，
∴8t1＝16，解得t1＝2，
当点Q在CD上时，作AH⊥BD，垂足为H（如图），
则AH=AB⋅sin∠ABD=40×35=24，
∵∠CDB＝∠ADH，
∴sin∠CDB＝sin∠ADH=2425，
∴d2=QD⋅sin∠CDB=(55−10t)×2425=2645−485t，
∴2645−485t2=16，
解得t2=236，
∴t2−t1=236−2=116；
（3）当t＝5.5时，d1＝7.5，
此时，BP=PP′sin∠ABD=7.535=12.5，
∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5，
∴v1=AP5.5=，
∴d1=BP⋅sin∠ABD=(40−5t)×35=24−3t，
当点Q在BC上时，由d1＝d2，得24﹣3t＝8t，
解得t=2411，
当点Q在CD上时，由d1＝d2，得24−3t=2645−485t，
解得t=4811，
∴t=2411或t=4811．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点．
（1）求直线BC对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值．
【分析】（1）由解析式可知C（0，3），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0．解得x＝﹣1，或x＝3．点B的坐标为（3，0），最后由待定系数法可求直线BC的表达式；
（2）方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入y＝﹣x2+2x+3中，可得y1+2y2=−3(m+13)2+913，求出此函数的最大值，即可判断；方法二：由方法一，得y1+2y2=−3m2−2m+9．当y1+2y2＝10时，可得方程﹣3m2﹣2m+9＝10，整理方程后用根的判别式考虑方程的解的问题；
（3）作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′，当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4），点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．从而可知NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|．故∠PNQ＝∠BN′H＝45°．证明△MDE∽△MNP，由面积比可推得MD=12MN，即MD＝ND．再证明△MM′D′∽△NN′D，由MM′NN′=MDND=11，即MM′＝NN′，由此用含m的式子表示线段长列方程求解即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）．
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．
故点B的坐标为（3，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
故b=3，3k+b=0.解得k=−1，b=3.，
∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3．
（2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下：
方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中，
可得y1=−m2+2m+3，y2=−(m+2)2+2(m+2)+3=−m2−2m+3，
∴y1+2y2=−m2+2m+3+2(−m2−2m+3)=−3m2−2m+9，
配方得y1+2y2=−3(m+13)2+913．
故当m=−13时，y1+2y2的最大值为913≠10．
故不存在实数m使得y1+2y2＝10；
方法二：由方法一得y1+2y2=−3m2−2m+9．
当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0．
∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在实数m使得y1+2y2＝10；
（3）m=1+52或m=1−52，理由如下：
如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，
作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，
则MM′∥NN′，
当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．
∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）．
∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），
∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），
点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．
∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|．
∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°．
∴PN∥BC，
∴△MDE∽△MNP．
∴(MDMN)2=14，
∴MD=12MN，即MD＝ND．
∵MM′∥NN′，
∴△MM′D′∽△NN′D．
∴MM′NN′=MDND=11，即MM′＝NN′，
∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）．
∴m2﹣3m＝﹣m2﹣m+2，即m2﹣m﹣1＝0，
解得m=1+52或m=1−52．
【点评】本题考查了待定系数求函数解析式，二次函数的最值，根的判别式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键．
温度t（℃）
﹣10
0
10
30
声音传播的速度v（m/s）
324
330
336
348
组别
时间x（min）
频率
A
20≤x＜40
0.16
B
40≤x＜60
0.24
C
60≤x＜80
0.30
D
80≤x＜100
0.20
E
100≤x≤120
0.10
合计
1
t（min）
0
t1
t2
5.5
d2（m）
0
16
16
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D．
A
B．
C
C
B
B
D
温度t（℃）
﹣10
0
10
30
声音传播的速度v（m/s）
324
330
336
348
组别
时间x（min）
频率
A
20≤x＜40
0.16
B
40≤x＜60
0.24
C
60≤x＜80
0.30
D
80≤x＜100
0.20
E
100≤x≤120
0.10
合计
1
t（min）
0
t1
t2
5.5
d2（m）
0
16
16
0