【中考数学】2025年吉林省长春市中考适应性模拟试卷（含解析）

这是一份【中考数学】2025年吉林省长春市中考适应性模拟试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降2m记作﹣2m，那么水位上升3m记作（ ）
A．﹣3mB．+3mC．﹣5mD．+5m
2．（3分）下面几何体中为圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算一定正确的是（ ）
A．a+2a＝3aB．a•a2＝a2C．a+a＝a2D．（2a）2＝2a2
4．（3分）下列不等式组无解的是（ ）
A．x＞2x＞−1B．x＞2x＜−1C．x＜2x＜−1D．x＜2x＞−1
5．（3分）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．（m﹣n）sinα米B．m−nsinα米
C．（m﹣n）csα米D．m−ncsα米
6．（3分）已知点A（﹣3，y1）、B（3，y2）在同一正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＝﹣y2B．y1＝y2C．y2＞0D．y1＜0
7．（3分）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A．MN∥DE∥PQB．BC＝2DE＝4MN
C．AN＝BQ=12NQD．MNDE=DEPQ=PQBC
8．（3分）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（ ）
A．24B．27C．45D．50
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9．（3分）8的立方根是 ．
10．（3分）写出ab的一个同类项： ．
11．（3分）已知x2+2x＝4，则代数式7﹣x2﹣2x的值为 ．
12．（3分）扇形的面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的大小是 °．
13．（3分）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则∠α为 度．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上，连结BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：
①∠OCP＝∠OBE；
②OE＝OP；
③当CE＝CB时，BP＝EF；
④点A与点F之间的距离的最小值为25−2．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15．（6分）先化简，再求值：（1+x）2﹣2x，其中x=3．
16．（6分）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
17．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3．求证：▱ABCD是菱形．
18．（7分）小吉和小林从同一地点出发路800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
19．（7分）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
20．（7分）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如表：
b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表：
c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：160≤a＜165，165≤a＜170，170≤a＜175，175≤a＜180，180≤a≤185）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展y（cm）与身高x（cm）之间关联关系的直线l．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m、n的值：m＝ ，n＝ ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于170cm的男生人数；
（3）图②中直线l近似的函数关系式为y＝1.2x﹣40，根据直线l反映的趋势，估计身高为185cm男生的臂展长度．
21．（8分）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟，m＝ ；
（2）求AB所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
22．（9分）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B．如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作⊙O'（O'与O不重合），连结O′A，O′B．
在△O′AB中，有O′A+O′B＞AB（▲）．
∵O′A＝O′B，
∴2O′A＞AB，即⊙O′的直径大于⊙O的直径．
∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．
“▲”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙O是以AB为直径的圆．
请你判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆；
（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）
（2）该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为 cm．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连结DE，将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当EF∥AC时，求AE的长；
（3）当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF；
（4）当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx经过点（3，3），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M（1，1），作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；
（3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为12，求m的值；
（4）连结OA、OB，当∠AOB＝∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围．（这里∠AOB、∠OAD、∠OBC均是大于0°且小于180°的角）
2025年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降2m记作﹣2m，那么水位上升3m记作（ ）
A．﹣3mB．+3mC．﹣5mD．+5m
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为负，则另一个就用正表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位下降2m记作﹣2m，那么水位上升3m记作+3m．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（3分）下面几何体中为圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆锥的底面是圆，侧面是曲面进行判断即可．
【解答】解：A：是正方体，故此选项错误；
B：是球体，故此选项错误；
C：是圆锥，故此选项正确；
D：是三棱锥，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
3．（3分）下列计算一定正确的是（ ）
A．a+2a＝3aB．a•a2＝a2C．a+a＝a2D．（2a）2＝2a2
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、a+2a＝3a，故此选项符合题意；
B、a•a2＝a3，故此选项不符合题意；
C、a+a＝2a，故此选项不符合题意；
D、（2a）2＝4a2，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（3分）下列不等式组无解的是（ ）
A．x＞2x＞−1B．x＞2x＜−1C．x＜2x＜−1D．x＜2x＞−1
【分析】根据判断不等式组解集的口诀求出各个选项中的不等式组的解集，然后进行判断即可．
【解答】解：A．∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为x＞2，故此选项不符合题意；
B．∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意；
C．判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为x＜﹣1，故此选项不符合题意；
D．判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀．
5．（3分）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．（m﹣n）sinα米B．m−nsinα米
C．（m﹣n）csα米D．m−ncsα米
【分析】根据题意，结合图形，Rt△ABC中，AB=BCsin∠BAC，得到结果．
【解答】解：∵依题意，在Rt△ABC中，BC＝（m﹣n）米，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，
∴AB=BCsin∠BAC=m−nsinα，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
6．（3分）已知点A（﹣3，y1）、B（3，y2）在同一正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＝﹣y2B．y1＝y2C．y2＞0D．y1＜0
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的k＜0，
∴正比例函数图象经过第二四象限，y随x的增大而减小，
∴点A（﹣3，y1）在第二象限、B（3，y2）在第四象限，
∴y1＝|y2|＝﹣y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
7．（3分）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A．MN∥DE∥PQB．BC＝2DE＝4MN
C．AN＝BQ=12NQD．MNDE=DEPQ=PQBC
【分析】由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【解答】解：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，
∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴DEBC=ADAC=12，MNDE=AMAD=12，
∴BC＝2DE，DE＝2MN，
∴BC＝4MN，
∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
∴PCAC=BQAB=14，AMAC=ANAB=14，PMAC=QNAB=12，
∴BQ=AN=14AB，QN=12AB，AN=BQ=12NQ，故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
∴MNDE=AMAD=12，DEPQ=ADAP=23，PQBC=APAC=34，
∴MNDE≠DEPQ≠PQBC，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
8．（3分）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（ ）
A．24B．27C．45D．50
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当t＝25和t＝40时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案．
【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P=kt（k≠0），
把t＝60，P＝20代入解析式得：20=k60，
解得：k＝1200，
∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P=1200t；
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当t≥25时，P≤120025=48，
当t≤40时，P≥120040=30，
∴30≤t≤48，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9．（3分）8的立方根是 2 ．
【分析】根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
10．（3分）写出ab的一个同类项： 7ab（答案不唯一） ．
【分析】根据同类项的定义解答即可．
【解答】解：答案不唯一，如7ab．
故答案为：7ab（答案不唯一）．
【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键．
11．（3分）已知x2+2x＝4，则代数式7﹣x2﹣2x的值为 3 ．
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵x2+2x＝4，
∴7﹣x2﹣2x
＝7﹣（x2+2x）
＝7﹣4
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键．
12．（3分）扇形的面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的大小是 240 °．
【分析】根据扇形的面积是它所在圆的面积的23，可知这个扇形的圆心角占360°的23，从而可以求得这个扇形的圆心角的度数．
【解答】解：∵扇形的面积是它所在圆的面积的23，
∴这个扇形的圆心角的大小是：360°×23=240°，
故答案为：240．
【点评】本题考查扇形的面积计算，解答本题的关键是明确题意，求出这个扇形的圆心角的大小．
13．（3分）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则∠α为 36 度．
【分析】先根据正五边形的性质求出它的一个外角，再求出每个内角的度数，再根据∠α与3个内角的和是一个周角，求出答案即可．
【解答】解：∵正五边形每个外角为：360°÷5＝72°，
∴正五边形每个内角为180°﹣72°＝108°，
∴∠α＝360°﹣3×108°＝360°﹣324°＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的性质．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上，连结BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：
①∠OCP＝∠OBE；
②OE＝OP；
③当CE＝CB时，BP＝EF；
④点A与点F之间的距离的最小值为25−2．
上述结论中，正确结论的序号有 ①②④ ．
【分析】根据正方形的性质可得∠COP＝90°＝∠BFP结合∠CPO＝∠BPF，可得∠OCP＝∠OBE，故①符合题意；证明△COP≌△BOE，可得OP＝OE，故②符合题意；当CE＝CB时，CF⊥BE，可得EF＝BF，∠BFP＝90°，可得BP＞BF＝EF，故③不符合题意；如图，取BC的中点R，连接AF，RF，可得F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A，F，R共线时，AF最小，再进一步可判断④．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，
∵CF⊥BE，
∴∠COP＝90°＝∠BFP，
∵∠CPO＝∠BPF，
∴∠OCP＝∠OBE，故①符合题意；
∵∠COP＝90°＝∠BOE，OC＝OB，
∴△COP≌△BOE（ASA），
∴OP＝OE，故②符合题意；
当CE＝CB时，CF⊥BE，
∴EF＝BF，∠BFP＝90°，
∴BP＞BF＝EF，
故③不符合题意；
如图，取BC的中点R，连接AF，RF，
∵∠CFB＝90°，
∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上，
当A，F，R共线时，AF最小，
∵AB＝BC＝4，
∴RF＝RB＝2，
∴AR=42+22=25，
∴AF=25−2，
∴点A与点F之间的距离的最小值为25−2，
故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15．（6分）先化简，再求值：（1+x）2﹣2x，其中x=3．
【分析】根据整式的混合运算法则先化简，然后再把x的值代入化简后是式子进行计算即可．
【解答】解：（1+x）2﹣2x
＝1+2x+x2﹣2x
＝x2+1．
当x=3时，
原式＝（3）2+1＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则进行计算．
16．（6分）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种，
∴甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为39=13．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3．求证：▱ABCD是菱形．
【分析】由勾股定理定理的逆定理可证AC⊥BD，由菱形的判定方法可证▱ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝25＝9+16＝OA2+OB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
18．（7分）小吉和小林从同一地点出发路800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
【分析】设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为1.25x米/秒，根据小吉和小林从同一地点出发路800米，结果小吉比小林少用40秒到达终点，列出分式方程，解分式方程即可．
【解答】解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为1.25x米/秒，
由题意得：800x−8001.25x=40，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
答：小林跑步的平均速度为4米/秒．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（7分）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
（2）根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
（3）作一个腰为10的等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABC即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20．（7分）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如表：
b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表：
c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：160≤a＜165，165≤a＜170，170≤a＜175，175≤a＜180，180≤a≤185）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展y（cm）与身高x（cm）之间关联关系的直线l．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m、n的值：m＝ 174.5 ，n＝ 169 ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于170cm的男生人数；
（3）图②中直线l近似的函数关系式为y＝1.2x﹣40，根据直线l反映的趋势，估计身高为185cm男生的臂展长度．
【分析】（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为920，再乘以总人数即可；
（3）把x＝185代入y＝1.2x﹣40，即可得到答案．
【解答】解：（1）由表格信息可得：m=12(174+175)=174.5(cm)，
n＝169（cm），
故答案为：174.5，169；
（2）该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：240×920=108（人）；
（3）∵y＝1.2x﹣40，
当x＝185时，y＝1.2×185﹣40＝182，
∴身高为185cm男生的臂展长度约为182cm．
【点评】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上性质是解题的关键．
21．（8分）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 20 分钟，m＝ 3800 ；
（2）求AB所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 110 分钟．
【分析】（1）根据题意分别列式计算即可；
（2）根据待定系数法求出AB所在直线对应的函数表达式即可；
（3）设乙机器人工作时间为n分钟，根据该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）从函数图象可知：A（40，2200），B（60，2700），从40分钟到60分钟，这段时间只有乙机器人工作，
∴甲机器人停工保养的时间为：60﹣40＝20（分钟），
甲、乙两台机器人每分钟分拣快递的件数为：2200÷40＝55（件），
∴m＝2700+55×（80﹣60）＝3800（件），
故答案为：20，3800；
（2）设AB所在直线对应的函数表达式为：y＝kx+b，
代入A（40，2200），B（60，2700），
得2200=k×40+b2700=k×60+b，
解得：k=25b=1200，
∴y＝25x+1200；
（3）设乙机器人工作时间为n分钟，
由题意得：5450＝2700+55×（n﹣60），
解得：n＝110，
故答案为：110．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一次函数关系式是解题的关键．
22．（9分）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B．如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作⊙O'（O'与O不重合），连结O′A，O′B．
在△O′AB中，有O′A+O′B＞AB（▲）．
∵O′A＝O′B，
∴2O′A＞AB，即⊙O′的直径大于⊙O的直径．
∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．
“▲”处应填写的推理依据为 三角形的任意两边之和大于第三边； ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙O是以AB为直径的圆．
请你判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆；
（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）
（2）该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 5 cm；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为 2 cm．
【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明OC＝OA＝OB即可得到答案；
拓展应用：（1）连接AC，BD，交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）结合矩形性质与勾股定理计算即可；（3）作AD的垂直平分线LJ，交AD于L，交BC于J，可得四边形ABJL，DCJL是两个全等的矩形，AL＝DL＝1＝BJ＝CJ，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，可得两圆一定过L，J，再进一步解答即可．
【解答】解：探究一：理由如下：由题意得线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B．如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作⊙O（O与O不重合），连结OA，OB．在△OAB中，有OA+OB＞AB（三角形的任意两边之和大于第三边）．
∵OA＝OB，
∴2OA＞AB，
即⊙O的直径大于⊙O的直径．
∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．
“▲”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
探究二：∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
∴C在⊙O上；
拓展应用：（1）如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆；
（2）∵矩形ABCD，AB＝1cm，BC＝2cm，
∴∠ABC＝90°，
∴BD=AC=12+22=5(cm)，
故答案为：5；
（3）作AD的垂直平分线LJ，交AD于L，交BC于J，
∴四边形ABJL，DCJL是两个全等的矩形，
∴AL＝DL＝1＝BJ＝CJ，
∵用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，
∴两圆一定过L，J，
连接AJ，BL，CJ，DJ，交点分别为Q，K，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL或CL或DJ，
∴最小直径为12+12=2如图，
作AB的垂直平分线交AB，CD于V，W，
同法作⊙Q，⊙K，
此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形ABCD．则这样的两个等圆的最小直径为2cm，
故答案为：2．
【点评】本题是圆的综合题，考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连结DE，将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF．
（1）线段AB的长为 42 ；
（2）当EF∥AC时，求AE的长；
（3）当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF；
（4）当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长．
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）如图，求解∠A＝∠B＝45°，AD＝CD＝2，证明∠FEB＝∠A＝45°，结合∠DEF＝45°，可得∠DEB＝90°＝∠AED，再进一步求解即可；
（3）证明∠BEF＝∠ADE，结合∠A＝∠B＝45°，DE＝FE，从而可得结论；（4）如图，当F在BC的左边时，结合题意可得：EG⊥BC，FQ⊥BC，EG＝2FQ，过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥EG于K，可得FQ＝GK＝GE，结合（1）可得：DH=AH=2，证明△DHE≌△EKF，可得EK=DH=2再进一步解得即可；如图，当F在BC的右边时，过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥EG于K，同法可得答案．
【解答】（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=42，
故答案为：42；
（2）解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为边AC的中点，
∴∠A＝∠B＝45°，AD＝CD＝2，
∵EF∥AC，
∴∠FEB＝∠A＝45°，
而∠DEF＝45°，
∴∠DEB＝90°＝∠AED，
∴AE=AD⋅cs45°=2×22=2；
（3）证明：∵将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF，
∴DE＝DF，∠DEF＝45°，
如图，∵∠DEF+∠BEF＝∠DEB＝∠A+∠ADE，∠DEF＝∠A＝45°，
∴∠BEF＝∠ADE，
∴∠A＝∠B＝45°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BEF（AAS）；
（4）解：如图，当F在BC的左边时，结合题意可得：EG⊥BC，FQ⊥BC，EG＝2FQ，
过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥EG于K，
∴四边形FKGQ为矩形，
∴FQ＝GK＝GE，
结合（1）可得：DH=AH=2，
∵EG⊥BC，∠B＝45°，
∴∠GEB＝∠B＝45°，
∴GB＝GE＝2GK＝2EK，
∵∠DEF＝45°，
∴∠DEF+∠GEB＝90°，
∴∠DEH+∠FEK＝90°，
∴∠DHE＝90°＝∠HDE+HED，
∴∠HDE＝∠KEF，
∵DE＝EF，
∴△DHE≌△EKF（AAS），
∴EK=DH=2，
∴EG=BG=22，
∴BE=EG2+BG2=4，AE=42−4；
如图，当F在BC的右边时，过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥EG于K，
同理：EK=DH=2，
∴四边形四边形FKGQ为矩形，
∴FQ＝GK，
∵GE＝2FQ，
∴GE＝2GK，EG=223，GK＝FQ=23，
同理可得：EG＝BG=223，BE=223×2=43，
∴AE=42−43，
综上：AE的长为42−4或42−43．
【点评】本题是三角形的综合题，考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx经过点（3，3），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M（1，1），作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；
（3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为12，求m的值；
（4）连结OA、OB，当∠AOB＝∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围．（这里∠AOB、∠OAD、∠OBC均是大于0°且小于180°的角）
【分析】（1）将点（3，3）代入y＝x2+bx，求出b即可求解析式；
（2）先求抛物线的对称轴为直线x＝1，由A，B两点关于该抛物线的对称轴对称，可得2m+1＝2，求出A（12，−34），再由A、C关于M点对称，求出C点即可；
（3）当0＜m＜12时，最高点纵坐标为m2﹣2m，最低点为﹣1，当12≤m＜1时，最高点纵坐标为m2﹣1，最低点为﹣1，分别求出相应的m的值即可；
（4）根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，过点O作直线EF∥BC，满足条件的m的临界位置分别为当OA与AD重合时，当OB与BC重合时．
【解答】解：（1）将点（3，3）代入y＝x2+bx，
∴9+3b＝3，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x；
（2）∵点A、B横坐标分别为m、m+1，
∴A（m，m2﹣2m），B（m+1，m2﹣1），
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵A，B两点关于该抛物线的对称轴对称，
∴2m+1＝2，
解得m=12，
∴A（12，−34），
∵A、C关于M点对称，
∴C（32，114）；
（3）由（2）知m=12时，A、B关于对称轴对称，
当0＜m＜12时，最高点纵坐标为m2﹣2m，最低点为﹣1，
∴m2﹣2m+1=12，
解得m=2−22或m=2+22（舍）；
当12≤m＜1时，最高点纵坐标为m2﹣1，最低点为﹣1，
∴m2﹣1+1=12，
解得m=22或m=−22（舍）；
综上所述：m的值为2−22或22；
（4）∵A、C关于点M对称，B、D关于M点对称，
∴MA＝MC，MB＝MD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
过点O作直线EF∥BC，
∴EF∥AD，
∵∠AOB＝∠OAD+∠OBC，
∴∠OBC＝∠BOF，∠OAD＝∠FOA，
∵A（m，m2﹣2m），B（m+1，m2﹣1），
∴C（2﹣m，2﹣m2+2m），D（1﹣m，3﹣m2），
直线OA的解析式为y＝（m﹣2）x，直线OB的解析式为y＝（m﹣1）x，
直线AD的解析式为y=2m2−2m−12m−1x+m2﹣2m−m(2m2−2m−3)2m−1，
直线BC的解析式为y=2m2−2m−32m−1x+m2﹣1−(m−1)(2m2−2m−3)2m−1，
当OA与AD重合时，2m2−2m−12m−1=m﹣2，解得m=53，
当OB与BC重合时，2m2−2m−32m−1=m﹣1，解得m＝4，
∴53＜m＜4时，∠AOB＝∠OAD+∠OBC．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高/cm
166
169
169
171
172
173
173
173
174
174
臂展/cm
161
162
164
166
164
165
167
169
169
170
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高/cm
175
176
177
177
178
179
180
180
181
183
臂展/cm
169
167
173
170
177
174
176
185
平均数
中位数
众数
身高/cm
175
m
173
臂展/cm
170
169
n
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B．
C
A
B
B
A
D
C
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高/cm
166
169
169
171
172
173
173
173
174
174
臂展/cm
161
162
164
166
164
165
167
169
169
170
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高/cm
175
176
177
177
178
179
180
180
181
183
臂展/cm
169
167
173
170
177
174
176
185
平均数
中位数
众数
身高/cm
175
m
173
臂展/cm
170
169
n