黑龙江省双鸭山市2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷

这是一份黑龙江省双鸭山市2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
 
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A  , 
已知集合，下列选项中为A 的元素的是（ ）
①
②
, 
③  ④
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
已知全集U  1, 2, 3, 4，集合 A  1, 3, 4 ， ðU B  4，则 A ∩ B  （）
1
3,4
1, 2, 3, 4
1, 3
命题“ x  1, x3  2x 1  0 ”的否定是（）
x  1, x3  2x 1  0B. x  1, x3  2x 1  0
C. x  1, x3  2x 1  0D. x  1, x3  2x 1  0
若 a, b, c R，则下列命题正确的是（ ）
若 a  b ，则 ac2  bc2
若 a  b  c  0 ，则 b  b  c
aa  c
a
若 c2
b ，则 a  b c2
若 a  b ，则 a2  b2
设全集U  Z,集合 M  {x∣x  3k 1, k  Z}, N  {x∣x  3k  2, k  Z}， ðU(M  N )  （）
{x | x  3k, k  Z}B. {x∣x  3k 1, k  Z}
C. {x∣x  3k  2, k  Z}D. 
已知关于 x 的不等式 ax  b  0 的解集为{x∣x  4} ，则关于 x 的不等式bx2  ax  0 的解集为
（）
A. x |  1  x  0B. { x | x   1 或 x  0 }
44

C x | 0  x  1 
D. { x | x  0 或 x  1 }
4 4

已知集合 A  x∣x2  3x  4  0, x  Z ， B  x∣x2  2a 1 x  a2  a  2  0, x  Z，若集合
A  B 的真子集的个数为 3，则实数 a 的取值范围是（）
A. {a∣1  a  0 或2  a  3}B. {a∣1  a  0 或2  a  3}
C. {a∣2  a  1或3  a  4}D. {a∣2  a  1或3  a  4}
已知关于 x 的方程 x2  2(m  2)x  m2  3m  3  0 有两个不相等的实数根 x1 ， x2 ，则
mx1 
x1 1
mx2 
x2 1
2
x1  x2  2
的最大值为（）
2
A. 2
B. 2C.
2
D. 4
2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
命题“存在 x  R ，使得 mx2  2x 1  0 ”为假命题的一个充分不必要条件是（）
m  2
m  1
m  2
m  3
已知 x  0, y  0 ，且 x  y  1，则下列结论正确的是（）
0  x  1
xy 的最大值是 1
2
4
x2  y2 的最小值是 2
2
2  x 的最小值是2  2
2
3
xy
πb1ππ
若 a =+， = +， c =+，则（ ）
b  c
C. c  a
41649
436
a  b
D. c  b
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若{1, a, b  1 1，则b  a .
}{0, , b}
aa
已知 x  1 ， y  0 且满足 x  2 y  1，则 1
x 1
 2 的最小值为．
y
6
5

定义集合 P  x a  x  b 的“长度”是b  a ，其中 a， b R.已知集合 M  x
 x  17  ，

10

N  x t  3  x  t  ，且 M，N 都是集合x 1  x  2的子集，若集合 M  N 的“长度”大于 3 ，则t 的
55

取值范围是.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
设集合 A  x x  a  2, B  x x  4  2, C  x x2  5x  2m2  m  0．



当 m  2 时，求集合 B 、C ；
x  2
若 A  ðR B  R ，求实数 a 的取值范围；
（1）已知实数 a 、b 满足3  a  b  2 ， 1  a  b  4 .求3a  2b 的取值范围.
（2）已知 x2 y2  y4  1 x, y  R  ，求 x2  3y2 的最小值.
设全集U  R ，集合 A  x |1  x  5 ，集合 B  {x | 1 2a  x  a  2} ．
求ðU A ；
若“ x  A ”是“ x  B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围；
若命题“ x  B ，则 x  A ”是真命题，求实数 a 的取值范围．
如图，某小区有一个直角梯形休闲广场 ABCD ，其中 AD ∥ BC，A  90，AB  AD  2 百米，
BC  1 百米.规划修建两条直道CF , FE 将广场分割为 3 个区域：I，II 为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为 S1 ， S2 ；III 为休闲区域，面积记为 S3 .其中，区域 III 是以CD 为底的梯形，点 E, F 分别在 AD, AB上.（道路宽度忽略不计）
若 S1  2S2 ，试确定道路 AE的长度的取值范围；
记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值.
已知 n 元有限集 A  a1, a2 , a3,L, ann  2, n  Z ，若
a1  a2  a3 L an  a1  a2  a3 L an ，则称集合 A 为“n 元和谐集”.
若集合 A   9  m, 9  m是“二元和谐集”，求 m 的值；
 44

若正数集 A  a1, a2 是“二元和谐集”，试证明：元素 a1 ， a2 中至少有一个大于 2；
是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
阶段测试卷（一）
数学试题
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
 
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A  , 
已知集合，下列选项中为A 的元素的是（ ）
①
②
, 
③  ④
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合元素的定义，判断所给选项中的元素是否在集合A 中.
【详解】已知集合 A  ,  ，
所以集合 A 有两个元素： 和．故选：B.
已知全集U  1, 2, 3, 4，集合 A  1, 3, 4 ， ðU B  4，则 A ∩ B  （）
1
3,4
1, 2, 3, 4
1, 3
【答案】D
【解析】
【分析】由补集、交集的概念即可得解.
【详解】已知全集U  1, 2, 3, 4，集合 A  1, 3, 4 ， ðU B  4，则 B  1, 2, 3, A ∩ B  1, 3 .
故选：D.
【分析】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称量词命题，据此解答即可．
【详解】命题“ x  1, x3  2x 1  0 ”的否定为“ x  1, x3  2x 1  0 ”．
3. 命题“ x  1, x3  2x 1  0 ”的否定是（
A. x  1, x3  2x 1  0
C. x  1, x3  2x 1  0
）
B. x  1, x3  2x 1  0
D. x  1, x3  2x 1  0
【答案】D
【解析】
故选：D．
若 a, b, c R，则下列命题正确的是（ ）
若 a  b ，则 ac2  bc2
若 a  b  c  0 ，则 b  b  c
aa  c
a
若 c2
b ，则 a  b c2
若 a  b ，则 a2  b2
【答案】B
【解析】
【分析】A. c  0 ，不成立；B.作差法判断结论；C.
【详解】对于 A，当c  0 时，不成立，A 错误
1  0 ，可得到 a  b ；D． a  1, b  2 时，不成立.
c2
对于 B， b  c  b  b  c a  a  cb  a  bc ，Q a  b  c  0 ，
a  ca
a  c a
a  c a
 a  b  0 ， a  c  0
， a  bc  0 ，即 b  b  c ，B 正确
对于 C，Q 1
c2
a  c a
0  c2  0 ，所以若 a
c2
aa  c
b ，则 a  b ，C 错误
c2
对于 D，当 a  1, b  2 时， a2  b2 ，D 错误故选：B
设全集U  Z,集合 M  {x∣x  3k 1, k  Z}, N  {x∣x  3k  2, k  Z}， ðU(M  N )  （）
{x | x  3k, k  Z}B. {x∣x  3k 1, k  Z}
C. {x∣x  3k  2, k  Z}D. 
【解析】
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集 Z  x | x  3k, k  Z ∪x | x  3k 1, k  Z ∪x | x  3k  2, k  Z，U  Z ，所以， ðU M ∪ N   x | x  3k, k  Z ．
故选：A．
已知关于 x 的不等式 ax  b  0 的解集为{x∣x  4} ，则关于 x 的不等式bx2  ax  0 的解集为
（）
A x |  1  x  0B. { x | x   1 或 x  0 }
44

C. x | 0  x  1 
D. { x | x  0 或 x  1 }
4 4

【答案】C
【解析】
【分析】根据题设条件确定参数范围和参数之间的数量关系，将其代入所求不等式计算即得.
【详解】由 ax  b  0 的解集为{x∣x  4} ，可得 a  0 ，
且方程 ax  b  0 的解为4 ，则 b  4 ，即b  4a ，
a
故bx2  ax  0 ，即4ax2  ax  0 ，又 a  0 ，
即得4x2  x  0 ，解得0  x  1 ，
4
1 
4
即关于 x 的不等式bx2  ax  0 的解集为x 0  x  .

故选：C.
已知集合 A  x∣x2  3x  4  0, x  Z ， B  x∣x2  2a 1 x  a2  a  2  0, x  Z，若集合
A  B 的真子集的个数为 3，则实数 a 的取值范围是（）
A. {a∣1  a  0 或2  a  3}B. {a∣1  a  0 或2  a  3}
C. {a∣2  a  1或3  a  4}D. {a∣2  a  1或3  a  4}
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 A, B ，再分 A  B 中的两个整数是2, 3 ，1, 2 和0,1 情况讨论，分别得到不等式组，计算可得.
【详解】由 x2  3x  4  0 ，即( x  1)( x  4)  0 ，解得1  x  4 ，
所以 A  x∣x2  3x  4  0, x  Z  {x∣1  x  4, x  Z}  {0,1, 2, 3} ；由 x2  (2a 1)x  a2  a  2  0 ，即[x  (a  2)][x  (a 1)]  0 ，
解得 a 1  x  a  2 ，
所以 B  x∣x2  (2a 1)x  a2  a  2  0, x  Z  {x∣a 1  x  a  2, x  Z}.
若集合 A  B 的真子集的个数为 3，则集合 A  B 中的元素个数为 2，
a  2  3
若集合 A  B 中的两个元素是 2，3，则
1  a 1  2
，解得2  a  3 ；
2  a  2  3

若集合 A  B 中的两个元素是 1，2，则0  a 1  1
1  a  2  2
，解得；

若集合 A  B 中的两个元素是 0，1，则a 1  0
，解得1  a  0 ；
综上，实数 a 的取值范围是a 1  a  0 或2  a  3 .
故选：A.
已知关于 x 的方程 x2  2(m  2)x  m2  3m  3  0 有两个不相等的实数根 x1 ， x2 ，则
mx1 
x1 1
mx2 
x2 1
2
x1  x2  2
的最大值为（）
2
A. 2
B. 2C.
2
D. 4
2
【答案】C
【解析】
【分析】通过求解判别式确定方程有两个不相等的实数根的条件，再通过韦达定理求出两根的关系式，再将关系式代入目标表达式中化简，通过基本不等式化简求解即可.
【详解】由题设Δ  4(m  2)2  4 m2  3m  3  4m  4  0 ，得 m  1，
且 x  x  2(m  2) ， x x
 m2  3m  3，
121 2
mxmx
2m 2x x
  x  x 1
2m m 1211
1  2  1 212   2 m 1 ，
x 1x 1x  x  2x x   x  x  1
m 1
m2  mm 1
m 1
12121 212
2(1 m) 
1
1 m
又因为 m  1，所以 m  1  0 ，则1 m  0 ，
所以2(1 m) 
1
1 m
 2
 2 2 ，
当且仅当2(1 m) 
1
1 m
时，即 m  1
2 时取等号，所以2(m 1) 
2
1
m 1
 2 2 ，
即
mx1 
x1 1
mx2 x2 1
 2 的最大值为2.
2
x  x  2
12
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
命题“存在 x  R ，使得 mx2  2x 1  0 ”为假命题的一个充分不必要条件是（）
m  2
m  1
m  2
m  3
【答案】CD
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项.
【详解】存在 x  R ，使得 mx2  2x 1  0 为真时，当 m  0 时， 2x 1  0 显然成立；
m  0

当 m  0 时，有Δ  4  4m  0 ，解得1  m  0 ，
当 m  0 时，存在 x  R ，使得 mx2  2x 1  0 ；
所以存在 x  R ，使得 mx2  2x 1  0 为真时， m  1，
命题“存在 x  R ，使得 mx2  2x 1  0 ”为假命题时 m  1，
m  2 时， m  1不一定成立，不合题意；
m  1时， m  1不一定成立，不合题意；
m  2 时， m  1必成立，反之 m  1时，推不出 m  2 ，符合题意；
m  3 时， m  1必成立，反之 m  1时，推不出 m  3 ，符合题意；
命题“存在 x  R ，使得 mx2  2x 1  0 ”为假命题的一个充分不必要条件是 m  2 m  3 ；故选：CD
已知 x  0, y  0 ，且 x  y  1，则下列结论正确的是（）
0  x  1
xy 的最大值是 1
2
4
x2  y2 的最小值是 2
2
2  x 的最小值是2  2
xy
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式性质可判断 A；根据基本不等式判断 BD；结合二次函数性质判断 C；
【详解】由 x  y  1，得 y  1 x ，因为 y  0 ，所以1 x  0 ，解得 x  1，又 x  0 ，所以0  x  1，故 A 正确；
xy
xy
因为 x  0, y  0 ，故1  x  y  2，所以 1 ，所以 xy  1 ，
2
当且仅当 x  y  1 时取等号，故 B 正确；
2
4
1 21
由 x  y  1，得 y  1 x ，所以 x2  y2  x2  (1 x)2  2x2  2x 1  2  x 

  ，
2
2

当 x  1 时， x2  y2 取最小值，最小值是 1 ，故 C 错误；
22
2 y  x xy
2  x  2(x  y)  x  2  2 y  x  2  2
xyxyxy
当且仅当 2 y  x 时，结合 x  y  1，即 x  2 
xy
 2  2 2 ，
2
2, y 1取时等号，故 D 正确.
故选：ABD.
2
3
πb1ππ
若 a =+， = +， c =+，则（ ）
41649
b  c
C. c  a
436
a  b
D. c  b
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用作差法，适当放缩比较c 、 a 和b 、 a 的大小，得到 a 、b 、c 的大小关系即可求解.
2
9
+ 9π
1π9 +4ππ
【详解】 a =
2 + π =
4 ， b = + =， c =+=，
2
41636
4936
3
9 3 +π
43636
c - a = 9 3 +π -
9
+ 9π 4
3636
9 3 - 9 2 - 5π9´ 1.8 - 9´ 1.4 - 5´ 3
= 4 < 4 = 3.6 - 3.75 < 0 ，
363636
所以c  a ，
2
b - a = 9 +4π -
9
+ 9π 4
3636
9 - 9 2 + 7π9 - 9´ 1.5 + 7´ 3-+
= 4 > 4 = 4.5 5.25 > 0 ，
363636
所以b  a ，所以b  a  c ，所以 B、C、D 正确，A 错误.故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若{1, a, b  1 1，则b  a .
【答案】2
}{0, , b}
aa
【解析】
【分析】根据集合的相等确定 b 1  0 ，求得b  1，进而得到 a  1 ，求得 a  1 或 a  1 ，代入集合检验
aa
确定 a  1 即得答案.
【详解】由题意得 a  0 ，则 b 1  0 ，即b  1，
a
则 a  1 ，解得 a  1 或 a  1 ，
a
若 a  1 ，则违背集合元素的互异性，舍去；
若 a  1 ，则有{1, 1, 0}  {0, 1,1} ，符合要求.
综上所述， a  1 ，则b  a  1  (1)  2 .
故答案为：2
已知 x  1 ， y  0 且满足 x  2 y  1，则 1
x 1
 2 的最小值为．
y
9
【答案】
2
【解析】
【分析】由已知条件可知 x 1  0 ，且 x 1 2 y  2 ，由 1 2  1  1 2  x 1 2 y  展开利用
x 1y2  x 1y 

基本不等式即可求解.
【详解】因为 x  1 ， y  0 ，所以 x 1  0 ，因为 x  2 y  1，所以 x 1 2 y  2 ，
所以 1 2  1  1 2  x 1 2 y 
x 1y2  x 1y 

 1 5  2 y  2  x 1   1 5  2
2 y  2  x 1 

2 x 1y2 x 1y

 1 5  2  2  9 ，
22
 2 y2  x 1x   1

当且仅当 x 1y
3
即2
时等号成立，

x  2 y  1
所以 1 2 的最小值为 9 ，
 y 

3
x 1y2
9
故答案为： .
2
6
5

定义集合 P  x a  x  b 的“长度”是b  a ，其中 a， b R.已知集合 M  x
 x  17  ，

10

N  x t  3  x  t  ，且 M，N 都是集合x 1  x  2的子集，若集合 M  N 的“长度”大于 3 ，则t 的
55

取值范围是.
【答案】 8 ,17    9 , 2

 5 10  5
【解析】
【分析】根据区间长度定义得到关于t 的范围，再根据并集的区间长度大于 3 ，分类讨论得到关于t 的不等
5
式，解出即可.
【详解】因为 N  x t  3  x  t  都是集合{x |1  x  2} 的子集，
5

3
所以t  5  1，解得 8  t  2 ，

t  2
6
5
又 M  x
5
 x  17  ，可知集合 M 的“长度”为17  6  1 ， N  x t  3  x  t  ，

10 

1052
5

要使集合 M  N 的“长度”大于 3 ，
5
若 M  N  x t  3  x  17  ，则17  t  3  3 ，所以t  17 ，
510 105510

又 8  t  2 ，所以 8  t  17 ；
5510
6
5
若 M  N  x x  t  ，则t  6  3 ，所以t  9 ，

555
又 8  t  2 ，所以 9  t  2 ；
55
则t 的取值范围是8 , 17   9 , 2 .

 5 10  5
故答案为： 8 , 17   9 , 2

 5 10  5
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
设集合 A  x x  a  2, B  x x  4  2, C  x x2  5x  2m2  m  0．



当 m  2 时，求集合 B 、C ；
x  2
若 A  ðR B  R ，求实数 a 的取值范围；
【答案】（1） B  x 2  x  0 ， C  x x
3 或 x  2；
（2） 2, 0
【解析】
【分析】（1）直接代入解出分式不等式和一元二次不等式即可；
（2）求出 A  x a  2  x  a  2 ， ðR B  x | x  0 或 x  2 ，再根据并集的含义即可得到不等式组，解出即可.
【小问 1 详解】
当 m  2 时， C  x x2  5x  6  0  x x
3 或 x  2，
由 x  4  2 ，得2  x  4 x 0 ，则有 x  x  2  0 ，
x  2
x  2
x  2
解得2  x  0 ，所以 B  x 2  x  0 ；
【小问 2 详解】
由 x  a  2 ，得2  x  a  2 ，
解得 a  2  x  a  2 ，所以 A  x a  2  x  a  2 ，
由（1）得 B  x 2  x  0 ，则ðR B  x | x  0 或 x  2 ，由于 A  ðR B  R ，
a  2  0

所以a  2  2 ，解得2  a  0 .
所以实数 a 的取值范围是2, 0 .
（1）已知实数 a 、b 满足3  a  b  2 ， 1  a  b  4 .求3a  2b 的取值范围.
（2）已知 x2 y2  y4  1 x, y  R  ，求 x2  3y2 的最小值.
2
【答案】（1） 4,11 ；（2） 2.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法得出3a  2b  1 a  b  5 a  b ，再利用不等式的基本性质可求得3a  2b
22
的取值范围；
由已知条件得出2 y2 x2  y2   2 ，结合基本不等式可求得 x2  3y2 的最小值.
【详解】（1）设3a  2b  m a  b  n a  b  m  n a  m  nb ，其中m 、 n  R ，
m  n  3
所以
，解得 m  1 ， n  5 ，即3a  2b  1 a  b  5 a  b ，

m  n  22222
因为3  a  b  2 ， 1  a  b  4 ，所以 3  1 a  b  1 ，  5  5 a  b  10 ，
2222
由不等式的基本性质可得4  1 a  b  5 a  b  11，即4  3a  2b  11，
22
因此， 3a  2b 的取值范围是4,11 ；
（2）因为 x2 y2  y4  1 x, y  R  ，即y2 x2  y2   1，即2 y2 x2  y2   2 ，
2  22 
 2 y2  x2  y2 2
由基本不等式可得2  2 yx  y 
 x2  3y2 2
  ，
22
2
所以 x2  3y2  2，
x2  y2  2 y2

当且仅当 y2 x2  y2   1
2
故 x2  3y2 的最小值为2
时，即当 x2  y2 时，等号成立，
2
2
.
设全集U  R ，集合 A  x |1  x  5 ，集合 B  {x | 1 2a  x  a  2} ．
求ðU A ；
若“ x  A ”是“ x  B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围；
若命题“ x  B ，则 x  A ”是真命题，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） ðU A  x x  1 或 x  5
（2）a | a  7
a | a  1 
3

【解析】
【分析】（1）由补集的定义求解即可；
由“ x  A ”是“ x  B ”的充分不必要条件可得A 是 B 的真子集，再由真子集的定义列不等式，解不等式即可得出答案.
由命题“ x  B ，则 x  A ”是真命题可得 B  A ，分类讨论 B   和 B   ，再由子集的定义列不
等式，解不等式即可得出答案.
【小问 1 详解】
因为 A  x |1  x  5 ，所以ðU A  x x  1 或 x  5.
【小问 2 详解】
由“ x  A ”是“ x  B ”的充分不必要条件，得A 是 B 的真子集，又 A  x |1  x  5 ， B  {x | 1 2a  x  a  2} ，

1 2a  11 2a  1
因此

a  2  5
或 a  2  5 ，
解得: a  7 .
所以实数 a 的取值范围为a | a  7.
【小问 3 详解】
命题“ x  B ，则 x  A ”是真命题，则有 B  A ,
当 B   时， 1 2a  a  2 ，解得 a  1 ，符合题意，因此 a  1
33
当 B   时，而 A  x | 1  x  5，B  {x | 1 2a  x  a  2} ，则1  1 2a  a  2  5 ，无解，
综上所述，实数 a 的取值范围a | a  1 .
3

如图，某小区有一个直角梯形休闲广场 ABCD ，其中 AD ∥ BC，A  90，AB  AD  2 百米，
BC  1 百米.规划修建两条直道CF , FE 将广场分割为 3 个区域：I，II 为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为 S1 ， S2 ；III 为休闲区域，面积记为 S3 .其中，区域 III 是以CD 为底的梯形，点 E, F 分别在 AD, AB上.（道路宽度忽略不计）
若 S1  2S2 ，试确定道路 AE 的长度的取值范围；
记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值.
【答案】（1）大于 50 米小于 100 米
（2）3
【解析】
【分析】（1）延长 AB, DC 相交于点 P，设 AE  m, AF  n 可利用三角形相似求出 m, n 的关系，结合已知即可求出 S1, S2 的表达式，解不等式即可求得答案；
（2）求出 S3 的表达式，可得效能比的表达式，结合二次函数性质即可求得答案.
【小问 1 详解】
延长 AB, DC 相交于点 P，
因为 AD ∥ BC ，所以△PAD ∽△PBC ，结合 AB  AD  2, BC  1 ， 所以 PB  BC  1 ，则 B 为 PA 的中点，所以 PB  AB  2 ，则 AP  4 ；
PAAD2
由区域Ⅲ是以 CD 为底的梯形，可得 EF ∥ PD ，
于是△AEF ∽△ADP ，则 AE  AF ，
ADAP
设 AE  m, AF  n ，所以 m  n ，故 n  2m ，
24
0  m  2

由题意知0  n  2 ，所以0  m  1 ，
所以 S1
 1 BC  BF  1 1(2  n)  1 m, S
222
 1 AE  AF  1 mn  m2 ，
22
2
当 S1  2S2 时，则1 m  2m2 ，即2m2  m 1  0 ，所以 m  1，或 m  1 ，
又因为0  m  1 ，所以 1  m  1 ，所以当道路 AE 大于 50 米小于 100 米时， S  2S .
212
【小问 2 详解】
因为 S  S
 S  S
 (1 2)  2  (1 m)  m2  m2  m  2 ，
3梯形ABCD122
Sm2  m  23
故广场效能比为 3 1，
S  Sm2  m 1m2  m 1
12
设t  m2  m 1，则二次函数t  m2  m 1的图象开口向上，当 m  1 时，函数t  m2  m 1取得最小值，即t 3 ，
2
S3 3 1  3
min4
所以 S  S 3，
 12 max
4
所以此规划下该广场效能比的最大值为 3.
已知 n 元有限集 A  a1, a2 , a3,L, ann  2, n  Z ，若
a1  a2  a3 L an  a1  a2  a3 L an ，则称集合 A 为“n 元和谐集”.
若集合 A   9  m, 9  m是“二元和谐集”，求 m 的值；
 44

若正数集 A  a1, a2 是“二元和谐集”，试证明：元素 a1 ， a2 中至少有一个大于 2；
是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
【答案】（1） m   3
4
（2）证明见解析（3）存在，1 个，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据 n 元和谐集的定义，令 9  m  9  m   9  m  9  m  ，求解即可.
44 4
 4

通过构造一元二次方程利用判别式法证明即可.
设 A  a1, a2 , a3 满足要求，则 a1a2a3  a1  a2  a3 ，不妨设 a1  a2  a3 ，则 a1a2  3 ，从而求出a1  1，
a2  2 即可.
【小问 1 详解】
 9
 m,
9
 m是“二元和谐集”，则
9
 m 
9
 m   9
 m  9
 m 
 4
4


4
4
 4
 4


（1）若集合 A 

，

解得 m   3 .
4
【小问 2 详解】
集合 A  a1, a2 是“二元和谐集”，设 a1  a2  a1a2  t  0 ，则 a1 ， a2 可以看成一元二次方程 x2  tx  t  0 的两正根，
则  t 2  4t  0 ，解得t  0 （舍）或t  4 ，即 a1a2  4 ，所以 a1, a2 中至少有一个大于 2.
【小问 3 详解】
设正整数集 A  a1, a2 , a3 为“三元和谐集”，则 a1a2a3  a1  a2  a3 ，不妨设 a1  a2  a3 ，则 a1a2a3  a1  a2  a3  3a3 ，解得 a1a2  3 ，
因为 a ， a  N* ，故只有a  1， a  2 满足要求，
1212
所以1 2a3  1 2  a3 ，得 a3  3 ，
综上， A  {1, 2, 3} 满足要求，其他均不合要求，
存在 1 个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即 A  {1, 2, 3} .