2024-2025学年上海市九年级下学期初中学业水平考试考前模拟练习数学试题

这是一份2024-2025学年上海市九年级下学期初中学业水平考试考前模拟练习数学试题，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列实数中，属于有理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（ ）
A．43B．44C．45D．46
3．数据33，34，36，39，38，37，33的中位数和众数是（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．顶角为的等腰三角形，底角的正切值为
B．顶角为的等腰三角形，底角的正切值为
C．所有内角含的等腰梯形，对角线一定和下底相等
D．平行四边形对角线分得的四个小三角形面积相等
6．在中，点D、E分别在边上，且，那么下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若以点D为圆心，为半径的圆和线段没有第二个公共点，则；
（2）若点D是线段的中点，则；
（3）若是直角三角形，则；
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
7．计算的结果是 ．
8．因式分解的结果是 ．
9．电影《哪吒之魔童闹海》的票房突破150亿元，将“150亿”用科学记数法表示为 ．
10．正十五边形其中一个内角的度数为 ．
11．抛物线的图象不经过第一、二象限，那么a的取值范围是 ．
12．直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为 ．
13．徐家汇地铁站共有19个连续编号的出口（如1号口、2号口），小明从徐家汇地铁站出站时，恰好发现该出口所对应的号码为素数的概率为 ．
14．平行四边形中，点O是对角线、的交点，设，，那么用和表示的结果是 ．
15．我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ．
16．如图，等腰直角中，且，连接交于点，点是边上一点，，则的长为 ．
17．对于任意二次函数，它的“子函数”形如，若一个二次函数的“子函数”过点，则当两函数的函数值相等时，对应的x的值为 ．
18．如图，矩形中，，以点C为圆心，为半径作． 直线和都和相切（E在F上方），连接，则的值为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程：
21．如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
22．小明所在的数学学习小组对“分割等腰三角形”产生兴趣，并设计了如下问题，请你帮助他们完成：
23．正方形中，是边上一点，连接，过点作，垂足为点，且，连接．
(1)求证：．
(2)设直线交于点．连接，若，求证：．
24．
根据定义完成下列问题．
(1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点．
①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）．
②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式．
(2)现对定义提出以下命题：
命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等．
命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为．
以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择．
25．已知中，，，，点是射线上一点，以点为圆心，为半径的交线段的延长线于点，过点作，和的另一个交点记作点． 连接．
(1)若直线和相切，求线段的长．
(2)请在答题纸相应位置内，仅用无刻度直尺和圆规作图，使得是等腰三角形（标明每种情况下相等的边），并求出各个情况下的面积．
(3)连接． 将沿直线翻折，得到（点对应点为点），若和的一边平行，求的长．
探究过等腰三角形顶点的直线对该等腰三角形的分割
任务一
对于一个锐角等腰三角形，若分割得的两个三角形都是直角三角形，那么该等腰三角形的_____（选填“高”“中线”“角平分线”）一定在该直线上．
任务二
若分割得的两个三角形中，有一个三角形是直角三角形，另一个三角形是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比．
（1）顶角为60°的等腰三角形；
（2）顶角为90°的等腰三角形；
（3）顶角为120°的等腰三角形．
任务三
若分割得的两个三角形都是等腰三角形．现给出如下三种等腰三角形，判断它们是否能符合上述条件，若可以，请直接写出两小三角形的面积比．
（1）顶角为36°的等腰三角形；
（2）顶角为90°的等腰三角形；
（3）顶角为108°的等腰三角形．
若还有其他三角形符合上述条件，请直接写出该三角形的顶角．
定义 平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”．
《2025年上海市初中学业水平考试考前模拟练习 数学试卷》参考答案
1．C
【分析】本题考查实数的分类，有理数是整数和分数，无理数是无限不循环小数，常见的有圆周率、开方开不尽的数，据此即可解答．
【详解】解：A、是无理数，不符合题意；
B、是无理数，不符合题意；
C、是分数，是有理数，符合题意；
D、是无理数，不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴2025的算术平方根是45；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查众数，中位数．众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据；中位数就是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：将33，34，36，39，38，37，33按从小到大的顺序排列如下：33，33，34，36，37，38，39，
最中间的数是36，出现次数最多的数是33，
∴数据33，34，36，39，38，37，33的中位数是36，众数是33．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面积公式，进行求解，判断即可．
【详解】解：如图，
在中，，；
在中，，；
∴，，
∴；
故选项A，C，D正确；
无法得到；故选项B错误；
故选B．
5．C
【分析】本题考查解直角三角形，等腰梯形的性质，平行四边形等性质，根据等腰三角形的三线合一，特殊角的三角函数值判断A，B，等腰梯形的性质，判断C，平行四边形的性质，判断D．
【详解】解：A、如图，，在上取点，连接，使，则：，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；故该选项正确；
B、如图，，在上取点，连接，使，则：，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；故该选项正确；
C、如图，等腰梯形，，作，，设，
则四边形为平行四边形，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
当时，则：，
整理，得：
∴当满足时，即成特定的比例时，对角线才和下底相等，
故对角线和下底不一定相等；故该选项错误；
D、如图，四边形为平行四边形，则：，
∴，
∴；故该选项正确；
故选C．
6．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质，三角形中位线定理，若以点D为圆心，为半径的圆和线段没有第二个公共点，那么此时以点D为圆心，为半径的圆和线段相切，即此时，过点B作交直线于，则，可证明，得到，则，再由垂线段最短可得此时必定有点C与点G重合，即此时满足；假设，点D和点H分别为的中点，可证明，得到，则，再证明在上一定存在一点E满足即可判断（2）（3）．
【详解】解：如图1所示，若以点D为圆心，为半径的圆和线段没有第二个公共点，那么此时以点D为圆心，为半径的圆和线段相切，即此时，
如图1所示，过点B作交直线于，则，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵垂线段最短，
∴此时必定有点C与点G重合，即此时满足，故（1）正确；
如图2所示，假设，点D和点H分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴在上一定存在一点E满足（），
∴在上一定存在一点E满足，
∴若点D是线段的中点，则不一定有；若是直角三角形，则不一定有，故（2）（3）错误；
综上所述，只有（1）正确，
故选：B．
7．225
【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数幂的定义，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：225．
8．
【分析】本题主要考查平方差公式，熟记公式是解题的关键．
根据平方差公式即可求解．
【详解】，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此即可解答．
【详解】解：150亿，
故答案为：．
10．/156度
【分析】由正多边形的外角和为且每个外角相等，先求出外角，再求出内角即可．
【详解】解：正十五边形的一个外角为：，
∴正十五边形中一个内角的度数为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的性质、外角和定理，掌握此性质与定理是关键．
11．
【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据二次函数图象的开口方向即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线的图象不经过第一、二象限，
故抛物线图象必开口向下，故，
故答案为：．
12．0
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：直线向左平移3个单位得到直线，
故；
故答案为：0．
13．
【分析】此题考查了素数的概念，概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
先根据素数的概念找出中的19个自然数中的素数，再由概率公式求解即可．
【详解】解：在自然数中素数有，共8个，
∴恰好发现该出口所对应的号码为素数的概率为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了平面向量的线性运算，掌握向量的加法法则是解题的关键．根据向量加法的三角形法则，从点A到点B的路径可以看作从A到O，再从O到B，因此有．
【详解】解：根据向量加法的三角形法则，从点A到点B的向量可以分解为从A到O和从O到B的向量之和，
即：，
代入已知条件，，，
∴，
因此，用和表示的结果是，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小，得到物距增加，根据焦距是个定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为，
由题意，得：，
解得或（舍去）；
∴；
∴；
故答案为：
16．/
【分析】本题考查了勾股定理、直线平行的性质、三角形相似的判定与性质，根据题意证明，求出，再证明，根据相似比即可求出答案．
【详解】解：在中，，
在等腰直角中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
17．1或2
【分析】本题主要考查二次函数与其一次子函数的关系，以及方程求解能力。关键在于理解“子函数”的定义，并利用已知条件建立方程，进而求解两函数的交点横坐标．
【详解】解：因为“子函数”过点，
所以，则，
当两函数的函数值相等时，
即，
把代入得，
即，
再移项得，
解得或．
故答案为：1或2．
18．
【分析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形，利用矩形的性质和勾股定理可得；由切线的性质和切线长定理得到，则由勾股定理可得；以点D为原点，以直线和直线分别为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，由两点距离计算公式可得，解方程组求出点E和点F的坐标，再求出的长即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴；
∵直线和都和相切（E在F上方），
∴，
∴；
如图所示，以点D为原点，以直线和直线分别为x轴，y轴建立坐标系，则，，
设，
∴，
解得或（舍去），
∴，
同理可得，
∴，，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、特殊角的三角函数、分数指数幂的运算，根据二次根式的分母有理化的方法、特殊角的三角函数值、分数指数幂的定义即可一次计算．
【详解】解：原式．
20．，
【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．两边都乘以将分式方程转化为整式方程，求得x的值，再进一步检验，从而得出答案．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
整理，得 ，
化简，得，
解得，，
经检验、都是原方程的根，
所以原方程的根为，．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用角相等，角的两边对应成比例即可证明两三角形相似；
（2）为求，则过点作，垂足为点，利用求解．为求，先求，故过点作，垂足为点，易求，设，根据几何关系依次计算即可．
本题考查了三角形相似的判定、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用．
【详解】（1）证明：∵，
，
在与中，
，
∴．
（2）解：过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．
∴是等腰直角三角形，
根据勾股定理可知，
设，
则，
在中，∵，
．
22．任务一：高；任务二：（1）不可以；（2）可以，面积比为；（3）可以，面积比为或；任务三：（1）可以，面积比为或；（2）可以，面积比为；（3）可以，面积比为或；其他三角形的顶角：．
【分析】任务一：过等腰三角形顶点的直线将等腰三角形分割成两个三角形，分割成的两个三角形均为直角三角形，则三角形的一条高一定在这条直线上；
任务二：（1）根据等边 三角形的性质即可判断求解；（2）根据等腰直角三角形的性质即可判断求解；（3）将顶角分为90°和30°的直线即为所求，根据边长关系可求面积比；
任务三：（1）底角角平分线所在直线即为所求，利用三角形相似即可求出边长关系，从而得到面积比；（2）根据等腰直角三角形的性质即可判断求解；（3）将顶角平分为36°角和72°角的直线即为所求，根据（2）中所求三角形边长关系即可求面积比；其他满足条件的三角形可设角，根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形、黄金分割、三角形的内角和定理等．
【详解】解：①任务一
过等腰三角形顶点的直线将等腰三角形分割成两个三角形，分割成的两个三角形均为直角三角形，则三角形的一条高一定在这条直线上，
故答案为：高；
②任务二
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，过等边三角形的顶点分割等边三角形，分割成的两个三角形若其中一个为直角三角形，则另外一个也是和它全等的直角三角形，这两个直角三角形的内角从小到大为30°、60°、90°，如图：
故（1）中三角形不符合条件；
（2）可以，两小三角形面积比为．如图虚线（顶角角平分线所在直线）可将等腰直角三角形分为两个全等的小等腰直角三角形：
（3）可以，面积比为或，如图中直线（将顶角分为90°和30°的直线）即为所求直线：
设，则，
过A作于E，则，
∴．
③任务三
（1）可以，面积比为或，如图中（底角角平分线所在直线）即为所求直线：
设，
∵，
∴，
∴，即，即，解得，
∵，∴，
∴，或；
（2）可以，面积比为，如图中虚线（等腰直角三角形斜边上的高所在直线）即为所求直线：
（3）可以，面积比为或，如图中（将顶角平分为36°角和72°角的直线即为所求：
由任务三（1）解答过程可知顶角为的等腰三角形的底和腰的比，即本题的为，
故可设，
∴，或；
其他三角形的顶角：，如图：
由图得，即．
则顶角为
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过点作，垂足为点，证明，再证是等腰直角三角形即可；
（2）证明，由边成比例可得，再由即可得证．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理等，是关于三角形的综合题．
【详解】（1）证明：过点作，垂足为点．
∵四边形是正方形，
在与中，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴由勾股定理可知，
∴．
24．(1)①，的“特征三角形”的面积为；②或或或
(2)一，二；证明见解析
【分析】（1）①设抛物线的表达式为，得，得出抛物线的表达式为，再联立，解得：或，得，，求出，，，证明是等腰直角三角形，即得出称为抛物线的“特征三角形”，可得结论；
②由①知：轴，根据正方形的性质得，，然后分两种情况：当在下方时；当在上方时，分别求解即可；
（2）先判断出命题一和命题二都成立，然后分别举例证明命题一和命题二即可．
【详解】（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得：，
∴，
即抛物线的表达式为，
如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧），
∴轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”，
此时，
∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为；
②由①知：轴，
∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧），
∴，，
如图，
当在下方时，则，，
当在上方时，
∵为的“特征三角形”（在的左侧），
∴，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在下方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在上方时，则，，
当在上方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在下方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
综上所述，抛物线的表达式为或或或；
（2）解：命题一和命题二都成立，
故答案为：一，二；
证明：
命题一：设两抛物线的表达式为和，
它们的二次项系数分别和，且
即两抛物线二次项系数绝对值相同，
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为；
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为，
∴这两个抛物线的“特征值”相等，
∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等；
命题二：设两抛物线的表达式为和，
它们的二次项系数分别和，比值为，
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为；
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为，
∴，
∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等；
和，命题一的证明可以基于第（1）②小题）
∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，抛物线与直线的交点问题，两点间的距离，勾股定理定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，正方形的性质等知识，理解“特征三角形”和“特征值”是解题的关键．
25．(1)
(2)见解析，或或
(3)或或
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键；
（1）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，根据得出，进而求得，设，，得出，根据垂径定理得出，进而求得，勾股定理求得，进可得，根据，即可求解；
（2）分三种情况讨论，分别画出图形，解直角三角形即可；① 当时，②当时，③当时；
（3）分三种情况讨论，，，，分别画出图形，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：如下图所示，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
，
，
在中，，
，
设，，
在中，，
，
在中，，
弦，
，
，
在中，，
，
解得：
，
，
在中，，，
∴，
，且，
；
（2）解：如下图所示，当时，以点为圆心，为半径画圆，
此时，
，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
；
如下图所示，当时，以点为圆心，为半径画圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设
∴，
∵，则，
∴
如图，在上取点，使得，
∴
设，则，
在中，
∴
解得：
∴，，
∴，，
如图，过点作于点，
∴
∴
，
；
如下图所示，当时，
作线段的垂直平分线，
同理可得，
，，
；
（3）解：如下图所示，若，
又∵
∴四边形是平行四边形，则，
∵，
∴，
∴，
②，
过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．连接，交于，
设，
由（2）②可得：，
则，，
∵
∴
∴
∴，
则，
在中，，，
，，
，
③，如图，
过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．
∵
∴
如图，在上取点，使得，则，作，
∴
∴，
根据角平分线的性质可得到的距离相等，设到的距离为
∴
∴
由（2）②可得，,，
∴
∴，
又∵
在中，，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
∴，
设，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴
则，
，
解得：（舍去）
则，
综上所述，或或
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
C
B
B
C
B