2025-2026学年安徽省马鞍山二中高二（上）9月质检数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年安徽省马鞍山二中高二（上）9月质检数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则1+iz=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i
2.已知向量a=(−2,2 3),b=(1, 3)，则b在a方向上的投影向量为( )
A. 14aB. −14aC. −bD. b
3.一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是( )
A. 4 3B. 8 3C. 4 5D. 8 5
4.已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是( )
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
5.已知α，β表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，( )
A. 若b//a，a⊂α，则b//α B. 若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α
C. 若a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则α//β D. 若a⊥α，a//b，b⊂β，则α⊥β
6.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为( )
A. 0.035B. 0.07C. 0.105D. 0.14
7.已知ΔABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA⋅(PB+PC)的最小值是( )
A. −2B. −32C. −43D. −1
8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为( )
A. 1+ 22 B. 4+2 22
C. 1+ 32 D. 4+ 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(3,−1),b=(2,1)，则下列结论正确的是( )
A. (a−2b)⊥bB. a与b的夹角为π4
C. (a+2b)=5 10D. a在b方向上的投影向量的模是 5
10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为1、2、3、4的4个神秘书签，书签除编号外完全相同.小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号( )
A. 第一张书签编号比第二张大的概率是12
B. “两书签编号之和为6”的概率是112
C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立
D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为5”的概率为23
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1D上一动点，F为棱AB的中点，则( )
A. 四面体B1CEF的体积为定值
B. 存在点E，使EF⊥平面ACB1
C. 二面角A1−DF−A的正切值为 55
D. 当E为A1D的中点时，四面体ADEF的外接球表面积为5π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若1+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根，则实数k= ______．
13.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为______cm．
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin(A+C)=2Sb2−a2，则tanA+13tan(B−A)的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，⋯，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在[80,90)的概率．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(1,t)(t∈R)．
(1)若(a+b)⊥(5a−8b)，求t的值；
(2)若t=1，a与a+mb的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA+tanB= 3cbcsA．
(1)求B；
(2)求a2+c2b2的取值范围．
18.(本小题17分)
某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第1，2，3，4题的概率分别为12，13，14，15，且每道题目能否答对都是相互独立的．
(1)求甲得10分的概率；
(2)求甲得3分的概率；
(3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19.(本小题17分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=2 2,BC=2,E为AB的中点.将△ADE沿DE向上翻折，进而得到多面体A1−BCDE(如图2)．
(1)当平面A1DE⊥平面EBCD时，求直线A1C与平面EBCD所成角的正切值；
(2)在翻折过程中，求直线A1C与平面EBCD所成角的最大值；
(3)在翻折过程中，求二面角A1−DC−B的最大值．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.D
6.B
7.B
8.B
9.BD
10.ACD
11.ABD
12.−2
13.8
14.(2 33,43)
15.(1)由已知可得(0.01×2+0.03×2+x)×10=1，解得x=0.02，
所抽取的50名学生成绩的平均数为55×0.1+65×0.3+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74(分)，
由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.40.5，
所以中位数位于[70,80)内，设为a，
所以0.4+(a−70)×0.03=0.5，解得a=2203(分)．
(2)由(1)可知，后三组中的人数分别为15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，
记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80,90)这组的2名学生分别为d，e，成绩在(90,100]这组的1名学生为f，
则从中任抽取2人的所有可能结果为：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、
(b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f)，共15种．
其中恰有1人成绩在[80,90)为(a,d)、(a,e)、(b,d)、(b,e)、(c,d)、(c,e)、(d,f)、(e,f)共8种．
故所求概率为P=815．
16.解：(1)因为a=(1,2)，b=(1,t)，
所以a+b=(1,2)+(1,t)=(2,2+t)，5a−8b=5(1,2)−8(1,t)=(−3,10−8t)
(a+b)⊥(5a−8b)，
则(a+b)⋅(5a−8b)=0，
故2×(−3)+(2+t)×(10−8t)=0，即4t2+3t−7=0，
解得t=−74或t=1．
(2)当t=1时b=(1,1)，a+mb=(1,2)+m(1,1)=(1+m,2+m)，
a与a+mb的夹角为锐角，
则a⋅(a+mb)>0且a与a+mb不共线同向，
故1×(1+m)+2×(2+m)>01×(2+m)−2×(1+m)≠0，解得m>−53m≠0，
故m的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞)．
17.(1)因为tanA+tanB= 3cbcsA，
而tanA+tanB=sinAcsA+sinBcsB=sinAcsB+csAsinBcsAcsB=sin(A+B)csAcsB=sinCcsAcsB，
由正弦定理可得 3cbcsA= 3sinCsinBcsA，
所以sinCcsAcsB= 3sinCsinBcsA，
锐角△ABC中，sinC≠0，csA≠0，
可得tanB= 3，
在锐角△ABC中，B∈(0,π2)，
所以B=π3；
(2)由(1)知B=π3，C=2π3−A，可得sinB= 32，
在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sin(A+π3)，
又△ABC为锐角三角形，0