福建省福清第一中学2026届高三上学期质量检测一数学试卷（含答案）

这是一份福建省福清第一中学2026届高三上学期质量检测一数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A=x∈N∗2x0，g(x)=ex−a x有解，g′(x)=ex−a2 x=2ex x−a2 x，
①若a≤0,g(x)单调递增，g(x)>g(0)=1此时不存在零点；
②若a>0，令ℎ(x)=2ex x−a，ℎ(0)=−a0，
由零点存在定理可知存在x0∈0,a2,ℎx0=0，
所以g(x)在0,x0上为减函数，在x0,+∞上为增函数，
故g(x)min=ex0−a x0=a2 x0−a x0≤0，解得x0≥12，故a≥ 2e12= 2e．
(ⅱ)因为函数f(x)存在零点，所以f(x)=ex−a x−bx有解x0，其中x0≥0，
若x0=0，则1−a×0−b×0=0，该式不成立，故x0>0．
故a x0+bx0−ex0=0，考虑直线x x0+yx0−ex0=0，
a2+b2表示原点与直线x x0+yx0−ex0=0上的动点(a,b)之间的距离，
a2+b2≥ex0 x02+x0，所以a2+b2≥e2x0x02+x0，
x0>0时，要证a2+b2>2，只需证e2x0x02+x0>2，
解法一：即证e2x0−2x02−2x0>0．
令g(x)=e2x−2x2−2x,x>0，则g′(x)=2e2x−4x−2=2e2x−2x−1，
令ℎ(x)=e2x−2x−1，x>0，故ℎ′(x)=2e2x−1>0,ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，故ℎ(x)>ℎ(0)=0．
即g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上为增函数，
故g(x)>g(0)=1，故e2x0x02+x0>2，即a2+b2>2成立．
解法二：令φ(x)=e2xx2+x(x>0)，则φ′(x)=e2x2x2−1x2+x2，
令φ′(x) 22,φ(x)单调递增，
所以φ(x)≥φ 22=2e 21+ 2>2( 2+1)1+ 2=2．