高考数学第一轮复习专项练习含答案（中档题）08：空间向量与立体几何（30题）

这是一份高考数学第一轮复习专项练习含答案（中档题）08：空间向量与立体几何（30题），共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为的实心铁球，则此时水面的高度为（ ）
A．B．C．D．
3．已知某圆台的侧面展开图如图所示，，，，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（ ）
A．B．C．D．20
5．已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（ ）

A．B．C．D．
7．如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ）
A．36B．40C．52D．56
9．已知棱长为4的正方体的各个顶点均在球的表面上，点满足，过点作与直线垂直的平面，则截球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
10．在封闭的圆锥内有一个表面积为的球，若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．已知正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，棱台的体积为56，则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱台的高为3B．该四棱台的侧棱长为
C．该四棱台的侧面积为D．该四棱台一定不存在内切球
12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使平面
B．存在点，使平面
C．若点为中点，则点到平面的距离为
D．二面角夹角最大时，
13．如图，在直三棱柱中，，，，点为线段上动点（含线段的端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点为中点时，
B．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值
C．点到直线距离的最小值为
D．当点为中点时，直线AP与直线所成角的余弦值为
14．在直三棱柱中，，，，分别是BC，的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面
B．直线EF与平面所成角的余弦值为
C．直三棱柱的外接球半径为
D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段长为
15．在正方体中，，点分别在棱和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ）
A．B．平面
C．线段长度的最大值为D．三棱锥体积不变
16．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面平面
C．直线BC与平面相交
D．直线与平面所成的角为
17．设长方体的中心为，点为棱的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A．点到平面的距离B．点到平面的距离
C．点到平面的距离的D．点到平面的距离的
18．在直三棱柱中，，，，分别为棱，的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为，则（ ）
A．存在一半径为的球，使得三棱柱的所有顶点都在该球面上
B．存在一半径为2的球与三棱柱的所有侧棱相切，与上、下底面也相切
C．的中点在以为球心，半径为的球面上
D．点的轨迹长为
19．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（ ）
A．平面
B．向量不共面
C．平面与平面的夹角的正切值为
D．平面截该正方体所得的截面面积为
20．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ）
A．平面
B．向量不共面
C．平面与平面的夹角的正切值为
D．平面截该正方体所得的截面面积为
三、填空题
21．在正四棱台中，，则该正四棱台的高为 ；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为 ．
22．已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为 .
23．已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积是 ．
24．在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为 ．
25．已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ．
26．某种游戏中，黑，黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第2段与第ⅰ段所在直线必须是异面直线（其中ⅰ是正整数）．设黑“电子狗”爬完2022段，黄“电子狗”爬完2023段后各自停在正方体的某个顶点处，这时黑，黄“电子狗”间的距离是 ．
27．已知球与圆台的上、 下底面和侧面都相切.若圆台上、下底面半径分别为、，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为 .
28．如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则 ．
29．如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 .
30．《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为 尺．
《空间向量与立体几何》参考答案
1．C
【分析】根据正四棱台的结构特征及其外接球半径与两个底面对角线的关系列方程求球心到一个底面的距离，再求球体的半径，进而求体积.
【解析】由题设及下图，知，
若是在面上投影，易知在上，且面，
所以，
若外接球球心到面的距离为，球体半径为，
则，且，可得（负值舍），
所以，故正四棱台的外接球的体积为.
故选：C
2．D
【分析】根据已知条件，容器中放入铁球后，总体积为，由此列方程求解即可.
【解析】由已知可得圆柱的底面半径为，往容器内注水后水面高度为2，
此时放入一个半径为的实心铁球，铁球的直径为，所以铁球完全没入水中，
设此时水面的高度为，则，解得.
故选：D
3．B
【分析】根据题设求出圆台的上，下底面半径及圆台的高，再利用圆台的体积公式，即可求解.
【解析】设圆台的上，下底面半径分别为，，则，解得，
所以圆台的上，下底面半径分别为．
如图1，因为，所以，
又由，得到，由，得到，
所以圆台的母线，
设圆台的高为，如图2，易知，
所以圆台的体积，
故选：B．
4．C
【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得.
【解析】
如图，把几何体补全为长方体，则，
，
所以该包装盒的容积为，
故选：C
5．C
【分析】先根据长方体外接球半径公式计算得出，再根据线面垂直判定定理得出四面体的特征计算得出外接球半径即可求解.
【解析】依题意得，解得，
如图，取线段的中点，连接，平面，平面，
所以，因为，所以
又平面，所以平面，
因为平面过点，所以平面即为平面，所以点在线段上，
因为，所以为线段的中点，且边上的高为，
故为等腰直角三角形，且其外接圆半径.
设四面体外接球的半径为，则，
故所求外接球的体积为.
故选:C.

6．C
【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积.
【解析】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，
则，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，
则，则，
所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为.
故选：C.
7．A
【分析】根据已知，将几何体补全为正八面体，得到且，即可确定异面直线的夹角.
【解析】延长，，，交于Q，易知：，
故是正八面体，故，，
∠APD即为所求异面直线所成角，余弦值为.
故选：A
8．D
【分析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积.
【解析】过点作，垂足为H，则.
因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以，
则梯形的高，
故该正四棱台的表面积是.
故选： D.
9．C
【分析】先证明线面垂直，再根据点到平面距离及得出，结合球的性质即可得出求出截面面积.
【解析】如图，连接，
平面，平面，平面，
则直线垂直于平面，
则为过点且与平面平行的平面，点在平面内，
点到平面的距离就是平面与平面的距离，
又，所以，
球的半径，所以截球所得截面圆的半径，该圆面积为．
故选:C．
10．B
【分析】根据题意球体与圆锥内部相切时球表面积的最大，根据圆锥轴截面求球体的半径，进而求其表面积.
【解析】要使球表面积的最大，只需球体与圆锥内部相切，此时圆锥轴截面如下，
所以球体半径，即最大面积为.
故选：B
11．BC
【分析】利用正四棱台的结构特征，结合体积公式、侧面积公式，计算判断ABC；结合球的结构特征判断D.
【解析】对于A，设该四棱台的高为，则，解得，A错误；
对于B，该四棱台的侧棱长，B正确；
对于C，该四棱台的斜高为，侧面积为，C正确；
对于D，若该四棱台有内切球，内切球必与两底相切，球的直径为四棱台的高6，
而该球的直径一定小于正四棱台下底边长4，矛盾，因此该四棱台不存在内切球，D错误.
故选：BC
12．ABC
【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D.
【解析】对于A，当位于时，此时平面，平面，
故平面，A正确，
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，
由于，故，
设，则，
则，
要使平面，则，解得，故存在点，当时，，结合，平面，故平面，B正确，
对于C， 点为中点，此时，
设平面的法向量为，
故，，
，令，则，
则点到平面的距离为，故C正确，
对于D，设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
故，，
，令，则，
设平面的法向量为，
故
，令，则，
，显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故D错误，
故选：ABC
13．BC
【分析】A选项，由勾股定理逆定理证明出，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出；B选项，证明线面垂直，得到到平面的距离为，等体积法求出三棱锥的体积等于，B正确；C选项，设，利用点到直线的向量距离公式计算出，求出最小值；D选项，利用异面直线的夹角向量公式求出答案.
【解析】因为直三棱柱中，，，
，由勾股定理逆定理得，
以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，当点为中点时，，
故
，A错误；
B选项，当点在线段上运动时，为定值，
取的中点，连接，
因为为等腰直角三角形，所以⊥，
又⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，且，
又到平面的距离为，
故三棱锥的体积等于，B正确；
C选项，，设，
，，
则，
，
点到直线距离为
，
故当时，取得最小值，最小值为，C正确；
D选项，当点为中点时，，，
，
则，
设直线AP与直线所成角的大小为，则，D错误.
故选：BC
14．ACD
【分析】利用空间向量法可判断线面平行，求解线面角，线线角结合二次函数值域分别判断A，B，D，再根据正方体外接球计算外接球半径即可判断C.
【解析】
直三棱柱中，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图，
，、分别是、的中点，在线段上，
、、、、、，
对于A，为平面的一个法向量，，
则，又平面，平面，故A正确；
对于B，为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，，故B错误；
对于C， 三棱柱是直棱柱，，，所以直三棱柱的外接球半径等于边长为4的正方体的外接球的半径，
所以，所以，故C正确；
对于D，设，
则，，
设直线与直线所成角为，则，
当即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小，
，，故D正确．
故选：ACD．
15．ACD
【分析】建立如图空间直角坐标系，设，由可得.根据即可判断A；根据即可判断B；根据和二次函数的图象与性质即可判断C；根据等体积法计算即可判断D.
【解析】在正方体中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴，
建立空间直角坐标系，如图：
，
设，
则，
而，所以，
.
对于A选项：，
则，即，故A正确；
对于B选项：，，
即CM与MN不垂直，从而MN与平面不垂直，故B不正确；
对于C选项：，则线段BN长度，
当且仅当时取“=”，故C正确；
对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面的距离均为3，
而，
所以三棱锥体积为定值，故D正确．
故选：ACD
16．CD
【分析】利用线面垂直判定性质来判定A； 过点A作垂直于，垂足为M，连接，借助余弦定理求出，得到与不垂直，来判定B； 运用与直线相交，判定C；找出线面角，求出大小来判定D.
【解析】对于选项A，若，已知平面，平面 ，.
又因为，且平面，所以平面.
又平面，可知，这与已知条件矛盾，所以选项A错误.
判断选项B， 过点作垂直于，垂足为M，连接，在中，设，因为，根据勾股定理可得.
可得，即，解得.
再根据勾股定理可得.
已知，，同理可得.
在中，根据余弦定理，可求出.
在中，根据余弦定理，可求出.
在中，根据余弦定理，可求出，所以，即与不垂直，选项B错误.
对于选项C，因为在棱锥的底面内，直线与直线相交，所以与平面相交，选项C正确.
对于选项D，因为平面ABC，所以就是直线与平面所成的角.
在中，，因为，所以，即直线与平面所成的角为，选项D正确.
故选：CD.
17．ACD
【分析】根据长方体中线面关系,把点到面的距离转化为平行直线到面的距离,判断选项的正误.
【解析】连，取中点，由点为棱的中点，可得，易证平面，
点到平面的距离相等，又线段的中点在平面上，
所以点到平面的距离相等；
因为，所以点到平面的距离相等，而，，
且点都在平面上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的；
过作交于，延长至点，使得，延长至点，
使得，则三点共线，，且，所以，
，且点都在平面上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的，
即点到平面的距离等于点到平面的距离的.
故选：ACD
18．BC
【分析】根据给定条件，结合直棱柱的结构特征及球的结构特征依次判断ABC；确定点位置并求出长，进而求出轨迹长判断D.
【解析】对于A，在直三棱柱中，，则，
的外接圆半径为，三棱柱的外接球半径，A错误；
对于B，分别是的中点，则以的中点为球心，2为半径的球，
球心到三条侧棱的距离都等于2，且到上下底面距离也都为2，满足题意，B正确；
对于C，，令的中点为，在直角中，，
即的中点在以为球心，半径为的球面上，C正确；
对于D，平面，则平面，
而平面，则，且点在上，则，
，，在直角中，，
则点在以为圆心，半径为的圆上，当点与重合时，点与重合，
点为的中点；当点与重合时，点为中点，
而四边形为正方形，则，因此点的轨迹所对圆角为，轨迹长为，D错误．
故选：BC
19．AC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断ABC；作出截面，结合余弦定理、三角形面积公式计算判断D.
【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
对于A，，则，
即，而平面，因此平面，A正确；
对于B，，则向量共面，B错误；
对于C，设平面的法向量，，
则，取，得，平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
，因此平面与平面的夹角的正切值为，C正确；
对于D，连接并延长交的延长线于，连接交于，交延长线于，
连接交于，则五边形即为所求截面，，
，则，
，
，为的中位线，则，
，因此截面面积小于，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：正确作出截面是求解判断D选项的关键.
20．AC
【分析】对A选项，可以用向量法得到平面的法向量与共线；对B选项，可以利用坐标法，得到三个向量共平面；对于C选项，先求两个向量的法向量，两个法向量所在直线的夹角即为两个平面的夹角，然后求出所求的正切值即可；对于D选项，可做出截面计算面积.
【解析】如图以为坐标原点，，,为，和轴正向建立坐标系：
，，，，，，
对于选项A，可以设平面的一个法向量，根据线面垂直的判定可知，，可令得，，
可得与共线，即平面，选项A正确；
对B选项，，，，
可利用坐标计算得到，三个向量共面，B选项错误；
对C选项，可设平面的一个法向量为平面的一个法向量为，
由，得到，令，，
可设与得夹角为，则，
由题意两平面夹角为锐角，设两平面夹角为，则与互补，，，，选项C正确;
对选项D，如图做出截面：过在平面内做的平行线，交于点，
连接，过点做的平行线，交于点，根据平面平行的性质，
易证和为平面与立方体外表面的交线，连接，可得五边形即为所求截面.
，，，可求得，
，，
结合图可知截面五边形面积小于，选项D错误.
故选：AC
21．
【分析】根据正四棱台的结构特征，结合已知条件计算出高，再判断确定点的轨迹，再应用弧长公式求出轨迹长度.
【解析】

取正方形的中心为，正方形ABCD的中心为O，连接，
则平面ABCD．过点作于点H，则，所以平面ABCD，且四边形为矩形，
，
．在中，，
即该正四棱台的高为．

连接PH，在中，，
点P的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即．
过点H作于点E，过H作于点F，则．
在中，．同理，
，
的长度为，
故点P的轨迹长度为.
故答案为：；.
22．/
【分析】将该正三棱台补成正三棱锥，结合题意可得三棱台的上、下底面边长，则可得正三棱锥的侧棱长，再计算出三棱锥的高后结合体积公式计算即可得解.
【解析】如图，延长三棱台的侧棱交于一点O，可以得到正三棱锥，
设三棱台的上底面边长为，下底面边长为，
则有，即，则正三棱锥的侧棱长为，
过点O作平面ABC，交平面于点，
记的中点为，则，
故三棱锥的高为，
故三棱台的体积为.
故答案为：.
23．/
【分析】由正四棱锥的内切球作图，根据勾股定理、三角形相似，求出四棱锥的高即可.
【解析】如图，
设正四棱锥的内切球的半径为R，H为底面中心，
由内切球的体积为，得．
连接PH．由题意得平面ABCD，球心O在PH上，，
取CD的中点F，连接HF，PF．
设点O在侧面PCD上的投影为点Q，则点Q在PF上，且，．
设O到P的距离为h，所以，即，解得，
所以．
故答案为：##.
.
24．
【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用体积公式即可求得答案。
【解析】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴，
以所在直线为轴，建立空间直角标系，
则，
则，
因为异面直线与所成角的余弦值为，
故，
由于，即，解得，
故该正三棱柱的体积为，
故答案为：
25．/
【分析】可以先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，，平面夹角的余弦值即为两个法向量所成角的余弦值的绝对值，代入坐标公式计算即可.
【解析】解析：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
易知当取点和点分别为棱的中点时，，坐标为：，，四点共面．设平面的法向量为，
依题意得：，令，可取，
同理可得平面的一个法向量为．
故平面与平面夹角的余弦值为．

故答案为：
26．1
【分析】由题意确定黑、黄狗的爬行路线，确定最终位置，然后再求空间两点间距离即可.
【解析】由题意，黑“电子狗”爬行的路线为，
即爬完6段后又回到起点，可以看作以6为周期，又，
所以黑“电子狗”爬完2022段后停在点；
黄“电子狗”爬行的路线为，黄“电子狗”也是爬完6段后又回到起点，可以看作以6为周期，又，
所以黄“电子狗”爬完2023段后到达点．
此时黑，黄“电子狗”间的距离为1．
故答案为：1
27．
【分析】设球的半径为，利用球与圆台相切得和圆台的高为，再利用圆台和球的体积得，再利用对勾函数的图象与性质，计算得结论.
【解析】因为球与圆台的上、下底面和侧面都相切，
圆台上下底面半径分别为、，且，
由切线长定理有圆台的母线长为，
设球的半径为，几何体轴截面上右端点为，下右端点为，
过点作于，则圆台的高，，
则由勾股定理有，化简得，
因为球与圆台的体积分别为和，
所以，
因为，所以，
令，，由对勾函数可知，时，随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
28．
【分析】过分别作轴、轴的垂线相交于点，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出，根据图象过点即可得解.
【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，

连接，则，
由余弦定理得，
由上可知，轴垂直于，又平面，
所以轴垂直于平面，又轴，所以平面，
因为平面，所以，
因为的周期，所以，
由勾股定理得，解得，
由图知，的图象过点，且在递减区间内，
所以，即，
因为，点在递减区间内，所以.
故答案为：
29．
【分析】根据垂直关系以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离.
【解析】因为平面，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，.
，，，
设为平面的一个法向量，则即
不妨设，可得，
因为，所以.
则点到平面的距离为.
故答案为：
30．
【分析】设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆，易知Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大，再根据已知求线段AM的长度.
【解析】如图，设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆，
当Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大，
由题意得，，，
因为圆所在平面，所以．
故答案为：题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
C
C
A
D
C
B
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
BC
ABC
BC
ACD
ACD
CD
ACD
BC
AC
AC