山东省德州市2026届高三上学期9月第一次联考数学试卷

这是一份山东省德州市2026届高三上学期9月第一次联考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
所以集合，
，
则.
故选：D.
2. 曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】，求导得：，
所以曲线在处的切线的斜率，
故选：A.
3. 角的始边为x轴非负半轴，复数z满足，且复数z对应的点在角的终边上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】依题意由可得，
因此复数z对应的点的坐标为，即点在角的终边上，
所以可知.
故选：D
4. 下列函数中，既是偶函数，又是上的减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】A.是偶函数，在区间上有增区间也有减区间，故A错误；
B. 函数不偶函数，在区间上单调递增，故B错误；
C.函数定义域为，满足，所以函数是偶函数，，，所以函数在区间上不是减函数，故C错误；
D.函数是偶函数，外层函数是增函数，内层函数在区间是减函数，所以函数在区间上是减函数，故D正确.
故选：D
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ）
A. 7B. 8C. 7或8D. 8或9
【答案】C
【详解】根据题意，数列为等差数列，所以（为正整数），，
因为，，所以， 解得，
所以，最大时，，
但由于为正整数，所以当或，最大.
故选：C.
6. 将函数的图象向左平移（）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】函数图象平移后得到，其图象关于点对称，
那么，所以，又，所以m的最小值为.
故选：C
7. 设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. 9D. 5
【答案】B
【详解】因为数列为正项等差数列，所以，，
，可得，即，
由等差数列性质可得，
所以，
因，，故，，
则，当且仅当时等号成立.
由解得，，
即当，时，取得最小值为，
故选：B.
8. 已知向量，，满足对任意，恒有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，则，即，
即，又，
则对任意，，
则，
即恒成立，又，
故，即；
对A：，故A正确；
对B：，不一定为，故B错误；
对C：，故C错误；
对D：，不一定为，故D错误.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. ，可能垂直
B. ，可能共线
C. 若，则在方向上的投影向量为
D. 若，则
【答案】BCD
【详解】对于A，由，得，不可能垂直，A错误；
对于B，取，则，此时，共线，B正确；
对于C，当时，，，在方向上的投影向量为，C正确；
对于D，当时，，，则，D正确.
故选：BCD
10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（ ）

A. 的图象关于点对称
B. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
C. 若在上有3个极值点，则m取值范围是
D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
【答案】BC
【详解】由图知，
，所以，所以，
，
因为，所以，
所以，
对于：，故错误；
对于： ，故正确；
对于：，，

根据正弦函数的图象可得，在上有3个极值点，
则，解得，故正确；
对于：，，
，

由图可知，在上只有一个实数根，
则，故错误.
故选：.
11. 在中，角所对的边分别为，且，，为角的平分线交于，则（ ）
A. B. 的面积为
C. D.
【答案】ACD
【详解】对于A，结合正弦定理，由，
得
因,
代入得
即
因为，所以，则，得，
又，则有，，故A正确；
对于B，由和正弦定理，得（是外接圆的半径），
化简得，故的面积为，即B错误；
对于C，因为角的平分线，则，可得，
即，当且仅当时，等号成立，即，故C正确；
对于D，，
即，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______．
【答案】
详解】若，则，解得，
当与共线时，，则，
当时，，此时两向量方向相反，
故当与的夹角为钝角时，且，
故答案为：
13. 已知，则______．
【答案】
【详解】由，
由，则，
，
所以.
故答案为：.
14. 已知向量满足，且与的夹角为，设，记数列的前n项和为，则______．
【答案】
【详解】由，
可得，
因为且与的夹角为，所以，
则，
又由等差数列的求和公式，可得，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在边长为1的菱形中，，，设，．
（1）用，，表示，并求；
（2）若，，求实数的值．
【答案】（1），；
（2）.
【小问1详解】
因为，所以。
因为，，所以，
则，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，解得．
16. 已知数列中，，记．
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）设，求．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【小问1详解】
由，得，即，
又，所以为常数，
又，所以，
所以数列是公差为2，首项为－5的等差数列，．
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，所以；
当时，，所以，
得到．
综上，.
17. 已知函数．
（1）若的最小正周期为．
（ⅰ）求的单调递增区间；
（ⅱ）若，且，求的值；
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】（1）（i）；（ii）；
（2）
【小问1详解】
若的最小正周期为，则，解得，所以.
（i）由题意，令，，
解得，，即的单调递增区间为.
（ii），，
又，，，
.
小问2详解】
当时，，又在区间上的值域为，
，解得，
即的取值范围是.
18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角C的值；
（2）若AB边上的中线CD长为，求的面积；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
因为，所以，
整理得.
因为是锐角三角形，所以，所以，
所以，解得.
【小问2详解】
已知，是边上的中线，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，整理得（1）.
由正弦定理，，
所以，又，所以，
所以，
所以，
将代入（1）整理得，
因为，所以，所以,
解得，又，所以，
所以是等边三角形，
【小问3详解】
由（2），
所以.
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
即的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）若，求函数在上的最值；
（2）若，对，求证：；
（3）若是函数的极小值点，求的取值范围.
【答案】（1）在上的最小值为，最大值为
（2）证明见解析 （3）
【小问1详解】
若，
故当时，单调递减；
当时，单调递增；
而，
故在上的最小值为，最大值为.
【小问2详解】
法一：若，
令，
则，
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以，
即，则在上单调递增，所以，
即，则在上单调递增，所以，
所以当时，，即.
法二：若，
故在上单调递增，所以当时，，即.
令，
则，
故在上单调递增，所以，
即当时，，即.
【小问3详解】
由题意得，，.
当时，不妨设，
因为，故在上恒成立，单调递增.
又，所以当时，；
当时，.
又，则，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
故是函数的极小值点.
当时，不妨设，故存在，使得，
且当时，，故在上单调递减，
故当时，，
故在上单调递减，故不是函数的极小值点.
综上，实数的取值范围为.