湖南省益阳市2026届高三上学期9月教学质量监测数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分.考试时量120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
试题卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 或
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
3. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A. 最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为
6. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2B. 平均数为2，方差为2.4
C. 中位数为3，众数为2D. 中位数为3，方差为2.8
7. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 在正方体中，为的中点，，则（ ）
A.
B. 平面
C. 与平面所成的角为
D. 四棱锥体积为9
10. 在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（ ）
A. 轴与圆可能相切
B 直线与圆可能相交
C. 轴被圆所截得的弦长的最大值是2
D. 原点与圆上的点的距离的最大值为
11. 若，当时，记.数列的通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则或16
C.
D. ，当时，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线的方程为______．
13. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在5道数学试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出题不再放回.
（1）如果从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；
（2）如果从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望.
16. 已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
17. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）若，证明：.
19. 动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
（1）求方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.