青海省西宁市2025年中考真题数学试卷（解析版）

这是一份青海省西宁市2025年中考真题数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1. 下列四个实数中，最大的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】解：负数小于0，0小于正数，
，
又，，且，
，
，
最大的是，
故选：．
2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：这个立体图形的主视图为：
，
故选：．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 概率很大的事件一定会发生B. “任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件
C. 两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐D. 某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
【答案】B
【解析】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意；
B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意；
C、∵，
∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ；
D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意；
故选：B ．
4. 当时，下列代数式在实数范围内有意义是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意；
故选B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选：．
6. 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】解：由作图可得，，
∴垂直平分，故②正确．
∵，，
∴平分，故③正确．
由作图可得，
∴，
∴，故⑤正确．
∵，但无法判断，
∴无法得到是等边三角形，故①错误．
∵，，但无法得到，
∴无法证明四边形是菱形，故④错误．
综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个．
故选：B
7. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A. B. 与的面积相等
C. 的面积是D. 当时，
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得，
故A选项正确；
∴一次函数的解析式为．
∵对于一次函数，令，则；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∴，故B选项正确；
，故C选项错误；
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴由图象可得当时，，故D选项正确．
故选：C．
8. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意，得：，
∴设，，则：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得或（不合题意，舍去）；
在中，；
故选A．
第Ⅱ卷（非选择题共96分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）
9. 相反数等于它本身的数是___________．
【答案】
【解析】解：相反数等于它本身的数是，
故答案为：．
10. 分解因式：________．
【答案】
【解析】解：；
故答案为：．
11. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________．
【答案】7
【解析】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意；
当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意；
故第三边长为7；
故答案为：7．
12. 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是________．
【答案】
【解析】解：如图，由题意，得：，
∴；
故答案为：．
13. 如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______．
【答案】48
【解析】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形是外切四边形，
∴，
∴
∴，
∴四边形的周长为
．
故答案为：48．
14. 如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______．
【答案】
【解析】解：∵菱形的对角线相交于点O，，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积；
故答案为：．
15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴k的值可以为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
16. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【解析】解：∵正五边形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积即为扇形的面积：；
故答案为：．
17. 在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______．
【答案】或
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作轴，则：，，
∴或，
设直线的解析式为，
∴当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
综上：或；
故答案为：或．
18. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________．
【答案】##
【解析】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：；
设点运动到时，，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共76分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）
19. （1）计算：．
（2）化简：．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
20. 先化简，再求值：，其中满足．
解：原式
，
，
，
∴原式
．
21. 如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
（1）证明：∵四边形是正方形
∴，，
由折叠可得，，
∴，，
∴在和中
∴；
（2）解：∵，点E是的中点，
∴，
由折叠得到，
∵ ，
∴
设，则，
∵在中，，
∴
解得
∴．
22. 近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
解：(1)；
故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为，
；
故答案为：；
(3)(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人．
(4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
23. 西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
（1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
（2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组
解方程组得；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元．
根据题意，
∵
∴w随m的增大而增大
又∵，
∴当时，．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．
24. 如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，，则_______．
（1）证明：∵，
∴，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
由（2）知：四边形为菱形，
∴设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得；
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
（1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
（3）在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵点A的坐标是，
∴，
∵以原点为中心，把点A顺时针旋转，
∴，
此时点在轴正半轴上，
∴；
∵，
∴对称轴为直线；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当，有最大值为，
∴，
∴；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
设，，
由（1）知：；
当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况：
①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，，
∴轴，
∴轴，
∴，；
②当以为对角线时，则：，解得，
∴，，
∵，
∴，解得；
∴；
③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在；
综上：或．
26. 综合与实践
【问题提出】
原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）
如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．
【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
（1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E．
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
同理，在中，_____，
在中，_____，
∴___________，
即，
∴；
【结论应用】
（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．）
【深度探究】
（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为．
求证：．
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________．
（1）解：同理，在中，，
在中 ，，
∴，
即，
∴；
故答案为：，，，；
（2）解：，
，
由（1）知：，
，
，，
，；
（3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ，
是直径，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴ ，
同理，在中，，
在中，可得，
，
∴；
（4）解：过O作，连接，，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
当时，最小，此时也最小，
过A作于，
在中，，
，
，
长度的最小值是，
故答案为：．调查问卷
年 月
在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选)
A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件