2024—2025学年度贵州省高二上学期期中联考数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度贵州省高二上学期期中联考数学试题[含解析]，共18页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．试卷分选择题和非选择题两部分，共19个小题，满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. 3D.
【正确答案】C
【分析】利用斜率坐标公式计算得解.
【详解】由直线l经过点，，得直线l的斜率.
故选：C
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断.
【详解】先看充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件；
再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（ ）
A. 4，2B. 4，18C. 12，2D. 12，18
【正确答案】D
【分析】根据极差和方差的性质运算可得.
【详解】新数据的极差是原数据极差的3倍，所以新数据的极差为：；
新数据的方程是原数据方差的倍，所以新数据的方差为.
故选：D
4. 在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】连接交于点，连接，易证平面，可得为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，进而结合勾股定理及直角三角形中正切函数的定义即可计算求解.
【详解】如图，连接交于点，连接，
在正方体中，，平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
设正方体的棱长为，
则，则，
在中，.
故选：B.
5. 已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较的大小.
【详解】显然：函数，，在定义域内都是增函数，
又，
而中的，
令，
，，的大小顺序为：，
故选：B．
6. 已知点，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.
【详解】,
所以在上的投影向量为.
故选：D
7. 若直线与圆有交点，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式.
【详解】的圆心为，半径r=1，
圆心到直线的距离，
依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，
所以，即.
故选：A
8. 已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 12
【正确答案】C
【分析】令，利用判别式法即可.
【详解】令，则，
由，
得，
整理得，，
因为存在实数满足等式，
所以，
解得，
则的最大值为，此时，.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 若直线a不在平面内，则a∥
B. 若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥
C. 若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点
D. 平行于同一平面的两直线可以相交
【正确答案】CD
【分析】根据线面平行的性质可判断AB错误，C正确，在长方体中，存在与相交，且都与平面平行，可得D正确.
【详解】对于A，直线a不在平面内，直线a也可能与平交，故A是假命题；
对于B，直线l与平交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题；
对于C，l∥时，l与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；
对于D，在长方体中，与都与平面平行，且与相交，故D是真命题.
故选：CD
10. 甲、乙两人各投篮1次，已知甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们是否命中相互独立，则（ ）
A. 恰好有1人命中的概率为B. 恰好有1人命中的概率为
C. 至多有1人命中概率为D. 至少有1人命中的概率为
【正确答案】BD
【分析】根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法计算公式求得正确答案.
【详解】对于AB，由题意，恰好有1人命中的概率为，故A错误，B正确；
对于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，
因此至多有1人命中的概率为，故C错误；
对于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，
因此至少有1人命中的概率为，故D正确.
故选：BD.
11. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为.在此定义下以下结论正确的是（ ）
A. 已知点，，满足
B. 已知点，满足的点轨迹围成的图形面积为2
C. 已知点，，不存在动点满足方程：
D. 已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为
【正确答案】ABD
【分析】A选项：根据定义计算即可；
B选项：根据定义得到，分类讨论的正负得到轨迹图形，然后求面积即可；
C选项：根据定义得到，然后利用特殊值的思路判断即可；
D选项：根据几何的思路得到当垂直直线，平行x轴时，最小，然后求最小值即可.
【详解】A选项：由题意得，故A正确；
B选项：设，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
所以点的轨迹围成的图形是以为边长的正方形，所以面积为2，故B正确；
C选项：，当时，所以存使，故C错；
D选项；如图，
过点作平行于x轴的直线交直线于点，过点作于点，表示的长度，因为直线的方程为，所以，，即，，
当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即平行于x轴，所以当垂直直线时，最小，如下图所示，
此时，，根据直线的斜率为-2，得，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是虚数单位，则复数虚部是______．
【正确答案】
【分析】根据复数的运算法则化简，进而结合虚部的定义求解即可.
【详解】由，
则复数的虚部是.
故答案为.
13. 若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______．
【正确答案】
【分析】结合题意，根据空间向量的线性运算可得，进而求得坐标.
【详解】由题意，，
设，
则，解得，
则，
所以在基底下的坐标为.
故答案为.
14. 已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________．
【正确答案】
【分析】求出三棱台上下底面正三角形外接圆的半径，确定球心位置，结合球的截面圆性质求出球半径，再由球的表面积公式可得结果.
【详解】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图，
上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，
下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，
由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为，
于是，或，解得，
所以球的表面积是．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，，．
（1）求函数的定义域A；
（2）实数，且，求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据函数有意义求解定义域即可；
（2）结合（1）可知，，，进而代值计算即可.
【小问1详解】
由题意，，
由，解得，
则函数的定义域为.
【小问2详解】
由（1）知，，
又，则，
则，
所以
16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，其中，．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，求的周长的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据，可得，结合为三角形内角，可求角.
（2）利用正弦定理表示出，结合辅助角公式和角的取值范围，可求的取值范围，进而求出三角形周长的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以，
所以,
又为三角形内角，所以.
【小问2详解】
由正弦定理：，
所以，.
又是锐角三角形，且，所以，且.
所以.
因为，所以，所以，
所以，所以的周长.
17. 设圆C的半径为r，圆心C是直线与直线的交点.
（1）若圆C过原点O，求圆C的方程；
（2）已知点，若圆C上存在点M，使，求r的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，即可求得答案；
（2）先求出点M的轨迹方程，判断该轨迹和圆C有交点，即可列出不等关系，求得答案.
【小问1详解】
由得，
所以圆心，
又∵圆C过原点O，∴，
∴圆C的方程为.
【小问2详解】
设，由，得，
化简得，
∴点M在以为圆心，半径为2的圆上.
又∵点M在圆上，
故圆与有交点，
∴，即，
即.
18. 如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．
（1）设平面平面，若P为的中点，求证：；
（2）设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）存在，.
【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可.
【小问1详解】
证明：设的中点为，连接，
因为P为的中点，Q为的中点，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
【小问2详解】
在直三棱柱中，平面，，
故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
则，，
又，则，
所以，
若平面，则，
则，解得，
所以线段上存在点P，使得平面，此时.
19. 材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）．
问题：已知圆M：．求：
（1）求共点直线系方程的“共点”的坐标；
（2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围；
（3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）解方程组可得点坐标.
（2）确定点与圆的位置关系，根据圆外的点与圆上的点的距离的最值可求解.
（3）把转化为点和到直线的距离相等，根据非零实数对唯一存在可求的值，进而确定的值；再判断点与圆的位置关系，可确定过点的弦长最短时，直线所在的方程.
【小问1详解】
由.
所以“共点”的坐标为：
【小问2详解】
圆：，所以圆心，半径，
由，
所以点在圆外.
所以.
【小问3详解】
由得：点和到直线的距离相等.
所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线.
所以.
因为：，所以点在圆内.
因为，所以当最小时，直线的方程为.
关键点点睛：根据点到直线的距离公式，把转化成两点、到直线的距离，进而得：直线可能过已知两点的中点，或与过两点的直线平行或重合，再根据实数对存在的唯一性，所以直线就是过、的直线，所以.