2024—2025学年度广西壮族自治区柳州市高二上学期（12月）月考数学试题

这是一份2024—2025学年度广西壮族自治区柳州市高二上学期（12月）月考数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A ={x|lnx≤1}, B ={x|--1≤x≤1}, 则A∩B = ( )
A. {x|-1≤x≤e} B. {x|x≤e} C. {x|00,e2λx−1λlnx≥0恒成立，则正数λ的范围是( )
A.λ≥1eB.λ≥12e C. λ≥2e D. λ≥e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 记数列{aₙ}的前n项和为S,且.Sn=n2+nn∈N∗,则 ( )
B. 数列snan是公差为1的等差数列
C. 数列 1Sn的前n项和为 nn+1 D. 数列{ −1ⁿaₙ的前 2023项和为-2024
10. 有6个相同的球，分别标有数字1， 2， 3， 4， 5， 6， 从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件M =“第一 次取出的球的数字是1”.事件N =“第二次取出的球的数字是2”，事件P =“两次取出的球的数字之和是8”，事件Q =“两次取出的球的数字之和是 7”，则( )
A. M与P互斥 B. P与Q互斥 C. N与P相互独立 D. M与O相互独立
11t 定义: 设f'(x)是函数f(x)的导数, f"(x)是函数f'(x)的导数, 若方程有实数解x₀, 则称点(x₀,f(x为函数y=f(x)的“拐点”. 经过探究发现： 任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.
已知函数fx=ax3+bx2+53ab≠0的对称中心为(1，1)，则下列说法中正确的有 ( )
A.a=13,b=−1
B.|110+f210+⋯+f1810+f1910的值是19
C. 函数f(x)有三个零点
D. 过−113只可以作两条直线与y=f(x)图象相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知向量a, b满足|aa|=3,|b|=5,a与b的夹角为60°, 则|a−b|=
13. 高为8的正四棱锥P-ABCD的顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的表面积为.
14. 甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留； 当球在7，手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙； 当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙. 初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后 (n∈N*)，记球在甲手中的概率为 pn，则p₃=;pₙ=.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题13分)已知函数fx=lnx−ax²
(1)当a=11时, 求f(x)的图象在点(1,f(1）处的切线方程;
(2)若∀x∈0+∞,fx0), 极点Px₀y₀(不是坐标原点) 对应的极线为lP:x0xa2+y0yb2=1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab>0)的长轴长为62,左焦点与抛物线y²=−12x的焦点重合，对于椭圆E，极点P−60对应的极线为 lp，过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，在极线 lp上任取一点Q，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为k₁,k₂,k₃(k₁,k₂,k₃均存在) .
(1)求极线 lp的方程; (2)求证:k₁+k₂=2k₃;
(3)已知过点Q且斜率为2的直线与椭圆E交于A，B两点，直线PA，PB与椭圆E的另一个交点分别为C，D，证明直线CD恒过定点，并求出定点的坐标.