广西柳州市第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广西柳州市第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，且则y的值为（ ）
A. B. C. 3D. 12
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，是中点，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 中，角，，的对边分别是，，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若命题“，”是假命题，则实数最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
7. 已知两点在圆上运动，且，则的值（ ）
A. B. 1C. D. 与点的具体位置有关
8. 如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）

A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 的内角A，B，C的对边分别为，则（ ）
A. B.
C. D. 外接圆的面积为
10. 在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ）
A. 与平面平行B. 与直线垂直
C. 与直线所成角为D. 与平面距离为
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递减
D. 该图象对应的函数解析式为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为______.
13. 已知，则________.
14. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得到________．

四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
（1）求两点间的距离；
（2）求大楼的高度.
16. 如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段，的中点．
（1）求证：//面．
（2）在线段上是否存在一点，使得平面//平面，若存在，指出具体位置并证明；若不存在，说明理由．
17. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
18. 如图所示，一条笔直河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
（1）求实数的取值范围；
（2）问点在何处时，最小，并求出该最小值.
19. 如图，在三棱锥ABCD中，已知平面平面，，O为BD的中点．
（1）求证：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为45°，
①求三棱锥的体积．
②求直线与平面所成角的正弦值．
柳州二中2023级高一下学期5月月考
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算可得，可求共轭复数.
【详解】，
所以共轭复数为.
故选：A.
2. 已知，，且则y的值为（ ）
A. B. C. 3D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】由已知及向量垂直的充要条件得到方程，即，求出的值即可得解．
【详解】解：因为，，且，
所以，
即，
解得，
故选：A．
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式求解即得.
【详解】由，得，
所以的值为.
故选：B
4. 在中，是的中点，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.
【详解】因为是的中点，所以.
因为，所以，
则.
故选：D
5. 中，角，，的对边分别是，，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，再由正弦定理得到，即可求出，从而得解.
【详解】由有，
由正弦定理有，又，
即，
所以，
又，则.
故选：D
6. 若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
因此有，所以实数的最小值为，
故选：C
7. 已知两点在圆上运动，且，则的值（ ）
A. B. 1C. D. 与点的具体位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】作，根据题意利用数量积的定义求解即可.
【详解】如图，

连接，过点作交于点，则是的中点，
故.
故选：B
8. 如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得小圆半径和扇形半径之间的关系，继而结合正方形的对角线长，列式求出底面圆的半径，继而求得圆锥的高，即得答案.
【详解】如图1，过⊙F圆心F作于E，于G，
则四边形为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则，
小圆周长为，扇形弧长为，
∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得，
即，，
∵正方形铁皮边长为，，
，∴；
在图2中，，
由勾股定理得，圆锥的高，

故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 的内角A，B，C的对边分别为，则（ ）
A. B.
C. D. 外接圆的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出和即得解.
【详解】设的外接圆的半径为,
对于BD，因，所以，
可得，故B正确；
所以外接圆的面积为，故D正确；
对于AC，由因为，
整理得所以或（舍去），故A正确；
由，解得.故C错误.
故选：ABD
10. 在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ）
A. 与平面平行B. 与直线垂直
C. 与直线所成角为D. 与平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过证明平面平面，即可判断A，通过证明平面，即可判断B，由，所以与所成角就是直线与直线所成角，利用余弦定理求出，即可判断C，利用等体积法求出点到平面的距离，即可判断D.
【详解】因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，而平面，故平面，选项A正确；
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，故，选项B正确；
由于，所以与所成角就是直线与直线所成角，
因为，，，
所以，
所以，即与直线所成角为，选项C不正确；
由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离．
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，即与平面的距离为，选项D正确.
故选：ABD．
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递减
D. 该图象对应的函数解析式为．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
先根据图象求振幅、周期，解得，再根据最值点求，最后根据三角函数性质判断选择
【详解】由函数的图象可得，由，,得．
再由最值得，，又，得，
得函数，故选项D正确.
当时，，不是最值，故A不成立；
当时，，不等于零，故B不成立；
得，，故C不成立；
故选：ABC．
【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查综合分析判断能力，属中档题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用球的截面小圆性质，求出求半径及体积.
【详解】依题意，球的半径，所以球的体积.
故答案为：
13. 已知，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：2
14. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得到________．

【答案】
【解析】
【分析】运用余弦定理可求得，再利用诱导公式可求得答案．
【详解】在中，由余弦定理得
，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
（1）求两点间的距离；
（2）求大楼的高度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据题意可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【小问1详解】
因为，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC两点的距离为m；
【小问2详解】
在中，因为，，
所以，
又，
所以m，
即大楼的高度为m.
16. 如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段，的中点．
（1）求证：//面．
（2）在线段上是否存在一点，使得平面//平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，是线段的中点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线分析证明；
（2）根据题意结合线面、面面平行的判定定理分析证明.
【小问1详解】
连接，∵为平行四边形， 是线段的中点，
则，分别是线段，的中点，故，
又平面，平面，故有面
【小问2详解】
存在，是线段的中点，理由如下：
由（1）可知：，平面，平面，
∴平面，连接，，
∵、分别是线段、的中点，则，平面，平面，
∴平面，，面，面，
故平面平面．
17. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）﹒
【解析】
【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B；
(2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒
【小问1详解】
由正弦定理，得，
即，
∴，
又∵，∴，
∴，
又∵，∴，
∵B为三角形内角，∴；
【小问2详解】
∵，∴由正弦定理得，
∴由余弦定理得，即，
∴，，
∴的面积为．
18. 如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
（1）求实数的取值范围；
（2）问点在何处时，最小，并求出该最小值.
【答案】（1）
（2）当点满足时，最小，最小值为亿元.
【解析】
【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.
（2）由题意可得，由基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，
所以，解得：
直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，
所以，解得：,
故实数取值范围为.
【小问2详解】
依题意可得：
，
当且仅当，即时取等.
所以当点满足时，最小，最小值为亿元.
19. 如图，在三棱锥ABCD中，已知平面平面，，O为BD的中点．
（1）求证：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为45°，
①求三棱锥的体积．
②求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）先由为的中点可得，再由平面平面可得平面，进而求证即可；
（2）①由为等边三角形易得，且，过E作，垂足为G，过G作，垂足为I，连接，分析易得为二面角的平面角，可得，再结合图形关系求出，进而结合三棱锥的体积公式求解即可；
②建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：因为为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
【小问2详解】
①因为是边长为1的等边三角形，
所以，故．
因为O为的中点，所以，故，
所以，且．
过E作，垂足为G，过G作，垂足为I，连接．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以．
又平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，即．
在平面内，，所以，
所以，所以，所以．
在平面内，，所以，所以，
因为，所以．
在等腰直角三角形中，，又，
所以，三棱锥的体积．
②如图，过O作的垂线，因为平面，
所以以O为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角为的正弦值为.