2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（湘教版）

这是一份2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（湘教版），共23页。试卷主要包含了65，【答案】BC等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：数列+直线方程。
难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
已知经过
A(3, 2), B(2, m)
两点的直线的斜率为
 1
2 ，则实数 m 的值为（ ）
 3
2
 1C. 1D. 5
222
已知等差数列an 的公差为2 ，若 a1 ， a3 ， a4 成等比数列， Sn 是an 的前 n 项和，则 S9 等于（ ）
A. 8B. 6C.
10
D. 0
直线l 的方程为： (a  2) y  (1 3a)x 1，若直线l 不经过第一象限，则实数 a 的取值范围为（ ）
a  2
1  a  2
3
a  2
a  1
3
等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S11 为定值时2a2  a7  ak 也是定值，则 k 的值为（ ）
A. 13B. 11C. 9D. 不能确定
已知点 A2, 3 ， B 3, 2 ，若过点1,1 的直线与线段 AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A.  ,  3  ∪4, B. , 4  3 , 
4  4

 3 , 4

4, 3 
 4
4 
如图所示，已知 A2, 0 ， B 2, 0 ，C 0, 2 ， E1,0 ， F 1, 0 ，一束光线从 F 点出发射到 BC 上
的 D 点经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上（不含端点），则直线 FD 的斜率的取值范围是（ ）
A. , 2
B. 4, 
C. 2, 
D. 1, 
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列bn，则数列bn的前 2026 项的和为（ ）
A. 1350B. 676C. 1351D. 1352
过定点A 的直线a 1 x  y  2  0 与过定点 B 的直线 x  a 1 y  5a  2  0 交于点 P （ P 与 A､B 不
重合），则VPAB 面积的最大值为（ ）
9
A. 4B.
2
3
C. 2D.
2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
以下四个命题叙述正确的是（ ）
直线2x  y  1  0 在 x 轴上的截距是 1
直线 x  ky  0 和2x  3y  8  0 的交点为 P ，且 P 在直线 x  y 1  0 上，则 k 的值是 1
2
2
设点 M (x, y) 是直线 x  y  2  0 上的动点， O 为原点，则 OM 的最小值是
直线 L1 : ax  3y 1  0，L2 : 2x  a 1 y 1  0 ，若 L1 / / L2 ，则 a  3 或 2
已知数列a 满足 a 2a  2n1 ，且 a  4 ，则下列正确的有（ ）
nn1n1
a3  32
 an 
数列的前 n 项和为
n1

 n 12

2
n
数列lg a  的前 n
n 
项和为lg2 n 1 
n2  n
2

 4n11
若数列 a a 的前 n 项和为Tn ，则12  Tn  4
 n n1 
对于数列an（ an  N ），定义bk 为 a1 ，a2 ，…，ak 中最大值（ k  1, 2,, n ）（ n  N ），把数列bn
称为数列an的“M 值数列”.如数列 2，2，3，7，6 的“M 值数列”为 2，2，3，7，7，则（ ）
若数列an是递减数列，则bn为常数列
若数列an是递增数列，则有 an  bn
满足bn为 2，3，3，5，5 的所有数列an的个数为 8
若 a  2n1 (n  N ) ，记 S 为b 的前 n 项和，则 S 2 (2100 1)
nnn
1003
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知a 是公比为 1 的等比数列，若 a  a  a L a 100 ，则a  a  a L a.
n214797
36999
若直线l 过点3, 2 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为．
1 n 1an*101
已知数列{an}满足 a1 ,an1 n  N  ，若不等式  λa  0 对任意的 n  N*
2nnan 1
n2nn
都成立，则实数λ的取值范围是.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）
已知V ABC 中， A2,1 ， B 3, 4 ， BC 边所在直线方程为 x  2 y  5  0 ， AC 边上的高所在直线方程
为 x  y  7  0 .
求 AC 边所在直线的方程；
求 BC 边的中线所在直线的方程.
16．（15 分）在等差数列{an}中， a3  7, a9  5, {an}的前 n 项的和为 Sn ．
求数列{an}的通项公式；
求 Sn 取最大值时 n 的值；
设Tn | a1 |  | a2 |  | a3 |  | an |，求Tn ．
17．（15 分）
已知直线l1 : x  y  3  0 和直线l2 : 2x  y 1  0 交于点C ，求满足下列条件的一般式直线方程.
过点C 且与直线 x  4 y 1  0 平行；
过点C 且到原点的距离等于 2；
直线l1 关于直线l2 对称的直线.
18．（17 分）
如图，将一块等腰直角三角板 ABO 置于平面直角坐标系中，已知 AB  OB  1，AB  OB ，点
P( 1 1
，) 是三角板内一点，现因三角板中部分（ VPOB 内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，
2 4
可用经过 P 的任意一直线 MN 将其锯成V AMN ．
求直线 MN 的斜率的取值范围；
–––→
若 P 点满足 MP 
直线 MN 的方程；
1 –––→
PN ，这样的直线 MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时
3
如何确定直线 MN 的斜率，才能使锯成的V AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值.
19．（17 分）
在数列an中，按照下面方式构成“次生数列”bn: b1  a1, b2  mina1, a2, b3  mina1, a2 , a3 ，…，
bn  mina1, a2 ,L, ann  2 ，其中mina1, a2 ,L, ai 2  i  n 表示数列 a1, a2 ,L, ai 中最小的项.
（1）若数列an中各项均不相等，只有 4 项， a2  1，且 an 1, 2, 3, 4n  1, 2, 3, 4 ，请写出an的所有“次生数列”bn；
（2）若a 满足 a  2, a  64 ，且 an  为等比数列，a  的“次生数列”为b .
n
n14nn

求b3  b10 的值；
求bn的前 n 项和 Sn .
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（时间：120 分钟满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：数列+直线方程。
难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知经过
A(3, 2), B(2, m)
两点的直线的斜率为
 1
2 ，则实数 m 的值为（ ）
 3
2
 1C. 1D. 5
222
【答案】B
【解析】依题意， m  2  m  2   1 , m   1 .
2  3522
故选：B
已知等差数列an 的公差为2 ，若 a1 ， a3 ， a4 成等比数列， Sn 是an 的前 n 项和，则 S9 等于（ ）
A. 8B. 6C.
【答案】D
10
D. 0
【解析】Q a ， a ， a 成等比数列， a2  a a ，
13431 4
a  2  22  a  a  3  2 ，化为2a  16 ，解得 a  8 ，
11111
则 S  8 9  9  8 (2)  0
92
故选：D.
直线l 的方程为： (a  2) y  (1 3a)x 1，若直线l 不经过第一象限，则实数 a 的取值范围为（ ）
a  2
1  a  2
3
a  2
a  1
3
【答案】C
【解析】若直线l 斜率不存在，即 a  2, l：x   1 不经过第一象限，
5
若直线l 斜率存在，即 a  2, l：y  1 3a x 
a  2
1
，
a  2
 1 3a  0

所以
a  2
1
 a  2 ，
 0
 a  2
综上实数 a 的取值范围为 a  2 ，故选：C.
等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S11 为定值时2a2  a7  ak 也是定值，则 k 的值为（ ）
A. 13B. 11C. 9D. 不能确定
【答案】A
【解析】因为 S11 为定值且 S11  11a6 ，故 a6 为定值，故 a1  5d 为定值，其中 d 为公差.而2a2  a7  ak  4a1  2d  6d  k 1 d  4a1  (k  7)d ，
故当且仅当 k  7  20 即 k  13 时， 2a2  a7  ak 为定值.
故选：A.
已知点 A2, 3 ， B 3, 2 ，若过点1,1 的直线与线段 AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A.  ,  3  ∪4, B. , 4  3 , 
4  4

 3 , 4

4, 3 
 4
4 
【答案】B
【解析】记1,1 为点 P ，直线 PA 的斜率 kPA
 3 1  4 ，直线 PB 的斜率 k
2 1PB
 2 1  3 ，
3 14
因为直线 l 过点 P 1,1 ，且与线段 AB 相交，
结合图象，可得直线l 的斜率 k 的取值范围是∞, 4  3 , ∞ ．

 4
故选：B．
如图所示，已知 A2, 0 ， B 2, 0 ，C 0, 2 ， E1,0 ， F 1, 0 ，一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上（不含端点），则直线 FD 的斜率的取值范围是（ ）
A. , 2
B. 4, 
C. 2, 
D. 1, 
【答案】B
【解析】如图所示，从特殊位置考虑.
∵点 A2, 0 关于直线 BC : x  y  2 的对称点为 A1 2, 4 ，
∴直线 A1F 的斜率kA F  4 ，∴ kA F  kFD .
11
∵ E1,0 关于直线 AC : y  x  2 的对称点为 E1 2,1 ，
点 E1 2,1 关于直线 BC : x  y  2 的对称点为 E2 1, 4 ，此时直线 E2 F 的斜率不存在.综上， kFD 4,  .
故选：B.
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第
三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数
列被 2 除后的余数构成一个新数列bn，则数列bn的前 2026 项的和为（ ）
A. 1350B. 676C. 1351D. 1352
【答案】C
【解析】1,1, 2, 3, 5,8,13, 21, 34L ，
除以 2 所得余数分别为1,1, 0,1,1, 0,1,1, 0L ，即bn 是周期为 3 的周期数列，
因为2026  3 675LL1 ，
b1  b2  b3  2 ，
所以数列bn 的 前 2026 项和为2  675 1  1351 .
故选：C
过定点A 的直线a 1 x  y  2  0 与过定点 B 的直线 x  a 1 y  5a  2  0 交于点 P （ P 与 A､B 不
重合），则VPAB 面积的最大值为（ ）
9
A. 4B.
2
3
C. 2D.
2
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程可得定点 A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线a 1 x  y  2  0 化为 y  a 1 x  2 ，可知定点 A0, 2 ，
x  y  2  0
动直线 x  a 1 y  5a  2  0 化为 a  y  5  x  y  2  0 ，令 y  5  0，

解得 y  5, x  3 ，可知定点 B 3, 5 ，又(a 1) 11(a 1)  0 ，
所以直线a 1 x  y  2  0 与直线 x  a 1 y  5a  2  0 垂直， P 为交点，
 PA  PB, PA 2  PB 2  AB 2  (0  3)2  (2  5)2  18 .
S
则
V PAB

PA  PB  1  9
1
2
PA 2  PB 2
222
9
，当且仅当 PA 
PB  3 时，等号成立.
即VPAB 面积的最大值为 2 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
以下四个命题叙述正确的是（ ）
直线2x  y  1  0 在 x 轴上的截距是 1
直线 x  ky  0 和2x  3y  8  0 的交点为 P ，且 P 在直线 x  y 1  0 上，则 k 的值是 1
2
2
设点 M (x, y) 是直线 x  y  2  0 上的动点， O 为原点，则 OM 的最小值是
：高中试卷君
直线 L1 : ax  3y 1  0，L2 : 2x  a 1 y 1  0 ，若 L1 / / L2 ，则 a  3 或 2 9.【答案】BC
【解析】对于 A，直线2x  y  1  0 在 x 轴上的截距是 1 ，A 错误；
2
对于 B，由2x  3y  8  0 解得x  1 ，即 P(1, 2) ，则1 2k  0 ，解得 k   1 ，B 正确；


x  y 1  0
COM
对于 ，依题意，
min
 y  2
2
公众号

2

12 12
2
，C 正确；
对于 D，当 a  2 时，直线 L1 : 2x  3y 1  0, L2 : 2x  3y 1  0 重合，D 错误.
故选：BC
已知数列a 满足 a 2a  2n1 ，且 a  4 ，则下列正确的有（ ）
nn1n1
a3  32
 an 
数列的前 n 项和为
n1

 n 12

2
n
数列lg a  的前 n
n 
项和为lg2 n 1 
n2  n
2

 4n11
若数列 a a 的前 n 项和为Tn ，则12  Tn  4
 n n1 
【答案】ACD
【解析】对 A，由 a 2a  2n1 可得 an1  an  1 ，故数列 an 是以 a1  2 为首项，1 为公差的等
2n
21

n1n
2n12n
差数列，
故 an
2n
 n 1，即 an
 n 1 2n ，则 a  32 ，故 A 正确；
3
a
对 B，n
 2n ，故数列 an
 的前 n 项和为21  22  ...  2n  2n1  2 ，故 B 错误；

n 1
a
对 C， lg2 n
 lg2
 n 1
n 1 2
n
 n  lg2 n 1  lg2n ，则前 n
项和为
nn
1 lg2 2  lg21 2  lg2 3  lg2 2  ...  n  lg2 n 1  lg2n
n  n
2
 1 2  3  ...  n  lg2 n 1  lg2 n 1 ，故 C 正确；
2
n
44n1 1  11
对 D， a a
n 1 2n n  2 2n1
2 n 1n  2
2  n 1
n  2  ，
n n1
则T  1  1  1  1  1  ... 1
1  1 1

 1 ，
n2  2334n 1n  2 42n  44

又易得T 随 n 的增大而增大，故T  T  1 ，即 1  T  1 ，故 D 正确.
n
故选：ACD
n112
12n4
对于数列an（ an  N ），定义bk 为 a1 ，a2 ，…，ak 中最大值（ k  1, 2,, n ）（ n  N ），把数列bn
称为数列an的“M 值数列”.如数列 2，2，3，7，6 的“M 值数列”为 2，2，3，7，7，则（ ）
若数列an是递减数列，则bn为常数列
若数列an是递增数列，则有 an  bn
满足bn为 2，3，3，5，5 的所有数列an的个数为 8
若 a  2n1 (n  N ) ，记 S 为b 的前 n 项和，则 S 2 (2100 1)
nnn
1003
【答案】ABD
【解析】若数列an是递减数列，则 a1 是 a1 ， a2 ，…， ak 中最大值（ k  1, 2,, n ）（ n  N ），所以bn  a1 ， bn为常数列，A 选项正确；
若数列an是递增数列，则ak 是 a1 ， a2 ，…， ak 中最大值（ k  1, 2,, n ）（ n  N ），所以bk  ak ，即 an  bn ，B 选项正确；
满足bn为 2，3，3，5，5，则 a1  2 ， a2  3 ， a3 可以取 1，2，3， a4  5 ， a5 可以取 1，2，3，4， 5，
所有数列an的个数为3 5  15 ，C 选项错误；
nn
若 a  2n1 (n  N ) ，则数列a 中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，
则有b b 22k 2  22k 2 ，
2k 12k
所以 S 2 1 22  24 L 298   2 (2100 1) ，D 选项正确.
100
故选：ABD.
3
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知a 是公比为 1 的等比数列，若 a  a  a L a 100 ，则a  a  a L a.
n2
【答案】25
14797
36999
【解析】因为 a3  a6  a9 L a99  q2  1
a1  a4  a7 L a974
所以 a3  a6  a9 L a99  25
故答案为：25
若直线l 过点3, 2 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为．
【答案】 2x  3y  0 或 x  y 1  0
【解析】当截距为 0 时，设直线l 的方程为 y  kx ，
将3, 2 代入得， 3k  2 ，解得 k  2 ，
3
故直线l 的方程为 y  2 x ，
3
当截距不为 0 时，设直线l 的方程为 x  y
aa
 1 ，
将3, 2 代入得， 3  2
aa
 1 ，解得 a  1 ，
故直线l 的方程为 x  y  1，
故直线l 的方程为2x  3y  0 或 x  y 1  0 .
故答案为： 2x  3y  0 或 x  y 1  0
1 n 1an*101
已知数列{an}满足 a1 ,an1 n  N  ，若不等式  λa  0 对任意的 n  N*
2nnan 1
n2nn
都成立，则实数λ的取值范围是.
【答案】  52 , 

3
【解析】由 a  1 ， n 1 aan，可得n 1 anan，
12n
n1
nan 1
n1
nan 1
整理得
1
n 1 an1
 1
nan
 1， 1
a1
 2 ，
 1 
所以数列 na  表示首项为 2，公差为 1 的等差数列.
n 
 1
nan
 2  n 1  n 1 ，则 an
1
 n n 1 ，
又由10  1  λa  0 恒成立，即λ  10  1 n2  n ，对n  N* 恒成立，
n2nn
 n2n 

令 f n   10  1 n2  n  11 10  n   11 2 10  ，
 n2n n

10
当且仅当 n  10 ，即 n 时等号成立，又 n  N* ，
n
当 n  3 时， f 3   52 ，当n  4 时， f 4   35 ，
32
由对勾函数 y   10  n  的单调性，得 f n   52 ，所以λ  52 .
 n33

所以实数λ的取值范围是  52 , ∞ .

3
故答案为：  52 , ∞ .

3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）
已知V ABC 中， A2,1 ， B 3, 4 ， BC 边所在直线方程为 x  2 y  5  0 ， AC 边上的高所在直线方程
为 x  y  7  0 .
求 AC 边所在直线的方程；
求 BC 边的中线所在直线的方程.
15．（13 分）
x0  5 
【解析】（1）因为 BC 边所在直线方程为 x  2 y  5  0 ，故可设C  x0 ,2 ，

因为 AC 边上的高所在直线方程为 x  y  7  0 ，
x0  5 1
所以1 kAC  1 ，所以 k 2  1  x  7 ，
x
0
AC 20
所以C 7, 6 ，故所求为 y  6  x  7 ，即 y  x  1 ；
（2）因为 B 3, 4 ， C 7, 6 ，设 BC 中点为 E ，所以 E 5, 5 ，
因为 A2,1 ，所以 kAE
 5 1  4 ，
5  23
故所求为 y 1  4  x  2 ，即 y  4 x  5 .
333
16．（15 分）在等差数列{an}中， a3  7, a9  5, {an}的前 n 项的和为 Sn ．
求数列{an}的通项公式；
求 Sn 取最大值时 n 的值；
设Tn | a1 |  | a2 |  | a3 |  | an |，求Tn ．
16．（15 分）
【解析】（1）由题意知在等差数列{an}中， a3  7, a9  5 ，设公差为 d，则 a9  a3  6d  12  d  2 ，则 a1  a3  2d  11 ，
故 an  a1  n 1 d  13  2n ，故通项公式an  13  2n ．
n n 1
（2）结合（1）可得 Sn  11n 2  12n  n
2
2  (n  6)2
 36 ，
当 n  6 时， Sn 取最大值．
（3）Q an  13  2n ，
由13  2n  0 ，得 n  13  6 1 ，
22
即 n  6 时有 an  0 ， n  7 时有 an  0 ，
若 n  6 ， T | a |  | a |  | a |  | a | a  a  a  a  S  12n  n2 ，
n123n123nn
若 n  7 时， Tn  a1  a2  a6  a7  an
 2(a1  a2  a6 )  (a1  a2  a3  an )
 2S6  Sn  2(12  6  36)  (12n  n2 )  n2  12n  72 ，
12n  n2 , n  6, n  N

综合上述Tn  n2 12n  72, n  7, n  N ．
17．（15 分）
已知直线l1 : x  y  3  0 和直线l2 : 2x  y 1  0 交于点C ，求满足下列条件的一般式直线方程.
过点C 且与直线 x  4 y 1  0 平行；
过点C 且到原点的距离等于 2；
直线l1 关于直线l2 对称的直线.
17．（15 分）
x  y  3  0

【解析】（1）联立方程2x  y 1  0
，解得x  2 ，C(2, 5) ．
 y  5

设与直线 x  4 y 1  0 平行的直线为 x  4 y  t  0 t  1 ，
由题意得： 2  4  5  t  0 ， t  18 ，
故满足要求的直线方程为： x  4 y 18  0 ．
①当所求直线斜率不存在时，直线方程为 x  2 ，满足到原点的距离为 2；
②当所求直线斜率存在时，设直线方程为 y  5  k (x  2) ，即 kx  y  2k  5  0 ，
原点到该直线的距离为
 2 ， 解得 k  21 ，
1 k 2
2k  5
20
直线方程为21x  20 y  58  0 ，
综上所述，符合题意的直线方程为 x  2  0 或21x  20 y  58  0 ．
在l1 上取一点 M 0, 3 ，设点 M 关于直线l2 的对称点为点 N  x0 , y0  ，则
 y0  3   1
x  8
x2
 05
 8 11 
0，解得， N , ，
2  x0  y0  3 1  0
 y  11
 5 5 
22
 05
11  5
又C(2, 5) ，则直线CN 的方程即所求直线方程，为 y  5 
x  2
化简得， 7x  y  9  0 .
故所求的直线方程为： 7x  y  9  0 ．
5，
8  2
5
18．（17 分）
如图，将一块等腰直角三角板 ABO 置于平面直角坐标系中，已知 AB  OB  1，AB  OB ，点
P( 1 1
，) 是三角板内一点，现因三角板中部分（ VPOB 内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，
2 4
可用经过 P 的任意一直线 MN 将其锯成V AMN ．
求直线 MN 的斜率的取值范围；
–––→
若 P 点满足 MP 
直线 MN 的方程；
1 –––→
PN ，这样的直线 MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时
3
如何确定直线 MN 的斜率，才能使锯成的V AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值.
18．（17 分）
【解析】（1）依题意，得 MN 方程为： y  1  k  x  1  ，即 y  kx  2k 1 ，
42 4

∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线 OA 方程为：y＝x ，直线 AB 方程为：x＝1，
 y  1 1 
联立4
k  x  2 
，得 M 
2k 1 ,
2k 1 

．

 y  x
 4(k 1) 4(k 1) 
k x 
 y  1 1 
2k 1
联立42  ，得 N 1, .

4
x  1
0 

所以
2k 1
4(k 1)
2k 1
 1
，解得
 1  k  1 ；
22
0  1
4
–––→1 –––→
1  2k 1
 1 (1 1 )
k   1
（2）若 MP  3 PN ，可得 24(k 1)32
，解得 ，
2
所以直线 MN 的方程为 y  1   1 (x  1 ) ，整理得 x  2 y 1  0
422
（3）在V AMN 中，由（1）知：
S＝ 1  | AN | h  1 
 2k 1  
2k 1 1
＝
4(1 k ) 1
 4 ．
△AMN
22 1
4 1
4(k 1) 
32 
1 k

设t  1 k   1 , 3  ，设 f (t)  4t  1 ．∴f（t）在 1 , 3  是单调递增．∴当t  3 时， f (t)  20 ，即当
 2 2 
1﹣k＝ 3 时即 k＝  1 时，（S）
t 2 2 23
＝ 1  20  4  1
22max32  33
当t  1 时， f (t)  4 ，即当 1﹣k＝ 1 时即 k＝ 1 时，（S）＝ 1 4  4  1 ，
2
V AMN 面积的取值范围 1  S
4
V AMN
22
 1 .
3
min
324
19．（17 分）
在数列an中，按照下面方式构成“次生数列”bn: b1  a1, b2  mina1, a2, b3  mina1, a2 , a3 ，…，
bn  mina1, a2 ,L, ann  2 ，其中mina1, a2 ,L, ai 2  i  n 表示数列 a1, a2 ,L, ai 中最小的项.
（1）若数列an中各项均不相等，只有 4 项， a2  1，且 an 1, 2, 3, 4n  1, 2, 3, 4 ，请写出an的所有“次生数列”bn；
（2）若a 满足 a  2, a  64 ，且 an  为等比数列，a  的“次生数列”为b .
n
n14nn

求b3  b10 的值；
求bn的前 n 项和 Sn .
19．（17 分）
【解析】（1）因为 an 1, 2, 3, 4n  1, 2, 3, 4 ， a2  1，an中各项均不相等，所以b1  a1  1, b2  b3  b4  1，
若b1  a1  2 ，此时“次生数列”bn为2,1,1,1，若b1  a1  3 ，此时“次生数列”bn为3,1,1,1，若b1  a1  4 ，此时“次生数列”bn为4,1,1,1，所以“次生数列”bn的定义可知bn有 3 个，
分别为2,1,1,1或3,1,1,1或4,1,1,1.
 n 
（2）（i）设数列 an  的公比为 q ，

因为 an  为等比数列，且 a  2, a  64 ，
n
14

所以 a4  a1  q3 ，即16  2  q3 ，解得 q  2 ，
41
所以 an
n
 2 (2)n1 ，则 a
 n  (2)n .
n
由“次生数列”bn的定义，可知b1  b2  a1  2 ， b3  b4  24,L, b9  b10  9 512  4608 ，故b3  b10  4632 .
（ii）由（i）可知当 n 为偶数时， b  b  12, b  b  3(2)3,L, b b  n 1(2)n1 ，
1234n1n
Sn  2 1 2  3(2)3 L n 1(2)n1  , ① 4Sn  2 1 (2)3  3(2)5 L n 1(2)n1  ，②
由①-②得3Sn  2 1 (2)  2 (2)3 L 2 (2)n1  (n 1) (2)n1 
 4 2  (2)3 L (2)n1   4  2 n 1(2)n1
     n 
2 1 ( 2)2  2 
 4    4  2 n 1(2)n1 1 (2)2
3
 1 20  12n  20 (2)n  ，
9
所以 Sn   1 20  12n  20 (2)n  .
当 n  1 时， S1  2 ，
当 n 为奇数且 n  3 时， n 1 为偶数，
1n1n
9
则 Sn  Sn1  bn  20  12n  32 (2)  n  (2)
9
  1 20  16 15n (2)n  ，
显然当 n  1 时，也符合上式，
 1 20  12n  20 (2)n  , n  2k,k  N

故 Sn
 9
1


 9
20  16 15n (2)n  , n  2k 1, k  N