2024^2025学年江苏省无锡市九年级上学期期中数学试卷（2套）附解析

这是一份2024^2025学年江苏省无锡市九年级上学期期中数学试卷（2套）附解析，共83页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x＝0B．x+1＝0
C．ax2+bx+c＝0D．
2．（3分）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与圆O的位置关系是（ ）
A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．无法确定
4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则PB的长约为（ ）
A．0.382B．3.82C．0.618D．6.18
5．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5B．6C．D．
6．（3分）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，则b的最大值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．3D．2
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到AD中点P的过程中，线段PG的最大值（ ）
A．B．4C．D．
二、填空题（共24分）
11．（3分）在比例尺是1：的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 千米．
12．（3分）请写出一个二次项系数为1，且以﹣1为其中一个根的一元二次方程： ．
13．（3分）如图，AB是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
15．（3分）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）＝ ．
16．（3分）已知△ABC，D是BC边上的一点（不与BC重合），E、F分别是△ABD、△ACD的重心，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积为 ．
17．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为 ．
18．（3分）已知△ABC的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、C（0，2n）（m＞n＞0），作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C，B1恰好落在y轴上，则的值为 ．
三、解答题（共96分）
19．解方程：
（1）x2﹣6x+3＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2）．
20．已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣3）﹣k2＝0．
（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1＞x2，证明：x1+2x2≤7．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．
（1）求证：△APC∽△DPB；
（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．
22．（100分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和，请判断 ；（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．
23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 ；
（2）△ABC外接圆的半径是 ；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
24．如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．
（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）
（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明．
25．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，BQ＝1，求BD的长．
26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
27．如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为t s．
（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；
（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM与⊙P相切时，求t的值；
（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：AC2＝2AD•BC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝1，OE＝2，直接写出CD的长．
答案与试题解析
一、选择题（共30分）
1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x＝0B．x+1＝0
C．ax2+bx+c＝0D．
【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．
解：A．x2+2x＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．x+1＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．
2．（3分）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质变形即可求解．
解：∵，
∴设a＝3k，b＝2k，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．
3．（3分）若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与圆O的位置关系是（ ）
A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．无法确定
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．
解：∵P的坐标为（﹣4，3），
∴．
∵⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．
4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则PB的长约为（ ）
A．0.382B．3.82C．0.618D．6.18
【分析】设PB＝x，则PA＝10﹣x，根据黄金分割的定义得到，即，解方程即可得到答案．
解：设PB＝x，则PA＝10﹣x，
∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴，即，
∴100﹣20x+x2＝10x，即x2﹣30x+100＝0，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴PB的长约为3.82，
故选：B．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
5．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5B．6C．D．
【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
6．（3分）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意；
（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
（3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
（4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意；
（5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意；
正确的命题有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．
7．（3分）实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，则b的最大值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．3D．2
【分析】把a2+b﹣4a+1＝0看作关于a的一元二次方程，则利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（b+1）≥0，解关于b的不等式得到b的最大值．
解：∵实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，
∴关于a的一元二次方程a2+b﹣4a+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（b+1）≥0，
∴b≤3，
∴b的最大值为3，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由正方形的性质得到CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°，则由勾股定理得到，求出DE＝2，则，再证明△ABF∽△ACE，得到，即，即可得到．
解：如图所示，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴，
∵，
∴，
∴DE＝2，
∴，
∵∠FAE＝∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠CAE，
又∵∠ABF＝∠ACE＝45°，
∴△ABF∽△ACE，
∴，即，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解决问题．
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA，OC，CE，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝30°，根据等边三角形的性质得到AC＝OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
解：连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AD•AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半径为，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形 的判定和性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到AD中点P的过程中，线段PG的最大值（ ）
A．B．4C．D．
【分析】连接AC与EF交于点O，连接OG，证明点O是AC的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为弧BC，即可求出结论．
解：连接AC与EF交于点O，连接OG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，∠AEF＝∠CFE，
又∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴EO＝FO，AO＝CO，
∴点O为AC的中点，
连接BD，则与AC交于点O，
由折叠得，∠OFC＝∠OFG，CF＝GF，
又∵OF＝OF，
∴△OFC≌△OFG（SAS），
∴，
又，
∴OG＝3，
∴G在以O为圆心，OG为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合，
∴G的运动轨迹为，
∴连接PO并延长，交于G′时，PG′最大，
当O，P，G共线时，即G与G′重合时，PG最大，
∴PG＝PG′＝PO+OG′，
∵P为AD的中点，O为BD的中点，
∵，
∴，
即PG的最大值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
二、填空题（共24分）
11．（3分）在比例尺是1：的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 9.2 千米．
【分析】实际距离：图上距离＝比例尺．注意单位统一成千米．
解：设它们之间的实际距离约为x千米，
4.6cm＝0.000046km
则1：＝0.000046：x，
解得x＝9.2，
故9.2．
【点评】主要考查了对比例尺的应用．注意单位的统一．
12．（3分）请写出一个二次项系数为1，且以﹣1为其中一个根的一元二次方程： x2﹣1＝0（答案不唯一） ．
【分析】先根据一元二次方程的解法﹣因式分解，写出方程，再化为一般形式．
解：根据题意得：（x+1）（x﹣1）＝0，即：x2﹣1＝0，
故x2﹣1＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．
13．（3分）如图，AB是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为 118° ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，从而求出∠B，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．
解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝28°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝62°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝118°．
故118°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：由题意得，DE＝1，BC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
则AB＝＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BD＝，
故．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
15．（3分）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）＝ ﹣4 ．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝﹣2，再由多项式乘以多项式的计算法则得到（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4，据此代值计算即可．
解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝﹣2，
∴（a﹣2）（b﹣2）
＝ab﹣2a﹣2b+4
＝ab﹣2（a+b）+4
＝﹣2﹣2×3+4
＝﹣4，
故﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
16．（3分）已知△ABC，D是BC边上的一点（不与BC重合），E、F分别是△ABD、△ACD的重心，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积为 ．
【分析】连接DE并延长交AB于G，连接DF并延长交AC于H，连接GH，由重心的定义得到DG，DH分别是△ABD，△ACD的中线，则GH是△ABC的中位线，即可得到，证明△AGH∽△ABC，可得，再由三角形中线的性质推出，由重心的性质可得，则可证明△EDF∽△GDH，得到．
解：如图所示，连接DE并延长交AB于G，连接DF并延长交AC于H，连接GH，
∵E、F分别是△ABD、△ACD的重心，
∴DG，DH分别是△ABD，△ACD的中线，
∴GH是△ABC的中位线，
∴，
∴△AGH∽△ABC，
∴，
∴；
∵三角形中线平分三角形面积，
∴S△AGD＝S△BGD，S△AHD＝S△CHD，
∴，
∴，
由重心的性质可得，
又∵∠EDF＝∠GDH，
∴△EDF∽△GDH，
∴，
∴，
故．
【点评】本题主要考查了重心的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
17．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为 ．
【分析】设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，求出OQ1，当Q2与B重合时，BO的延长线与⊙O交于点P2，P2Q2最大值OQ2+OP2．
解：∵△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足Q1，交⊙O于P1，连接AO，延长AO与BC相交于点F，过F作FG⊥AB于点G，如图1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，则四边形ODCQ1为矩形，AO平分∠BAC，
∴CF＝FG，．
设CF＝FG＝x，则BF＝6﹣x，
AC＝AG＝8，
BG＝AB﹣AG＝10﹣8＝2，
由勾股定理得，（6﹣x）2﹣x2＝22，
解得：，
∴，
∵OE∥GF，
∴△AOE∽△AFG，
∴，即，
∴AE＝3，
∴AF＝AE＝3，
∴OQ1＝CD＝8﹣3＝5，
∴P1Q1＝OQ1﹣OP1＝5﹣1＝4，
如图2，当Q2与B重合时，连接BO，延长BO与⊙O交于点P2，
此时P2Q2为最大值，
，
∴PQ的最大值与最小值的和为：
，
故．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是确定PQ的最小值与最大值的位置．
18．（3分）已知△ABC的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、C（0，2n）（m＞n＞0），作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C，B1恰好落在y轴上，则的值为 ．
【分析】连接BB1，延长CA交BB1于D，证明△AOC∽△B1OB，推出，可得，在Rt△AOB′中，根据构建关系式即可解决问题．
解：如图，连接BB1，延长CA交BB1于D，
∵B，B1关于AC对称，
∴CD⊥BB1，
∵∠OCA+∠OAC＝90°，
∠DBA+∠BAD＝90°，∠OAC＝∠BAD，
∴∠OAC＝∠DBA，
∵∠AOC＝∠BOB1＝90°，
∴△AOC∽△B1OB，
∴，即 ，
在Rt△AOB1中，，
整理得：3m2﹣8nm＝0，
∵m≠0，
∴，即，
故．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
三、解答题（共96分）
19．解方程：
（1）x2﹣6x+3＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2）．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
解：（1）∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
∴x2﹣6x+9＝6，
∴（x﹣3）2＝6，
∴，
解得；
（2）∵（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2），
∴（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x+1﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键．
20．已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣3）﹣k2＝0．
（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1＞x2，证明：x1+2x2≤7．
【分析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系的关系求出两根和，再把x1+2x2化为5+x2，再根据求根公式求出x2，并判断出x2≤2即可．
证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣k2＝0，
即x2﹣5x+6﹣k2＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣k2）＝25﹣24+4k2＝1+4k2，
∵无论k取何值时，总有4k2≥0，
∴1+4k2＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1+x2＝5，
∴x1+2x2＝x1+x2+x2＝5+x2，
∵x1＞x2，
∴x2＝，
∵4k2+1≥1，
∴≥1，
∴≤2，
即x2≤2，
∴5+x2≤7，
即x1+2x2≤7．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的关系，根的判别式和根与系数的关系，关键是掌握根与系数的关系．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．
（1）求证：△APC∽△DPB；
（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，再根据角平分线的定义得∠ABC＝∠DBC，于是可得出∠C＝∠DBC，据此可得出结论；
（2）设DP＝x，则AD＝CP＝1+x，然后由（1）的结论得AP：DP＝PC：BP，据此可得出x2+x﹣1＝0，然后解方程求出x即可．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BC是∠ABD的平分线，
∴∠ABC＝∠DBC，
∴∠C＝∠DBC，
又∠APC＝∠DPB，
∴△APC∽△DPB．
（2）解：设DP＝x，
∵AP＝PB＝1，
∴AD＝AP+DP＝1+x，
又AD＝CP，
∴CP＝1+x，
由（1）得：△APC∽△DPB，
∴AP：DP＝PC：BP，
即：1：x＝（x+1）：1，
∴x2+x＝1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的证明方法，理解相似三角形的性质，难点是设置适当的未知数，利用相似三角形的性质列出方程．
22．（100分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 80 ，n＝ 86 ；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和，请判断 ＞ ；（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值；
（2）根据方差公式分别计算出，即可；
（3）从平均数和中位数进行分析即可．
解：（1）七年级成绩中8（0分）的最多有3个，
所以众数：m＝80，
将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，排在第5和第6的数是85，87，
∴中位数：，
故80，86；
（2）∵七年级的方差是：
，八年级的方差是：
，∴，
故＞；
（3）从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高，且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高，
综上所述，我认为八年级的成绩较好．
【点评】本题考查了中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．
23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 （2，6） ；
（2）△ABC外接圆的半径是 ；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 （3，6） ；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）利用两点间距离公式计算即可；
（3）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；
（4）根据相似三角形的性质求出△A1B1C1的三边即可解决问题；
解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．
故答案为（2，6）．
（2）连接CO′．CO′＝＝，
∴△ABC外接圆的半径是．
故答案为．
（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，
∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．
观察图象可知M（3，6）
故答案为（3，6）．
（4）如图，△A1B1C1即为所求；
【点评】本题属于圆综合题，考查三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
24．如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．
（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）
（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明．
【分析】（1）以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，即可完成作图；
（2）证△MBP∽△PCN，可得＝ 设BP＝x，列出方程＝，整理得x2﹣9x+5a＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P不存在，进而可以解决问题．
解：（1）①以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，
②作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，
如图，点P1、P2即为所求；
（2）如图，∵∠MP1N＝60°，
∴∠MP1B+∠CP1N＝120°，
在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠MP1B+∠BMP1＝120°，
∴∠BMP1＝∠CP1N，
∴△MBP1∽△P1CN，
∴＝，
设BP1＝x，
∴＝，
∴5a＝9x﹣x2，
∴x2﹣9x+5a＝0，
∵只能作出唯一的点P，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣9）2﹣20a＝81﹣20a＝0，
∴a＝．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质．
25．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，BQ＝1，求BD的长．
【分析】（1）欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；
（2）连接AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）证明：连接OD，
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∵AB∥PQ，
∴OD⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB∥PQ，
∠ABC＝∠Q，∠ADB＝∠BDQ，
∵∠ADC＝∠ABC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠Q，∠ACD＝∠BDQ，
∴△BDQ∽△ACD，
∴＝，
∴BD2＝AC•BQ，
∴BD2＝4×1＝4，
解得：BD＝2或﹣2（舍去）．
∴BD的长为2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．
26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
【点评】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
27．如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为t s．
（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；
（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM与⊙P相切时，求t的值；
（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和切线的性质定理求得AD，AP的值，进而得到PD的长度，利用时间＝距离÷速度即可得出结论；
（2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：设QM与⊙P相切于点E，①当点E在AD的左侧时，②当点P在AD的右侧时，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，由题意得：BQ＝t，DP＝t，利用等腰梯形的判定定理和性质定理可得AM＝BQ，利用解直角三角形的知识与等腰三角形的性质可得AF的长，再分别利用AF+FP+PD＝AD和AF+DP﹣FP＝AD，列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分段讨论的方法分析，当线段PD取不同数值时，⊙P与△ABC的边的公共点的个数，利用时间＝距离÷速度即可求得t的取值范围．
解：（1）设⊙P与边AC相切点E，连接PE，如图，
则PE⊥AC．
∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，
∴BD＝＝3cm，∠DAC＝∠BAC＝30°．
∴AD＝＝3，
由题意得：PD＝t cm，
∴AP＝AD﹣PD＝（3﹣t）cm．
在Rt△APE中，
∵sin∠PAE＝，
∴AP＝．
∴3﹣t＝．
解得：t＝3﹣．
∴当⊙P与边AC相切时，t的值为3﹣．
（2）设QM与⊙P相切于点E，
①当点E在AD的左侧时，设QM与AD交于点F，如图，
连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，
∵QM与⊙P相切于点E，
∴EP⊥QM．
∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．
∵QM∥AB，
∴∠QFD＝∠BAD＝30°．
∵∠AFM＝∠QFD，
∴∠AFM＝30°．
∴∠FAM＝∠AFM＝30°．
∴AM＝FM．
∵MH⊥AD，
∴AH＝FH＝．
由题意得：BQ＝t，DP＝t，
∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，
∴四边形ABQM为等腰梯形，
∴AM＝BQ＝t．
∴AH＝AM•cs∠DAC＝t．
∴AF＝2AH＝2t．
∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，
∴FP＝2EP＝2．
∵AF+FP+PD＝AD，
∴t+2+t＝3．
解得：t＝﹣；
②当点P在AD的右侧时，设QM与AD交于点F，如图，
连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，
∵QM与⊙P相切于点E，
∴EP⊥QM．
∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．
∵QM∥AB，
∴∠QFD＝∠BAD＝30°．
∵∠AFM＝∠QFD，
∴∠AFM＝30°．
∴∠FAM＝∠AFM＝30°．
∴AM＝FM．
∵MH⊥AD，
∴AH＝FH＝．
由题意得：BQ＝t，DP＝t，
∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，
∴四边形ABQM为等腰梯形，
∴AM＝BQ＝t．
∴AH＝AM•cs∠DAC＝t．
∴AF＝2AH＝2t．
∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，
∴FP＝2EP＝2．
∵AF+DP﹣FP＝AD，
∴t+t﹣2＝3．
解得：t＝+．
综上，当QM与⊙P相切时，t的值为（﹣）或（+）．
（3）①当0≤PD＜1时，此时⊙P与BC相交，⊙P与BC边有两个公共点，符合题意，
∴此时t的取值范围为0≤t＜；
②当1＜PD＜3﹣2时，此时⊙P与△ABC的三边均相离，没有公共点；
③当PD＝3﹣2时，此时⊙P与AB，AC边相切，此时⊙P与△ABC的边共有两个公共点；
∴由（1）知：t＝3﹣；
④当3﹣2＜PD＜3﹣1时，此时⊙P与AB，AC边均相交，此时⊙P与△ABC的边共有四个公共点；
⑤当3﹣1＜PD≤3时，此时⊙P与AB，AC边均相交，但各只有一个交点，符合题意，
∴此时t的取值范围为：3﹣＜t≤3．
综上，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，t的取值范围为0≤t＜或t＝3﹣或3﹣＜t≤3．
【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质定理，等边三角形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：AC2＝2AD•BC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝1，OE＝2，直接写出CD的长．
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，证明△DAC∽△OBC即可得出结论；
②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，则可得出答案；
（2）分两种情况讨论，当点E在CD上时，当点E在AD上时，分别求解即可得到答案．
（1）①证明：如图1，
∵CD＝AD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB＝OC＝OA，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACB＝∠DAC＝∠DCA＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC，
∴，
∵OC＝OB＝OA，
∴AC＝2OA＝2OB，即，
∴，
∴AC2＝2AD•BC；
②解：如图2，若BE⊥CD，
在Rt△BCE中，∠OCB＝∠OCE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠OCE＝∠OCB＝30°，
过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，在Rt△DCH中，DC＝2m，
∴CH＝m，
∴BC＝BH+CH＝3m，
∴；
（2）解：如图3，当点E在CD上时，
设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣1，设OB＝OC＝m，
∵OE＝2，
∴EB＝m+2，
∵△DAC∽△OBC，
∴，
∴，
∴，
∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，
∴△EOC∽△ECB，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入中，得：
，
解得：， （舍去），
∴；
如图4，当点E在AD上时，
∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCB，∠OEA＝∠OBC，
∵∠OCB＝∠OBC，
∴∠OAE＝∠OCB＝∠OEA＝∠OBC，
∴OA＝OE＝OB＝OC，
∴四边形ABCE是矩形，AC＝2OE＝8，
∴∠CEA＝∠CED＝90°，
设AD＝CD＝t，
∵DE＝1，
∴AE＝t﹣1，
∵OE＝2，
∴AC＝4，
在Rt△AEC中，由勾股定理得CE2＝AC2﹣AE2，
在Rt△DEC中，由勾股定理得CE2＝DC2﹣DE2，
∴42﹣（t﹣1）2＝t2﹣12，
∴解得：，（舍去），
∴，
综上所述，CD的长为：或 ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键．
2024-2025学年江苏省无锡市九年级上学期期中数学检测试卷（二）
一.选择题（共10小题）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．
2．（3分）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．等弧所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
5．（3分）在△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）
A．B．C．∠AED＝∠CD．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且点D在上．若∠D＝130°．则∠CAB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
8．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8B．4C．3.5D．3
9．（3分）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（ ）
A．B．C．D．5
二.填空题（共8小题）
11．（3分）若方程x2﹣ax+3＝0的一个根为1，则a＝ ．
12．（3分）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是 cm2．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．（3分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ （结果保留π）．
15．（3分）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则⊙O与直线l的位置关系为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若HD＝3，则AC的长为 ．
17．（3分）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为 ．
18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一动点，以AC为边在其左侧作正方形ACEF．连接BF，则的最大值为 ．
三.解答题（共10小题）
19．解方程：
（1）（x﹣1）2＝36；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
20．解方程：
（1）（x﹣5）2＝2x﹣10；
（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．
21．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．
（1）试判断该方程根的情况并说明理由；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求m的值．
22．如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．
23．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．
24．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图1，∠A＜90°；
（2）如图2，∠A＞90°．
25．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．
26．如图，平行四边形ABCD的面积为96，AB＝10，BC＝12，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH．
（1）如果点G在对角线AC上，则正方形EFGH的面积为 ；
（2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值；
（3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．
27．【问题发现】
（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，请直接写出BE与DG的数量关系和位置关系．
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG“；改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，过点P作PQ⊥AF，垂足为点Q，连接QC，当∠PQC＝∠DAC时，求AP的长．
28．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E分别是AB，AC上的点，DF∥BC交AC于F点，过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，交BE于G，连结DE．
（1）求证：∠AED＝∠ABC．
（2）若，求CE的长．
（3）如图2，M为BE的中点，连结FG，DM．
①当FG与△DMB的一边平行时，求所有满足条件的DM的长．
②连结FM交DE于点H，若，求△EFM的面积．
答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
解：A、2x+1＝0，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+1＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、x2+y＝1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．
2．（3分）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将m代入方程得m2﹣2m﹣3＝0，再整体代入即可得解．
解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，
∴m2﹣2m﹣3＝0．
∴m2﹣2m＝3．
∴2026﹣m2+2m＝2026﹣（m2﹣2m）＝2026﹣3＝2023．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并理解是关键．
3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57
【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
⇒x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故选：A．
【点评】此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．等弧所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对C、D进行判断．
解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；
B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．原式考查了圆心角、弦、弧的关系和三角形的外接圆．
5．（3分）在△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）
A．B．C．∠AED＝∠CD．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
解：如图：
A、，不能判定DE∥BC，故A符合题意；
B、∵，
∴DE∥BC，故B不符合题意；
C、∵∠AED＝∠C，
∴DE∥BC，故C不符合题意；
D、∵，
∴DE∥BC，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】连接OC，由垂径定理求出EC的长，由勾股定理求出OE的长，即可得到AE的长．
解：连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴EC＝CD＝×6＝3，
∵AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∴OE＝＝4，
∴AE＝OA﹣OE＝1．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理求出CE的长，由勾股定理求出OE的长．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且点D在上．若∠D＝130°．则∠CAB的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B＝50°，再求出∠CAB即可．
解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝130°，
∴∠B＝50°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8B．4C．3.5D．3
【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根据三角形的中位线定理得到DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，于是得到结论．
解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE＝，
∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，
∵DE+DF＝6.5，
∴EF＝10.5﹣6.5＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
9．（3分）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据多边形的内角和定理得到∠ABE＝＝108°，等量代换得到∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：在正五边形ABEFG中，∠ABE＝＝108°，
∵将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，
∴∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，
如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝108°+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAC＝36°，
∴∠BCD＝∠BAC，AD＝CD＝BC，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∵AB＝BC+1，
∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣BC＝1，
∴＝，
∴BC＝，
∴AB＝BC+1＝，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD＝4，则AC为（ ）
A．B．C．D．5
【分析】连接BD、CD、BI，由已知可得BD＝CD＝4，进而可证ID＝BD＝4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，利用OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2求x，再利用勾股定理求AC即可．
解：连接BD、CD、BI，
∵I为△ABC 内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∴，
∴BD＝CD＝4，
∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID，
∴ID＝BD＝4，
∵OI⊥AD，
∴AD＝2ID＝8，
∴AB＝，
连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，
设DE＝x，则OE＝AB﹣x＝2﹣x，
∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2，
∴（2）2﹣（2﹣x）2＝42﹣x2，
解得：x＝，
∴BE＝，
∴BC＝2BE＝，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD＝2BD是解此题的关键，有一定的难度．
二.填空题（共8小题）
11．（3分）若方程x2﹣ax+3＝0的一个根为1，则a＝ 4 ．
【分析】把x＝1代入原方程得到关于a的方程1﹣a+3＝0，然后解方程即可．
解：把x＝1代入原方程得，1﹣a+3＝0，解得a＝4．
故答案为4．
【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义：使方程左右两边成立的未知数的值叫方程的解．
12．（3分）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是 50π cm2．
【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π（cm），
则圆锥的侧面积是：．
故50π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜2且m≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故答案为m＜2且m≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ π （结果保留π）．
【分析】由等腰三角形的性质求出∠AOB的度数，由弧长公式即可计算．
解：由作图知：OP垂直平分AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，
∵扇形的半径是1，
∴的长＝＝π．
故π．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
15．（3分）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则⊙O与直线l的位置关系为 相离 ．
【分析】首先求出方程的根，得到圆心O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
解：∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x+1）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∵点O到直线l距离是方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，
∴x＝5，
∴点O到直线l的距离d＝5，
∵r＝4，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离，
故相离．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，解决问题的关键是掌握比较圆心到直线的距离d与圆的半径r大小关系判定直线与圆的位置关系．
16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若HD＝3，则AC的长为 18 ．
【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，可求出EF的长，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出AC的长．
解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵HD＝3，AE＝2AD，
∴3：EF＝AD：2AD，
∴EF＝6，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵EF＝6，AB＝3BE，
∴6：AC＝BE：3BE，
∴AC＝18，
故18．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
17．（3分）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为 ．
【分析】连接OE，并延长EO交点CD于点F，连接OC，根据FE//BC得△DOF∽△DBC，然后设圆的半径为r，OE＝OC＝r，求出r＝5﹣x，用含x的式子表示出OF，CF，OC，再在△OCF中，利用勾股定理构建方程求出x，继而可得答案．
解：连接OE，并延长EO交点CD于点F，连接OC，设半径为r，AE＝x，
则BE＝4﹣x，
则EF⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△DOF∽△DBC，四边形BCFE是矩形，
∴，即＝，CF＝BE＝4﹣x，
∴r＝5﹣x，
则OF＝x，CF＝4﹣x，
在Rt△OCF中，∵CF2+OF2＝OC2，
∴（4﹣x）2+（x）2＝（5﹣x）2，
解得x＝或x＝﹣6（舍），
则r＝5﹣x＝，
故．
【点评】本题考查的是切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一动点，以AC为边在其左侧作正方形ACEF．连接BF，则的最大值为 ．
【分析】连接OC，把△AOC绕点A顺时针旋转90°，得到△AO1F，连接O1B，先求出点F在以r为半径的⊙O上运动，取得BF最大值为BO1+r，再根据勾股定理求出BO1＝r，最后代入化简即可．
解：连接OC，把△AOC绕点A顺时针旋转90°，得到△AO1F，连接O1B．
设AO＝OC＝r，则AB＝2r，
∴O1F＝OC＝r，
∴点F在以r为半径的⊙O上运动，
∴当点F运动至BO1的延长线与⊙O1的交点处（B，O1，F三点共线）时，BF取得最大值，最大值为BO1+r．
在Rt△AO1B中，
BO1＝＝r，
∴BF的最大值为（+1）r，
∴的最大值为．
故．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，求圆上一点到圆外一点的最短距离，熟练掌握各知识点是解题的关键．
三.解答题（共10小题）
19．解方程：
（1）（x﹣1）2＝36；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据因式分解法解方程即可．
解：（1）x﹣1＝±6，
∴x1＝7，x2＝﹣5；
（2）（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣直接开平方法，解决本题的关键是掌握因式分解法和直接开平方法．
20．解方程：
（1）（x﹣5）2＝2x﹣10；
（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）方程整理，得：
（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
因式分解，得：
（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝0．
于是，得：
x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝5，x2＝7；
（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．
因式分解得：
（2x﹣5+1）（2x﹣5﹣2）＝0，
即（2x﹣4）（2x﹣7）＝0，
∴2x﹣4＝0或2x﹣7＝0，
解得：x1＝2，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
21．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．
（1）试判断该方程根的情况并说明理由；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求m的值．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可求解．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：（1）有两个不相等的实数根，理由如下：
Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣1）
＝m2+2m+13
＝（m+1）2+12，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+12≥12，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得：x1x2＝m﹣1，x1+x2＝m+3，
∴3x1﹣x1x2+3x2＝3（x1+x2）﹣x1x2＝3（m+3）﹣（m﹣1）＝12，
解得：m＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
22．如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．
【分析】（1）先由角平分线的定义说明∠BAC＝∠EAD，再由已知可得结论；
（2）先由（1）三角形相似得∠B＝∠E，再由已知角平分线的定义、公共角可得△BDF∽△BAD，代入计算得结论．
（1）证明：∵AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，
∴∠BAC＝2∠EAB＝2∠BAD，∠EAD＝2∠BAD．
∴∠BAC＝∠EAD．
又∵，
∴△AED∽△ABC．
（2）解：由（1）知△AED∽△ABC，
∴∠B＝∠E．
又∵∠EFA＝∠BFD，
∴∠EAB＝∠EDB．
∵∠EAB＝∠BAD，
∴∠EDB＝∠BAD．
又∵∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BAD．
∴＝．
∴AB＝＝＝．
答：AB的长为．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握角平分线的定义和相似三角形的性质与判定是解决本题的关键．
23．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．
【分析】（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（2）解：设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
解：（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理，得x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝25，x2＝5（不合题意，舍去）．
答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元；
（2）不能，理由如下：
设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，
依题意，得：（40﹣y）（20+2y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到1600元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
24．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图1，∠A＜90°；
（2）如图2，∠A＞90°．
【分析】（1）如图1，连接AD，由于AB为直径，则∠ADB＝90°，由于AB＝AC，所以AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠EAD，于是得到BD＝DE；
（2）如图2，延长CA交圆于E，连接BE、DE，与（1）一样得到∠BAD＝∠DAC，而∠DAC＝∠DBE，所以∠DBE＝∠BAD，所以DE＝BD．
解：（1）如图1，DE为所作：
（2）如图2，DE为所作：
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
25．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．
【分析】（1）连接OC，由题意易得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后可得OC是△ABC的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证；
（2）由（1）知，则根据勾股定理可得AD＝8，然后根据等积法可得，进而可得△CDE∽△CAB，则根据相似三角形的性质可进行求解．
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠C，
∴AC＝AB，
∴DC＝DB，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，
在△ABD中，由勾股定理得，，
由得，；
∵∠DCE＝∠ACB，∠CED＝∠CBA，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．如图，平行四边形ABCD的面积为96，AB＝10，BC＝12，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH．
（1）如果点G在对角线AC上，则正方形EFGH的面积为 ；
（2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值；
（3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．
【分析】（1）过A作AM⊥BC垂足为M，根据面积计算出 AM＝8，根据勾股定理计算出 ，从而得到AM 垂直平分BC，再证明△BEF≌△CHG得到BE＝HC，设FE＝x，分别得到 ，根据BC＝BE+EH+HC建立方程，解 方程即可得到答案；
（2）根据矩形的性质推到得EF＝AM＝8，得出 AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4，再根据勾股定理计算出CH＝6，通过AF∥EC 证明△AFP∽△CEP，通过三角形的相似比计算出AP：CP；
（3）根据∠B＝∠HCG和∠B＝∠HGC两种情况进行讨论，当∠B＝∠HCG可利用（1）得结论得到答案，当∠B＝∠HG C时，EF＝x，得 ； ，EH＝GH＝x，根据HC＝BC﹣BE﹣EH得到 ，再根据相似三角形的相 似比建立方程，解方程即可得到答案．
解：（1）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M，
∵AM⊥BC，平行四边形ABCD的面积为96，
∴BC•AM＝96，
∴AM＝8，
∴，
∴MC＝6，
∴AM垂直平分BC，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB，
设FE＝x，
∵AM⊥BC，EF⊥BC，
∴AM∥EF，
∴△BFE∽△BAM，
∴，
∴，
∴，
在△BEF和△CHG中，
∴△BEF≌△CHG（AAS），
∴，
∵EH＝EF＝x，BC＝BE+EH+HC，
∴ ，
∴S正方形EFGH＝；
（2）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M，
∴AM∥EF，AM⊥BC，
∵平行四边形ABCD，
∴AF∥BC，
∴四边形AMEF为矩形，
∴EF＝AM＝8，
∵AD＝BC＝12，FD＝EF，
∴AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4，
∵CD＝10，DH＝8，
∴CH＝6，
∴EC＝EH﹣CH＝8﹣6＝2，
∵AF∥EC，
∴∠FAP＝∠PCE，∠AFP＝∠PEC，
∴△AFP∽△CEP，
∴，
∴AP：CP＝2：1；
（3）如图所示，
∵△BEF∽△CHG，当∠B＝∠HCG时，点G在AC上时，由（1）得△BEF≌△CHG，；
当∠B＝∠HGC时，点G不在AC上，如图所示，
∵△BEF∽△CHG，
∴，
设EF＝x，得 ，EH＝GH＝x，
∴，
∴，，
∴ ，
∴，
∴．
【点评】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形性质和判定和相似三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用相似三角形的相似比建立方程．
27．【问题发现】
（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，请直接写出BE与DG的数量关系和位置关系．
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG“；改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，过点P作PQ⊥AF，垂足为点Q，连接QC，当∠PQC＝∠DAC时，求AP的长．
【分析】（1）证明两三角形全等，证得相关线段与角的关系，进一步证明相似，进而得出位置关系；
（2）由矩形相似得出对应边成比例且夹角相等，证得相似得出比例线段，再根据勾股定理求出关键线段，即可求解；
（3）根据题意进行分类讨论，画出图形，运用解直角三角形、勾股定理、相似三角形、特殊四边形、角平分线特性，求出关键线段即可求解．
解：（1）BE＝DG，BE⊥DG．
证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AD，AE＝AG，∠EAG＝∠BAD＝90°，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，即∠EAB＝∠GAD，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴∠EBA＝∠GDA，BE＝DG，
∵∠BOH＝∠AOD，
∴△BHO∽△DAO，
∴∠BHO＝∠BAD＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）过点A作AM⊥DE于点M，
∵矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4，
∴，∠EAG＝∠BAD＝90°，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，即∠EAB＝∠GAD，
∴△EAB∽△GAD，
∴，
在Rt△AEG中，＝5，
，
∴AM＝，MG＝，MD＝，
∴GD＝MD﹣MG＝4，
∵，
∴BE＝3；
（3）①当点P在线段AG上时，
根据题意作图如下：连接BD交AC于点O，作CM⊥AF，交AF的延长线于点M，作CN∥AG交AF于点N，
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠DAB＝∠GAE，∠DAC＝∠BAD，∠GAF＝∠GAE，BD⊥AC，AO＝AC＝3，
∴∠DAC＝∠GAF，
∴∠DAG＝∠CAF，
∵AG平分∠DAC，
∴∠DAG＝∠DAC，
∴∠GAC＝∠CAF＝∠GAF，
∵CN∥AG，
∴∠GAC＝∠ACN，∠CNM＝∠GAF，
∴∠CAF＝∠ACN，
∴AN＝CN，
在Rt△ADO中，cs∠DAC＝，
∴cs∠CNM＝cs∠PQC＝cs∠PAQ＝，
∴tan∠APQ＝＝，
∵PQ⊥AF，
∴∠PAQ+∠APQ＝∠PQC+∠CQM＝90°，
∴∠APQ＝∠CQM，
∴tan∠CQM＝tan∠APQ＝＝，即，
在Rt△CNM中，可得三边比值为：MN：CM：CN＝3：4：5，
∵AN＝CN，
∴CM：AM＝1：2，
在Rt△CAM中，设CM为3x，则QM＝4x，AM＝6x，
根据勾股定理得：AM2+CM2＝AC2，即（6x）2+（3x）2＝62，
解得：x＝，
∴AQ＝AM﹣QM＝2x＝，
∴AP＝AQ＝；
②当点P在线段AG的延长线上时，
根据题意作图如下：过点C作CM⊥AF于点M，
同①可知：此时AQ＝AM+MQ＝10x，
∴AQ＝10×＝，
∴AP＝AQ＝，
所以AP的长为或．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与相似、正方形、矩形、菱形的性质、勾股定理、角平分线性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识和技能，根据图形进行分类讨论是解题的关键．
28．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E分别是AB，AC上的点，DF∥BC交AC于F点，过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，交BE于G，连结DE．
（1）求证：∠AED＝∠ABC．
（2）若，求CE的长．
（3）如图2，M为BE的中点，连结FG，DM．
①当FG与△DMB的一边平行时，求所有满足条件的DM的长．
②连结FM交DE于点H，若，求△EFM的面积．
【分析】（1）由DF∥BC可知∠DFE＝∠AFD＝∠C＝90°，再由过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D得出∠ADE＝90°，从而利用同角的余角相等即可得证；
（2）取DE的中点O，连接EO，GO，则点O是过点D，E，F的外接圆的圆心，DO＝FO＝EO＝GO，证明∠BEC＝∠ABC从而得到△BEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出，从而得解；
（3）①分FG∥BD和FG∥DM两种情况讨论，当FG∥BD时，利用垂径定理得到EF＝EG，再利用平行线分线段成比例得到证明AE＝BE，从而设AE＝BE＝x，根据勾股定理列方程得到62+（8﹣x）2＝x2，求出BE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DM即可；当FG∥DM时，先利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明，再过点M作MP⊥BE，构造垂直平分线，从而得到PE＝PB，有利用AAS证明△PDE≌△ADE，从得到AD＝PD，DE＝3x可得AD＝PD＝4x，PB＝5x，利用AB的长度列方程可求出x，利用勾股定理得到BE，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DM即可；
②过点E作EQ∥BC，FM于点Q，延长FM交BC于点R，取CE的中点S，则SM是△CEB的中位线，则有MS⊥AC，，设AF＝4a，则CF＝8﹣4a 利用EQ∥DF求出EQ，求出DF和EF的长，利用SSA证明△EQM≌△BRM，从而得到EQ＝BR＝2a，CR＝BC﹣BR＝6﹣2a，最后利用△EFQ∽△CFR得到，解出a，得到EF的长度，根据三角形面积公式可得出答案．
（1）证明：∵DF∥BC，
∴∠DFE＝∠AFD＝∠C＝90°，
∴线段DE是过点D，E，F的外接圆的直径，
又∵过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，
∴∠ADE＝90°，∠AED+∠A＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∴∠AED＝∠ABC；
（2）解：取DE的中点O，连接FO，GO，
则点O是过点D，E，F的外接圆的圆心，DO＝FO＝EO＝GO，
∵∠DFE＝∠ADE＝90°，
∴∠AED+∠EDF＝∠AED+∠A＝90°，
∴∠EDF＝∠A，∠AED＝90°﹣∠A，
又∵DO＝FO＝EO＝GO，
∴∠DFO＝∠EDF＝∠A，
∵＝，
∴FD＝FG，
∵FD＝FG，DO＝GO，FO＝FO，
∴△DFO≌△GFO（SSS），
∴∠DFO＝∠GFO＝∠A，
∴∠DEG＝∠DFG＝∠DFO+∠GFO＝2∠A，
∴∠BEC＝180°﹣∠DEG﹣∠AED＝180°﹣2∠A﹣（90°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝∠AED＝∠ABC，
∵∠BEC＝∠ABC，∠BCE＝∠ACB＝90°，
∴△BEC∽△ABC，
∴，
即BC2＝AC•CE，
又∵AC＝8，BC＝6，
∴CE＝＝＝；
（3）解：①显然FG与BM不可能平行，可分FG∥BD和FG∥DM两种情况讨论：当FG∥BD时，作图如下：
∵FG∥BD，∠ADE＝90°，
∴FG⊥DE，
∴＝，
∴EF＝EG，
又∵FG∥BD，
∴，
∴＝1，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝AC﹣AE＝8﹣x，
又∵∠C＝90°，
BC2+CE2＝BE2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，
∴BE＝x＝，
又∵∠ADE＝∠BDE＝90°，即△BDE是Rt△，
∴，
当FG∥DM时，作图如下：
∵∠EGF＝∠EDF＝∠A，FG∥DM，
∴∠EMD＝∠EGF＝∠A，
∵∠ADE＝∠BDE＝90°，即△BDE是Rt△，
∴DM＝BM＝BE，
∴∠ABE＝∠EMD＝∠A，
过点M作MP⊥BE，交AB于点P，连接EP，则MP是BE的垂直平分线，
∴PE＝PB，
∴∠BEP＝∠ABE＝∠A，
∴∠DPE＝∠BEP+∠ABE＝2∠ABE＝∠A，
∵∠DPE＝∠A，∠PDE＝∠ADE，DE＝DE，
∴△PDE≌△ADE（AAS），
∴AD＝PD，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，，
设DE＝3x，则AD＝PD＝4x，
∴PB＝PE＝＝5x，
∴AB＝AD+PD+PB＝13x＝10，BD＝PD+PB＝9x，
∴x＝，
∴BE＝＝3x＝，
∴DM＝BE＝．
综上所述：DM的长为或；
②过点E作EQ∥BC，FM于点Q，延长FM交BC于点R，取CE的中点S，则SM是△CEB的中位线，则有MS⊥AC，，
设AF＝4a，则CF＝8﹣4a，
∵∠AFD＝90°，，
∴，
∴DF＝3a，
又∵∠EDF＝∠A，∠EFD＝∠AFD＝90°，
∴，
∴，
∵EQ∥BC，DF∥BC，
∴EQ∥DF，
∴△DFH∽△EQH，
∴，
∴EQ＝2a，
∵EQ∥BC，
∴∠EQM＝∠BRM，∠QEM＝∠RBM，
∵M为BE的中点，
∴EM＝BM，
∵∠EQM＝∠BRM，∠QEM＝∠RBM，EM＝BM，
∴△EQM≌△BRM（AAS），
∴EQ＝BR＝2a，
∴CR＝BC﹣BR＝6﹣2a，
∵EQ∥BC，
∴△EFQ∽△CFR，
∴，
即
解得：，
∴EF＝a＝，
∴S△EFM＝EF＝．
【点评】本题是圆的综合题，考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，90°的圆周角所对的弦是直径，垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的面积公式等知识，正确作出辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
平均数
众数
中位数
七年级参赛学生成绩
85.5
m
87
八年级参赛学生成绩
85.5
85
n
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众数
中位数
七年级参赛学生成绩
85.5
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