河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
考生必须保证答题卡的整洁.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每个小题只有一个选项符合题目要求
已知平面向量a  2, 3 ， b   x, 6 ，若 a ∥b ，则 x  （ ）
A. -9B. -4C. 4D. 9
在复平面内，i 为虚数单位，若复数(1 i)z  2  i ，则 z  （ ）
 1  3 i
22
 1  3 i
22
1  3 i
22
1  3 i
22
为落实“双碳”目标，某环保组织调研 10 个国家 2024 年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30% 分位数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 12
若 m，n 为两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（）
若α γ， β γ，α∩ β l ，则l  γ
C. 若α β， m α， m  n ，则 n  β
若α/ /β， m α， n  β，则 m // n
D. 若 m // n ， n   ，则 m / /α
3
已知直角梯形的上底长为 1，下底长为 2，高为
，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何
3
体的表面积为（ ）
3
A. 2
 3π
B. 2
 4π
3
C. 4
 3π
D. 3
 4π
3
如图，空间四边形OABC 中， OA  a ， OB  b ， OC  c ，点 M 在线段 AO 上，且 MA  2 MO ，点 N 为 BC 中点，则MN 等于（）
5 →
a 
3 →1 →
b  c
1 →
a 
1 →1 →
b  c
322
322
→
→
→
 2 a  1 b  1 c
→
 1
a 
1 →1 →
b c
322322
如图，在棱长为 2 的正四面体 P  ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则异面直线 AP 与CD 所成角的余弦值为（）
A.3
6
B.3
4
C.3
3
D.3
2
抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用 x 表示红色骰子的点数，用 y 表示绿色骰子的点数，用(x, y) 表示一次试验的结果.设 A  “两个点数之积是偶数”， B  “至少有一颗骰子的
点数为 5”，则 P( A ∪ B)  （ ）
A. 1B.
4
218
C.D.
939
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用．某校为了
培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛．甲、乙两名同学每次各自投 10 个球，每人 8
次机会，每次投篮投中个数记录如下：
记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为 x 、 x ，方差分别为 s2 、 s2 ．则下列结论正确的
甲乙甲乙
是（ ）
同学
第 1
次
第 2
次
第 3
次
第 4
次
第 5
次
第 6
次
第 7 次
第 8 次
甲（投中个数）
6
7
5
6
4
3
8
9
乙（投中个数）
8
4
6
7
6
5
7
5
x  x
x  x
s2
 s2
s2  s2
甲乙
甲乙
甲乙
甲
乙
关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
若 a  1, 0 ， b  0,1 ，对任意的非零实数λ和μ，则λa  μb
若a  1, 1 ， b  2, 4 ，则向量a ， b 的夹角为钝角
→→→→
若 a  2 ， b  1，且a 和b 的夹角为120∘ ，则 a  2b  2
若点
P, A, B, C
–––→
在同一平面内，且 PA 
3 –––→
PB 
1 –––→
PC ，则 A, B,C 三点共线
44
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， M 为 B1C1 的中点， P 为线段 B1D1 上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（）
存在 P 点使得 MP ∥平面 A1DB
10
直线 BM 与平面 BDD1B1 所成角正弦值为
10
7  2 3
AP  MP 的最小值为
若点Q 在正方体 ABCD  A1B1C1D1 ，表面上运动（包含边界），且 MQ  A1C ，则点Q 的轨迹长度为
2
6
三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
已知某地区有小学生 12000 人，初中生 11000 人，高中生 9000 人，现在要了解该地区学生的近视情
况，准备抽取 320 人进行调查，则按比例分配的分层抽样应该抽取高中生人.
14
甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是 3 ，乙解出这道题目的概率是 5 ，这道
题被解出（至少有一人解出来）的概率是.
在平面四边形 ABCD 中， AB  BC  2CD  2 ， ABC  60 ， ADC  90 ，若 P 为边 BC 上一动点，当 PA  PC 取最小值时， cs PDC 的值为.
→
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
知向量 a  1,1, 0 ， b  1, 0, 2
→→→
（1）若a  kb  / / 2a  b ，求实数 k ；
a  kb
2a  b
（2）若向量 →与 →所成角为锐角，求实数 k 的范围．
遂宁市为进一步发展遂宁文旅，提升遂宁经济，现对“五一”假期部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 m  2n .
求图中m 的值，并估计此次调查中综合满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
求此次调查综合满意度的第 75 百分位数
若参与本次调查游客共有 2000 名，请估计在参与调查的 2000 名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数.
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，侧面 PAD  底面 ABCD ，底面 ABCD 为正
方形，E，F 分别为 AB ， PC 的中点．
求证：直线 EF ∥平面 PAD ；
若 AD  2 ，求侧面 PBC 与侧面 PAD 所成角的余弦值．
在ABC 中，内角A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，已知 3b sin C  c cs B  2b  a .
（1）求C ；
（2）若ABC 为锐角三角形，且 a 3 ，求ABC 面积的取值范围.
如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AD//BC, AD  DC, BC  CD  1 AD  2 ， E 为棱 AD 的中点，
2
PA  平面 ABCD .
证明： AB// 平面 PCE
求证：平面 PAB  平面 PBD
若二面角 P  CD  A 的大小为45，求直线 AD 与平面 PBD 所成角的正切值.
绝密★启用前
青龙一中 2025-2026 学年第一学期高二年级 9 月考试试卷数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
考生必须保证答题卡的整洁.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每个小题只有一个选项符合题目要求
已知平面向量a  2, 3 ， b   x, 6 ，若 a ∥b ，则 x  （ ）
A. -9B. -4C. 4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示，列出方程求解即可.
【详解】Q a ∥b ， 2 6  3x  0 ，解得 x  4 .
故选：B.
在复平面内，i 为虚数单位，若复数(1 i)z  2  i ，则 z  （ ）
 1  3 i
22
 1  3 i
22
1  3 i
22
1  3 i
22
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求解即得.
【详解】依题意， z  2  i  (2  i)(1  i)  1  3i  1  3 i .
1  i(1  i)(1  i)222
故选：C
为落实“双碳”目标，某环保组织调研 10 个国家 2024 年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30% 分位数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算求解.
【详解】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，且10  0.3  3，
则该组数据的30% 分位数是 5  7  6 .
2
故选：B.
若 m，n 为两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（）
若αγ， βγ，α∩ β l ，则l γ
C. 若α β， m α， m  n ，则 n  β
若α/ /β， m α， n  β，则 m // n
D. 若 m // n ， n   ，则 m / /α
【答案】A
【解析】
【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的判定判断 AC；利用面面平行性质判断 B；利用线面平行的判定判断 D.
【详解】对于 A，令α∩γ a,β∩γ b ，在平面γ取点 P ，在此平面内作 PM  a, PN  b ，
而αγ， βγ，则 PM α, PN  β，而α∩ β l ，则 PM  l, PN  l ， 而 PM  PN  P ，因此l γ，A 正确；
对于 B，由α/ /β， m α， n  β，得 m // n 或 m, n 是异面直线，B 错误； 对于 C，在长方体 AC1 中，平面 ABCD 与平面CDD1C1 分别为α,β，
直线 AA1, A1B1 分别为 m, n ，满足α β, m  α, m  n ， 而 A1B1 // 平面CDD1C1 ，即 n / /β，C 错误；
对于 D，由 m // n ， n   ，得 m / /α或 m α，D 错误. 故选：A
3
已知直角梯形的上底长为 1，下底长为 2，高为
，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何
体的表面积为（ ）
3
A. 2
3
C. 4
 3π
 3π
B. 2
3
3
D. 3
 4π
 4π
【答案】C
【解析】
【分析】画出图形，将所求转换为圆锥、圆柱的表面积计算即可.
【详解】如图所示，
则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为圆锥的侧面积，加上圆柱的侧面积，再加上圆柱的一个底面的面积，
1 3
而圆锥的母线长为
 2 ，
3
故所求为π 3  2  π 3 2  2π 3 1  4 3π .
故选：C.
如图，空间四边形OABC 中， OA  a ， OB  b ， OC  c ，点 M 在线段 AO 上，且 MA  2 MO ，点 N 为 BC 中点，则MN 等于（）
5 →
a 
3 →1 →
b  c
1 →
a 
1 →1 →
b  c
322
322

2 →
a 
1 →
b 
1 →
c
→
 1
a 
1 →
b 
1 →
c
322322
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理，得到答案.
【详解】 MA  2 MO ，点 N 为 BC 中点，
––––→––––→–––→1 –––→1 –––→1 –––→1 →1 →1 →
MN  MO  ON   OA  OB  OC   a  b  c .
322322
故选：D
如图，在棱长为 2 的正四面体 P  ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则异面直线 AP 与CD 所成角的余弦值为（）
A.3
6
B.3
4
C.3
3
D.3
2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，过 D 作 PA 的平行直线，利用几何法求出异面直线夹角的余弦.
【详解】在正四面体 P  ABC 中，取 PB 中点 E ，连接 DE, CE ，
由 D 是 AB 的中点，得 AP / / DE ，则CDE 是异面直线 AP 与CD 所成的角或其补角，
11 DE
CD  CE 
3, DE  PA  1 ，则cs CDE  2 1
2 3
2
CD
3 ，
6
所以异面直线 AP 与CD 所成角的余弦值为 3 .
6
故选：A.
抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用 x 表示红色骰子的点数，用 y 表示绿色骰子的点数，用(x, y) 表示一次试验的结果.设 A  “两个点数之积是偶数”， B  “至少有一颗骰子的
点数为 5”，则 P( A ∪ B)  （ ）
A. 1B.
4
218
C. D.
939
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解.
【详解】基本事件空间为：
Ω  1,1 ，1, 2 ，1, 3 ，1, 4 ，1, 5 ，1, 6 ，2,1 ，2, 2 ，2, 3 ，2, 4 ，2, 5 ，2, 6 ，
3,1 ， 3, 2 ， 3, 3 ， 3, 4 ， 3, 5 ， 3, 6 ， 4,1 ， 4, 2 ， 4, 3 ， 4, 4 ， 4, 5 ， 4, 6 ，
5,1 ， 5, 2 ， 5, 3 ， 5, 4 ， 5, 5 ， 5, 6 ， 6,1 ， 6, 2 ， 6, 3 ， 6, 4 ， 6, 5 ， 6, 6 ，共
36 个基本事件.
事件A 包含的基本事件有： 1, 2 ， 1, 4 ， 1, 6 ， 2,1 ， 2, 2 ， 2, 3 ， 2, 4 ， 2, 5 ， 2, 6 ，
3, 2 ， 3, 4 ， 3, 6 ， 4,1 ， 4, 2 ， 4, 3 ， 4, 4 ， 4, 5 ， 4, 6 ， 5, 2 ， 5, 4 ， 5, 6 ，
6,1 ， 6, 2 ， 6, 3 ， 6, 4 ， 6, 5 ， 6, 6 .共 27 个，
所以 P  A  27  3
364
事件 B 包含的基本事件有： 1, 5 ， 2, 5 ， 3, 5 ， 4, 5 ， 5,1 ， 5, 2 ， 5, 3 ， 5, 4 ， 5, 5 ，
5, 6 ， 6, 5 .共 11 个基本事件.
所以 P  B  11 .
36
事件 A  B 包含的基本事件有： 2, 5 ， 4, 5 ， 5, 2 ， 5, 4 ， 5, 6 ， 6, 5 .共 6 个基本事件.
所以 P  A ∩ B  6  1 .
366
根据概率的加法公式可得： P  A ∪ B  P  A  P  B  P  A ∩ B  3  11  1  8 .
43669
故选：D
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用．某校为了
培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛．甲、乙两名同学每次各自投 10 个球，每人 8
次机会，每次投篮投中个数记录如下：
记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为 x 、 x ，方差分别为 s2 、 s2 ．则下列结论正确的
甲乙甲乙
是（ ）
同学
第 1
次
第 2
次
第 3
次
第 4
次
第 5
次
第 6
次
第 7 次
第 8 次
甲（投中个数）
6
7
5
6
4
3
8
9
乙（投中个数）
8
4
6
7
6
5
7
5
x  x
x  x
s2
 s2
s2  s2
甲乙
甲乙
甲乙
甲
乙
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均数及方差公式计算即可.
【详解】 x甲
 6  7  5  6  4  3  8  9  6 ，
8
x  8  4  6  7  6  5  7  5  6 ，所以 x  x ，
乙8甲乙
s2  1  6  62  7  62  5  62  6  62  4  62  3  62  8  62  9  62   3.5 ，
甲8
s2  1  8  62  4  62  6  62  7  62  6  62  5  62  7  62  5  62   1.5 ，
乙8
所以 s2  s2 .
甲乙
故选：BD.
关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
若 a  1, 0 ， b  0,1 ，对任意的非零实数λ和μ，则λa  μb
若a  1, 1 ， b  2, 4 ，则向量a ， b 的夹角为钝角
→→→→
若 a  2 ， b  1，且a 和b 的夹角为120∘ ，则 a  2b  2
若点
P, A, B, C
–––→
在同一平面内，且 PA 
3 –––→
PB 
1 –––→
PC ，则 A, B,C 三点共线
44
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，利用向量垂直的充要条件即可判断；对于 B，根据向量数量积的坐标计算即可判断；对于 C，根据向量数量积的定义和运算律计算即可排除；对于 D，利用平面向量基本定理即可推得.
λ→→→ →
【详解】对于 A，因a  b  (1, 0)  (0,1)  0 ，则 a μb   λμ a  b  0 ，故λa  μb ，即 A 正确；
对于 B，由a  b  1 2  (1)  4  2  0 ，且a 与b 不共线，则向量a ， b 的夹角为钝角，故 B 正确；
对于 C，因a  b | a |  | b | csa, b  2 1 cs120∘  1 ，
a | 4a  b  4 b |
→ 2
→
→→
2
22  4 (1)  4 12
→→
3
则 a  2b  2，故 C 错误；
–––→3 –––→1 –––→–––→–––→3 –––→–––→1 –––→
对于 D，由 PA  PB  PC ，可得 PA  PB  PB  PB  PC ，
4444
–––→  1
–––→–––→

 1 –––→ ，即
与共线，故 A, B,C 三点共线，即 D 正确
BA(PC
4
PB)BC
4
BABC
故选：ABD.
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， M 为 B1C1 的中点， P 为线段 B1D1 上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（）
存在 P 点使得 MP ∥平面 A1DB
10
直线 BM 与平面 BDD1B1 所成角正弦值为
10
7  2 3
AP  MP 的最小值为
若点Q 在正方体 ABCD  A1B1C1D1 ，表面上运动（包含边界），且 MQ  A1C ，则点Q 的轨迹长度为
2
6
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用面面平行的判定推理平面 A1BD// 平面 B1CD1 ，然后利用直线 MP 与平面 B1CD1 相交判断 A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断 B；把三角形 AB1D1 与三角形 B1C1D1 置 于同一平面内，利用余弦定理求出线段 AM 长判断 C；先利用线面垂直的判定推理 A1C  平面 BC1D ，取
棱的中点利用面面平行的判定推理得平面 NMSTGH / / 平面 BC1D ，进而 A1C  平面 NMSTGH ，从而求出点Q 的轨迹为正六边形 NMSTGH ，求解周长即可判断 D．
【详解】对于 A：先证平面 A1BD// 平面 B1CD1 ，由正方体性质可知 BB1 / / DD1 ，且 BB1  DD1 ， B1A1 / /CD 且 B1A1  CD ，所以四边形 BB1D1D 和 B1A1DC 均为平行四边形，
所以 BD // B1D1 ， B1C / / A1D ，因为 BD, A1D  平面 A1BD ，
B1D1, B1C 在平面 A1BD 外，所以 B1D1 / / 平面 A1BD ， B1C / / 平面 A1BD ，
又 B1D1, B1C  平面 B1CD1 ， B1D1  B1C  B1 ，所以平面 A1BD// 平面 B1CD1 ，又 M 为 B1C1 的中点， P 为线段 B1D1 上动点（包括端点），
所以直线 MP 与平面 B1CD1 相交，从而直线 MP 与平面 A1DB 相交，故 A 错误；
对于 B：连接 A1C1 ，则 A1C1  B1 D1 ，由 BB1  平面 A1B1C1D1 ， A1C1  平面 A1B1C1D1 ，得 A1C1  BB1 ，又 BB1  B1D1  B1 ， BB1 ， B1D1  平面 BDD1B1 ，
则 A1C1  平面 BDD1B1 ，过 M 作 ME / / A1C1 交 B1D1 于 E ，连接 BE ，
于 是 ME  平 面 BDD1B1 ， MBE 是 直 线 BM 与 平 面 BDD1B1 所 成 的 角 ， ME  1 AC 2 ，
BM 
，所以sin MBE  ME 
22 12
5
BM
10 ，故 B 正确；
10
4 1 12
对于 C，把三角形 AB1D1 与三角形 B1C1D1 置于同一平面内，连接 AM ，则 AP  MP 的最小值为 AM ，
在aAB M 中， AB M  60∘  45∘  105∘ ， AB  2 2, B M  1，
1111
6
cs AB M  cs 60∘  45∘   2  ，
7  2 3
14
2 2 2 12  2  2
2 1 2  6
4
由余弦定理得 AM 

，C 正确；
对于 D，由正方体的性质知 AA1  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ，所以 AA1  BD ，
因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AC ⊥BD ， AC  AA1  A, AC, AA1  平面 AA1C ，所以 BD ⊥平面 AA1C ， A1C  平面 AA1C ，所以 BD  A1C ，
同理可得 BC1 ^ A1C ， BC1 ∩ BD  B, BC1 , BD  平面 BC1D ，故 A1C  平面 BC1D ；
如图，
取棱C1D1, D1D, DA, AB, BB1 的中点分别为 N , S,T , G, H ，
连接 MN , NS, ST ,TG, GH , HM ，可得六边形 NMSTGH 为正六边形，
而TG / / DB ， TG  平面 BC1D ， DB ⊂平面 BC1D ，故TG / / 平面 BC1D ， 同理可证GH / / 平面 BC1D ， TG  GH  G ， TG ， GH Ì 平面 NMSTGH ，
故平面 NMSTGH / / 平面 BC1D ，所以 A1C  平面 NMSTGH ，
2
即过点 M 且与 A1C 垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形 NMSTGH ，边长为，
2
其周长为6
，所以点Q 的轨迹为正六边形 NMSTGH ，则点Q 的轨迹长度为6
，D 正确．
2
故选：BCD
三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
已知某地区有小学生 12000 人，初中生 11000 人，高中生 9000 人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取 320 人进行调查，则按比例分配的分层抽样应该抽取高中生人.
【答案】90
【解析】
【分析】先求出高中生所占的比例，根据分层抽样定义计算即得.
【详解】由题意，应该抽取高中生的人数为：
320 
9000
 320  9
 90 .
12000  11000  900032
故答案为：90.
14
甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是 3 ，乙解出这道题目的概率是 5 ，这道
题被解出（至少有一人解出来）的概率是.
13
【答案】
15
【解析】
【分析】设这道题没被解出来为事件 A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率 P  1 P  A
【详解】设数学题没被解出来为事件 A，
则 P  A  1 1  1 4   2 ，
3  5 15
 
则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：
P  1 P  A  1 2  13 .
13
故答案为：
15
1515
在平面四边形 ABCD 中， AB  BC  2CD  2 ， ABC  60 ， ADC  90 ，若 P 为边 BC 上一动点，当 PA  PC 取最小值时， cs PDC 的值为.
【答案】 5 7 ## 57
1414
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出 PA  PC 最小时CP 长，再利用余弦定理求解即得.
【详解】在平面四边形 ABCD 中，连接 AC ，由ABC  60 ， AB  BC  2 ，得V ABC 是正三角形，
则ACB  60, AC  2
–––→ –––→–––→–––→–––→–––→2
， PA  PC  (PC  CA)  PC  PC
–––→ –––→–––→
 CA  CP | CP |2
–––→1
2 | CP | 
2
–––→
 (| CP | 
1 )2  1   1 ，当且仅当CP  1 时取等号，
2442
而CD  1, ADC  90 ，则ACD  60, PCD  120 ，在△PCD 中，由余弦定理，
12  ( 1 )2  2 1 1 ( 1 )
2
22
7
12  (
7 )2 
2
( 1 )2
5 7
2
得 PD 
，所以cs PDC .
22 1714
2
故答案为： 5 7
14
→
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
知向量 a  1,1, 0 ， b  1, 0, 2
→→→
（1）若a  kb  / / 2a  b ，求实数 k ；
a  kb
2a  b
（2）若向量 →与
【答案】（1）k  1
2
→所成角为锐角，求实数 k 的范围．
（2） k  1 且k  1
2
【解析】
→→1
【分析】（1）先求出 a  kb  1 k,1, 2k  ， 2a  b  1, 2, 2 ，根据向量共线得到方程，求出k  ；
2
→→→→→→
（2）由题意得到a  kb ·2a  b   0 ，且a  kb 与2a  b 不同向共线，从而得到不等式，求出答案.
【小问 1 详解】
→
因为 a  1,1, 0 ， b  1, 0, 2 ，
→→
所以 a  kb  1 k,1, 2k  ， 2a  b  1, 2, 2 ，
→→→→
1  k  1  2k1
因为a  kb  / / 2a  b  ，所以
122
，解得：k  ；
2
【小问 2 详解】
a  kb
2a  b
因为向量 →与 →所成角为锐角，
→→→→→→
所以a  kb ·2a  b   0 ，且a  kb 与2a  b 不同向共线，
→→
由（1）知， a  kb  1 k,1, 2k  ， 2a  b  1, 2, 2 ，
1 k  2  4k  0

故k  1，
2
解得 k  1 且k  1 ，即 k 的取值范围为 k  1 且k  1 .
22
遂宁市为进一步发展遂宁文旅，提升遂宁经济，现对“五一”假期部分游客发起满意度调查，从饮食、
住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 m  2n .
求图中m 的值，并估计此次调查中综合满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
求此次调查综合满意度的第 75 百分位数
若参与本次调查游客共有 2000 名，请估计在参与调查的 2000 名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数.
【答案】（1） m  0.03 ，76.5
（2）85（3）1045
【解析】
【分析】（1）结合已知根据频率分布直方图中各个小矩形面积之和为 1 列式得 m  0.03 ，根据频率分布直方图的平均数公式求解即可；
先确定累计频率为 0.75 所在的区间，然后根据频率列式求解即可；
先求出不低于平均分的频率，然后求解人数即可.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图可得， 0.01 n  0.035  m  0.0110  1 ，又 m  2n ，解得 m  0.03 ，
平均分为55 0.01 65 0.015  75 0.035  85 0.03  95 0.0110  76.5 .
【小问 2 详解】
由频率分布直方图可得，前 3 组频率之和为 0.6，第四组频率为 0.3，
故第 75 百分位数在80 , 90 ，则80  0.75  0.6 10  85 .
0.9  0.6
【小问 3 详解】
由（1）知平均分为76.5 70,80 ，
故不低于平均分的频率为80  76.5 0.035  0.3  0.1  0.5225 ，
则打分不低于平均分的人数为 2000  0.5225  1045 .
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，侧面 PAD  底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AB ， PC 的中点．
求证：直线 EF ∥平面 PAD ；
若 AD  2 ，求侧面 PBC 与侧面 PAD 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2） 21
7
【解析】
【分析】（1）取 PD 的中点 G，连接 AG, FG ，推出 FG ∥ AE 且 FG  AE 即四边形 AGFE 为平行四边形，所以 EF ∥ AG ， AG  平面 PAD ， EF  平面 PAD ，命题得证；
（2）取 AD 的中点 M ， BC 的中点 N ，连接 PM , MN ，以 M 为原点， MA, MN , MP 所在直线分别为
x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，根据法向量定义分别求出侧面 PBC 与侧面 PAD 的法向量 m, n ，再根
→ →
据csθ
cs
→ →
m, n
m  n

 →→
m n
求解.
【小问 1 详解】
证明：取 PD 的中点 G，连接 AG, FG .
因为 F 为 PC 的中点，所以 FG ∥ CD 且 FG 
CD ,
2
因为底面 ABCD 为正方形，E 为 AB 中点，所以 AE ∥ CD 且 AE  1 CD ，
2
所以 FG ∥ AE 且 FG  AE ，所以四边形 AGFE 为平行四边形，所以 EF ∥ AG .
因为 AG  平面 PAD ， EF  平面 PAD ，
所以直线 EF ∥平面 PAD .
【小问 2 详解】
取 AD 的中点 M ， BC 的中点 N ，连接 PM , MN ，因为△PAD 为正三角形，故 PM  AD ，
3
因为侧面 PAD  底面 ABCD ，交线为 AD ， PM  平面 PAD ，所以 PM  底面 ABCD ， 又 MN ⊥AD ，以 M 为原点， MA, MN , MP 所在直线分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，又 AD  2 ，故 AM  1 ， PM ， AB  2 ，
故 P 0, 0, 3  ， B 1, 2, 0 ， A1, 0, 0 ， D 1, 0, 0 ， C 1, 2, 0 ，

–––→
PB  1, 2, 
–––→

3 ， BC  2, 0, 0 ， PA  1, 0, 
r
3 ， AD  2, 0, 0
设平面 PBC 的法向量为 n   x, y, z  ，那么
→–––→→ –––→
n  PBn  PB   x, y, z 1, 2,  3   x  2 y  3z  0
→–––→  → –––→
n  BCn  BC   x, y, z 2, 0, 0  2x  0
3r3
3
22
解得 x  0 ，令 z ，则 y  ，所以 n   0, , 3 

→
同理，设平面 PAD 的法向量为 m   x0 , y0 , z0  ，则
→–––→ → –––→
m  PAm  PA   x0 , y0 , z0 1, 0,  3   x  3z  0
 →–––→   → –––→
m  ADm  AD   x0 , y0 , z0 2, 0, 0  2x  0
→
解得 x0  0 ， z  0 ，令 y  1则m  0,1, 0 .
设侧面侧面 PBC 与侧面 PAD 所成角为 θ，那么
0,1, 0 0, 3 ,


2
3 


9  3
4
21
2
→ →3
csθ
cs
→ →
m, n
m  n
21 4

 →→ 
m n7
在ABC 中，内角A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，已知 3b sin C  c cs B  2b  a .
（1）求C ；
（2）若ABC 为锐角三角形，且 a 
3 ，求ABC 面积的取值范围.
【答案】（1） C  π（2）  3 3 , 3 3 
3 82 

【解析】
【分析】
利用正弦定理将边化角，再利用正弦的和角公式转化，然后解方程即可求得；
利用正弦定理，得到b 关于A 的函数，再求该函数的值域，结合面积公式即可求得.
【详解】（1）由正弦定理有 3 sin B sin C  sin C cs B  2 sin B  sin A ，又由sin A  sin B  C   sin B cs C  cs B sin C ，代入上式得，
3 sin B sin C  2 sin B  sin B cs C ，由0  B π，有sin B  0 ，
上式可化为： 3 sin C  1 cs C  1，得sin  C π  1 ，
6 
22
由0  C π，有π C π 7π，故有C π π，
故C  π；
3
66662
（2）由（1）知， S
 1  3b sinπ 3b ，
ABC
234
3 sin  2π A
由正弦定理有
a sin B
 3
b  
sin Asin A
3
 1
3cs A sin A
3
 22

3cs A
  
3
tan A
sin A
3 ，
2
2 sin A2
0  A  π

由ABC 为锐角三角形，有
2，
2ππ
0  B  A 
32
得π A  π，有tan A 3 ，
623
3
可得 3  b  2，
2
故ABC 面积的取值范围为 3 3 , 3 3  .
 82 

【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，以及利用正弦定理求解三角形面积的范围，涉及正弦的和角公式，属解三角形中的经典重点题型.
19. 如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AD//BC, AD  DC, BC  CD  1 AD  2 ， E 为棱 AD 的中点，
2
PA  平面 ABCD .
证明： AB// 平面 PCE
求证：平面 PAB  平面 PBD
若二面角 P  CD  A 的大小为45，求直线 AD 与平面 PBD 所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3） 2
2
【解析】
【分析】（1）因为 BC //AE 且 BC  AE ，所以 BCEA 为平行四边形，则 AB//EC ，利用线面平行的判定定理即可得证；
由已知可得 PA  BD ， BD ⊥AB ，由线面垂直的判定定理可得 BD ⊥面 PAB ，进而即可证得结
论；
由CD  平面 PAD 可得PDA  45，作 AM  PB 于 M ，可知 AM  面 PDB ，所以∠ADM
为直线 AD 与平面 PBD 所成角，在直角aAMD 中求解即可．
【小问 1 详解】
∵ BC //AE 且 BC  AE ，∴四边形 BCEA 为平行四边形，
∴ AB//EC ，又 AB  平面 PCE ， EC  平面 PCE ，所以 AB / / 平面 PCE .
【小问 2 详解】
∵ PA  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ，∴ PA  BD ，
连接 BE ，∵ BC //DE 且 BC  DE ，∴四边形 BCDE 为平行四边形，
∵ DE ⊥CD ， BC  CD  2 ，∴平行四边形 BCDE 为正方形，∴ BD  EC ，又 AB//EC ，∴ BD ⊥AB ，
又 PA ∩ AB  A ， PA, AB  面 PAB ，∴ BD ⊥面 PAB ，
∵ BD  面 PBD ，∴平面 PAB  平面 PBD .
【小问 3 详解】
∵ PA  平面 ABCD ， CD  平面 ABCD ，∴ PA  CD ，
又CD  AD ， PA  AD  A ， PA, AD  平面 PAD ，∴ CD  平面 PAD ，因为 PD  平面 PAD ，∴ CD  PD,
∴ PDA 为二面角 P  CD  A 的平面角，从而PDA  45，所以 PA  AD  4 ，
作 AM  PB 于 M ，连接 MD ，
∵平面 PAB  平面 PBD ， AM  平面 PAB ，平面 PAB  平面 PBD  PB ，
∴ AM  面 PBD ，所以∠ADM 为直线 AD 与平面 PBD 所成角，
2
在直角aPAB 中， AB  CE  2
6
， PA  4 ， PB  2
，∴ AM 
PA  AB PB
 4 3 ，
4  2 2
2 6
3
因为 AM  面 PBD ， DM ⊂面 PBD ，所以 AM  DM ，
4 3
3
AD2  AM 2
4 6
3
在直角aAMD 中， AD  4, AM ， DM ，
∴ tan∠ADM 2 ，
2
则直线 AD 与平面 PBD 所成角的正切值为 2 .
2