福建省厦门双十中学2024-2025学年高一上学期第二次12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省厦门双十中学2024-2025学年高一上学期第二次12月月考数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．的值是（ ）
A．B．C．D．
3．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（ ）
A．9.46倍B．31.60倍C．36.40倍D．47.40倍
6．同时具有性质“⑴ 最小正周期是；⑵ 图象关于直线对称；⑶ 在上是减函数”的一个函数可以是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于（ ）
A．B．C．2πD．4π
8．函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ）
A．66B．70C．124D．144
二、多选题
9．下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的减区间为（）
C．是以为周期的函数D．图象的对称轴为（）
11．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A．若，则函数为奇函数
B．若，则
C．函数的图象必有对称中心
D．，
三、填空题
12．已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为 .
13．已知，则等于 .
14．已知关于的方程（）在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．（1），求；
（2）已知（），求．
16．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；
(3)求函数的对称轴与对称中心．
17．已知函数是偶函数．
(1)求k的值．
(2)若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？
若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
18．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中．
①求的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．
19．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在n个不同的实数、、…、，使得（其中，），则称为的“n重覆盖函数”.如是的“4重覆盖函数”.
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)若为的“9重覆盖函数”，求的最大值.
参考答案
1．B
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
故选：B
2．A
【详解】
.
故选：A.
3．C
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选：C.
4．C
【详解】由题意，得，
所以，，得，，
故所求函数的定义城为，，
故选：C.
5．B
【详解】记地震震级提高至里氏震级，释放后的能量为，
由题意可知，，
即，所以.
故选：B.
6．D
【详解】A的最小正周期为,不正确；
当时， B、C没有取得最值，所以不正确;
将代入D,三项都符号，
故选D.
考点：三角函数的性质
7．C
【详解】作出y＝sin x的一个简图，如图所示
∵函数的值域为，
∴定义域中，b－a的最小值为
定义域中，b－a的最大值为
故可得，最大值与最小值之和为2π.
故选：C
8．B
【详解】为偶函数，即，
的图像关于对称，
为奇函数，即，
的图像关于点对称，
对于，均有，
，
的图像关于对称，，
的图像关于点对称，
又
解得，
.
故选：B.
9．AC
【详解】对于A选项，，
因为正切函数在上为增函数，且，
所以，，即，A选项正确；
对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，
所以，，B选项错误；
对于C选项，，，
因为余弦函数在为减函数，且，
所以，，即，C选项正确；
对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，
所以，，D选项错误.
故选：AC.
10．AD
【详解】，
即，
如图：
所以的最小值为：，故A正确；
不止在（）上单调递减，故B错误；
图象的对称轴为（），故D正确；
由图可知，是以为最小正周期的函数，故C错误；
故选：AD.
11．ACD
【详解】对于选项A，记．
因为，所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，从而，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记．若为奇函数，则，
，即，
所以，即．
上式化简得，．
则必有，解得，
因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，．
当时，是减函数，，所以
，
故选项D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】由题意设圆心角、弧长、半径分别为，则，解得，
所以该扇形的面积为.
故答案为：.
13．
【详解】＝
＝.
故答案为：
14．
【详解】当，（），
则有，所以函数为偶函数，
由偶函数的对称性，
只需研究时，有两个零点，
设，由，
则有一个零点在上，
若是函数的零点，则，在上只有一个零点，不符合题意，
所以有一个零点，
①当时，，，解得，不符合题意；
②当时，，只需即可，
只需，解得.
所以.
综上：实数的取值范围为，
故答案为：
15．（1）；（2）.
【详解】（1）由可得，解得，
所以.
（2）由可得，
所以，
即，又，所以，
则，
所以，
所以.
16．(1)最小正周期为，单调递减区间是，.
(2)，此时；，此时.
(3)对称轴，；对称中心，
【详解】（1）的最小正周期，
当，即，时，单调递减，
∴的单调递减区间是，.
（2）∵，则，
故，
∴，此时，即，
，此时，即．
（3）令，，解得对称轴方程为，，
令，，解得，，所以对称中心为，
17．(1)
(2)存在，m的值为
【详解】（1）∵函数是偶函数，
∴，即，
∴，∴；
（2）假设存在满足条件的实数m．
由题意，可得，．
令，则，．
令，．
∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当，即时，，解得；
当，即时，
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）．
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为．
18．（1），（2）①（），②28毫克/立方米
【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，
则当时，由，得，所以，
当时，由，得，，得，所以，
综上，，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时，
（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为
（毫克/立方米），
所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为
（），
②（），
，当且仅当，即时取等号，
所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米
19．(1)不是；理由见解析
(2)；
(3)
【详解】（1）解：不是的“2重覆盖函数”，理由如下：
当时，，
此时对于，有且只有一个实数是得，
所以，不满足对于任意的，存在个不同的实数，使得，
所以不是的“2重覆盖函数”
（2）解：函数的定义域为，即，
因为，
所以，
所以，函数的值域为，
函数的定义域为，
因为为的“2重覆盖函数”，
所以函数图像与有两个交点，
因为，当时，，与有一个交点，
所以，当时，函数与有且只有一个交点，
下面讨论当时，函数情况
当时，与有且只有一个交点，满足题意，
当时，函数开口向下，对称轴为，此时，，故满足函数与有且只有一个交点，
当时，函数开口向上，对称轴为，
当，即时，函数对称轴在，由于，故函数与有且只有一个交点不恒成立，不满足题意；
当，即时，要使函数与有且只有一个交点只需，解得，故.
综上，实数的取值范围
（3）解：由题知，的值域为，
因为为的“9重覆盖函数”，
所以，对于，都存在9个不同的实数使得，
所以，函数有9个实数根，
所以，与在有9个交点，
因为函数的最小正周期为，当时，，
作出函数与的图像，如图，
所以，与在有9个交点需满足，解得，
所以，，
所以，解得，
所以，的最大值为
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
B
D
C
B
AC
AD
题号
11









答案
ACD