福建省厦门双十中学2025-2026学年高三上学期第二次月考（12月）数学试卷含详细解析（word版）

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1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题，总有，则为（）
A. ，使得B. ，使得
C. ，总有D. ，总有
2. 设为虚数单位，若，则（）
A. -1B. C. D. 1
3. 已知集合，，，则的真子集共有（）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
4. 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去．显然公共汽车的速度比自行车快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间假设是固定不变的）．在任何情况下，他总是选择花时间最少的最佳方案．下表列出他到达甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的时间．则他离住地8千米的地方，需要的时间为（）
A. 24分钟B. 26分钟C. 28分钟D. 30分钟
5. 双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（）
A. B. 1C. D. 2
6. 已知为两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若则
D 若则
7. 已知，那么，当代数式取最小值时，值为（）
A. B. 4C. D. 8
8. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
10. 在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（）
A. 表面积为B. 体积为
C. 外接球的半径为D. 内切球的半径为
11. 数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若的展开式中，的系数等于的二项式系数的8倍，则______．
13. 已知椭圆左右焦点分别为，，点M在椭圆上，满足，且M到x轴的距离为，则椭圆C的离心率是______．
14. 在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴截面，且，
（1）证明：；
（2）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长．
16. 校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功．
（1）若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率．
（2）记为参赛学生中挑战成功学生人数，求的数学期望与方差．
17. 已知数列的前项和为．
（1）证明：等比数列．
（2）求数列的前项和．
（3）若，求的取值范围．
18. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点.记动点轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，与圆相切于点，若为中点，求的纵坐标取值范围；
（3）过点作圆（圆在曲线内部）的两条切线分别交于曲线于两点（异于点），探究直线是否过定点.
19. 已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合．
（1）若，求；
（2）若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”．
（3）若，，且对于任意，都有，求实数a的取值范围．目的地
目的地离住地的距离
最佳方案所需时间
甲地
2千米
12分钟
乙地
4千米
18分钟
丙地
6千米
22分钟