山东省潍坊市诸城市龙城中学2025届高三上学期第二次自我检测数学试卷（含答案）

这是一份山东省潍坊市诸城市龙城中学2025届高三上学期第二次自我检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A=xlg21x1B. 13b3D. 若a>b，m>0，则b+ma+m>ba
10.已知f(3x+1)为奇函数，且对任意x∈R，都有f(x+2)=f(4−x)，f(3)=1，则( )
A. f(7)=−1B. f(5)=0C. f(11)=−1D. f(23)=0
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1上一点，且B1P=2PB，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A. 若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条长为2 23的线段
B. 存在点Q，使得D1Q⊥平面A1PD
C. 三棱锥Q−A1PD的最大体积为518
D. 若D1Q= 62，且D1Q与平面A1PD所成的角为θ，则sinθ的最大值为 3333
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：3a92 a−3÷ 3a−73a13(a>0)=
13.已知函数f(x)=xlnx，角θ为函数f(x)在点(e,f(e))处的切线的倾斜角，则sinθ+2csθsinθ−csθ= ．
14.将正奇数按如图所示的规律排列：
则2023在第 行，从左向右第 个数．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
数列an满足：a1=1，an+1=2an+1；设bn=an+1
(1)证明bn是等比数列，并求an的通项公式；
(2)求an的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知定义在(−1,b)上的奇函数f(x)=lga−xb+x．
(1)求实数a,b的值：
(2)若f(x)在(m,n)上的值域为(−1,+∞)，求实数m,n的值．
17.(本小题15分)
凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如x2，ex等．记f″(x)为y=f′(x)的导数．现有如下定理：在区间I上f(x)为凸函数的充要条件为f″(x)≥0(x∈I)．
(1)证明：函数f(x)=1x3−x为(1,+∞)上的凸函数；
(2)已知函数g(x)=ax2−2xlnx−lnx(a∈R)．
①若g(x)为[1,+∞)上的凸函数，求a的最小值；
②在①的条件下，当a取最小值时，证明：g(x)+2x≥3x−13x−23x+1+2，在[1,+∞)上恒成立．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB,BC//AD,AD=2,PA=BC=1．

(1)证明：平面PAC⊥平面PCD；
(2)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离．
(3)点T是线段CD上的动点，PT上是否存在一点M，使PT⊥平面ABM，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx−4x−ax2−2．
(1)当a=−3时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有唯一的极值点x0．
①求实数a取值范围；
②证明：x02fx0+2x02⋅e1−x0+1≥0．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.A
5.B
6.A
7.D
8.C
9.AC
10.AB
11.ACD
12.1
13.4
14.32；51
15.解：(1)由题意知an+1=2an+1，则an+1+1=2an+1，
即bn+1=2bn，又a1=1，则b1=a1+1=2，
故bn是首项为2，公比为2的等比数列，
故bn=2n，即an+1=2n,∴an=2n−1；
(2)由于an=2n−1，故Sn=2+22+⋯+2n−n=21−2n1−2−n=2n+1−n−2．

16.解：(1)由题意，−1+b=0，故b=1，
f(x)=lga−x1+x，由f(x)=lga−xb+x为奇函数得
f(−x)+f(x)=lga+x1−x+lga−x1+x=lg(a+x)(a−x)(1−x)(1+x)=0，
故(a+x)(a−x)(1−x)(1+x)=1，解得a=1或−1(舍)，
故a=b=1；
(2)f(x)=lg1−x1+x> −1，故1−x1+x>110，
又−10，可得g′(x)在[1,+∞)内单调递增，则有g′(x)≥g′(1)=0，
故g(x)在[1,+∞)内单调递增，则g(x)≥g(1)=0，
故当x≥1时，有ex−ex≥0,xex>0,x−1≥0,x3>0，
则F′(x)=ex−exxex+x−1x3≥0对∀x∈[1,+∞)上恒成立，
则F(x)在[1,+∞)上单调递增，可得F(x)≥F(1)=0，
综上所述：F(x)≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立，即x02fx0+2x02⋅e1−x0+1≥0．