2026辽宁省辽西重点高中高二上学期开学考试数学含解析

这是一份2026辽宁省辽西重点高中高二上学期开学考试数学含解析，共15页。
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因为，所以.
故选：A
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
解析：由，则，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：B.
3．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．，
【答案】A
解析：函数，
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
4．定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因为，
所以是一个周期为4的周期函数.
因为是定义在上的偶函数，∴
所以.
因为，所以
所以.
所以.
故选：A.
5．已知样本数据均为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
解析：设样本数据的平均数为，
则方差，
所以，即，
因为样本数据均为正数，所以，故.
故选：C.
6．在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
解析：如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，
依题意，有，，，，
设，则，且，，
，
因，当时，，当时，，
故．

故选：D．
7．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】B
解析：根据题意，得，
当，，时，，此时，
所以.
故选：B.
8．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
解析：

如图所示，取中点，连接.
是正三棱柱，为线段的中点，
，，
平面，平面，.
,平面，
平面，平面，.
要使平面，只须.
设三棱柱的棱长为，
则，.
在中，，，
.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知正数a，b满足，则（ ）
A．b的取值范围是B．的最小值为
C．的最小值为2D．的最小值
【答案】AB
解析：对于选项A：因为正数a，b满足，
则，，解得，，故A正确，
对于选项B：因为，
整理可得，解得，或（舍去），
当且仅当时，等号成立，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
所以2不是的最小值，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D错误.
故选：AB.
10．小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（ ）
A．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96
B．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5
C．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5
D．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.5
【答案】AD
解析：由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为，
则他这两个月的30次训练成绩的方差为.
故选：AD
11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则（ ）
A．
B．外接圆的面积为
C．若，则为直角三角形
D．若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为
【答案】ACD
解析：对于A，由题意得，由正弦定理得，
可得，
化简得，
由两角和的正弦公式得，故，
而，则，得到，解得，
而，可得，故A正确，
对于B，设外接圆的半径为，
则由正弦定理得，
解得，由圆的面积公式得外接圆的面积为，故B错误，
对于C，如图，作出符合题意的图形，
因为，所以，
而的平分线交于点，则，
得到，即，故，
在中，由余弦定理得，解得，故，
满足，则为直角三角形，故C正确，
对于D，如图，作出符合题意的图形，
因为，所以，
因为的内心为，所以，故，
设，则，
在中，由正弦定理得，，
则，
得到的周长为
，
因为，所以，
则，可得，故D正确．
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 .
【答案】9
解析：对于函数，
令，解得且，可知函数的定义域为，
因为
，
可知函数的对称中心为，
由题意可知：直线经过点，
则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：9.
13．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴 ．
【答案】，
解析：由题意可得：，
函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标不变可得函数的图象，
函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，
所以，
令，，解得：，，
故答案为：，
14．已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则 ．
【答案】
解析：由题意知锐角的面积为，则，即得，
表示直线上的一点到点D的向量，
故表示直线上的一点到点D的距离，
由于对任意恒成立，则的模即为D到直线的最短距离，
则，同理可得，
由于，则，即得，
由，得，
由锐角可知A为锐角，故为钝角，
故，
故，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
【答案】(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由，
故此令，则，
则.
（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，
则，所以，
由得，所以，
故，即，
故此函数为R上增函数.
16．已知函数（为常数，）．
(1)当取何值时，函数为奇函数；
(2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
解析：（1）若为奇函数，则，
即，
，，，解得：.
（2）当时，，，
，
当时，，又在上单调递增，
当时，，
令，则方程在上有实根，
在上有实根，又在上单调递增，
，.
17．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．

(1)求和的值，并用表示；
(2)若，，，求与夹角的余弦值．
【答案】(1)，，
(2)
解析：（1）因为，，，
则，，
所以，，
所以，，
因为
，
所以，解得，
所以，
；
（2）因为，，，
所以，，，
因为，，
所以．
，
．
因为，
所以与夹角的余弦值为．
18．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角C的值；
(2)求的最大值；
(3)若AB边上的中线CD长为，求的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
解析：（1）因为，由正弦定理,可得，
整理可得，由余弦定理得，所以,所以.
因为在中，，所以.
（2）因为，由正弦定理可得，可得，.
因为,所以.
,
所以，其中.
所以，当时，取得最大值，最大值为.
（3）由题可知，，
由(1)知，即，①
因为为边上的中线，所以，
两边平方得：，
所以，②
②①可得，可得，
所以的面积．
19．已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面.
(1)求证：平面；
(2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值；
(3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
解析：（1）在四棱锥中，连接，，由平面，
平面，得，由正方形，得，
而，，平面，所以平面.
（2）由正方形，得，而平面，
平面，则平面，又平面，
平面平面，因此.
直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角.
由平面，平面，得，而,
，，平面，则平面.
又平面，因此，，
则，，，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
（3）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，
将四棱锥补形为正四棱柱，平面即平面，
在平面内过作于，连接，
由平面，得，而，，平面，
则平面，是直线与平面所成的角.
取中点，连接，，由是的中点，则，
平面，而平面，则.
设，则EG＝，DG＝，
则DE＝，而DF＝，
由直线与平面所成角的正弦值为，
，
整理得，解得或，所以或.